Ecuaciones con fracciones: 20 Ejercicios resueltos Paso a Paso.

Las ecuaciones con fracciones suelen generar confusión porque combinan dos temas importantes: fracciones y ecuaciones algebraicas.

Sin embargo, cuando aprendes el método correcto paso a paso, resolverlas se vuelve mucho más sencillo.

En esta guía, descubrirás el método paso a paso para resolver ecuaciones fraccionarias sin complicaciones. Desde lo más básico hasta problemas avanzados, dominarás cada técnica.

Tabla de Contenidos

¿Qué son las Ecuaciones con Fracciones?

Las ecuaciones con fracciones (también llamadas ecuaciones fraccionarias) son aquellas ecuaciones de primer grado donde la incógnita «x» o los números aparecen en forma de fracciones.

Ejemplos comunes:

$\dfrac{x}{2} + 3 = 7 \\$
$\dfrac{(2x + 1)} {3} = 5 \\$
$\dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{3} = 10$

Como ya lo vemos, de esta forma son las ecuaciones con fracciones.

Ahora, ¡ya sabes resolver ecuaciones de primer grado! PERO… ¿Y si aparecen fracciones?

Entonces, en este caso nos servirá el siguiente método:

Método del mínimo común múltiplo (MCM) para fracciones.

La clave para resolver ecuaciones con fracciones es eliminarlas de golpe y convertir todo en números enteros simples.

¿Cómo lo hacemos? Con el método del MCM que funciona SIEMPRE.

Para eliminar denominadores usamos el mínimo común múltiplo (MCM). Si aún no dominas este concepto, aquí te explicamos cómo calcular el MCM paso a paso.

¿Qué es el MCM?

MCM = Mínimo Común Múltiplo.

Es decir, es el número más pequeño que es múltiplo de todos los denominadores. Aunque suena complicado, en realidad es fácil de encontrar. Primero, escribes los múltiplos de cada número. Luego, buscas el más pequeño que pertenezca a ambos valores. Finalmente, ese es tu MCM.

Dicho de otra forma: Es el número más pequeño que sirve para simplificar TODOS los denominadores.

Veamos el primer ejemplo paso a paso:

Ahora apliquémoslo un segundo caso del MCM

¡Ya viste cómo funciona el MCM en ejemplos! AHORA… el método COMPLETO paso a paso.

🎯 Método Paso a Paso para Resolver Ecuaciones con Fracciones

Resolver ecuaciones con fracciones puede parecer complicado al principio. Sin embargo, siguiendo este método de 5 pasos, cualquier estudiante puede dominar esta habilidad.

✅ Paso 1: Identificar Todos los Denominadores

Primero, lee la ecuación completa y encuentra todos los números que están en la parte inferior de las fracciones (denominadores). Además, anótalos en una lista. Por ejemplo, en la ecuación $\frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 10$, los denominadores son 2 y 3.

✅ Paso 2: Calcular el Mínimo Común Múltiplo (MCM)

Luego, encuentra el MCM de todos los denominadores que identificaste. El MCM es el número más pequeño que es múltiplo de todos ellos. En consecuencia, este número nos ayudará a eliminar todas las fracciones de una sola vez. Por ejemplo, el MCM de 2 y 3 es 6.

✅ 3: Multiplicar Toda la Ecuación por el MCM

Después, multiplica CADA término de la ecuación (ambos lados del signo igual) por el MCM. De esta manera, las fracciones se cancelan y obtienes una ecuación sin denominadores. Es importante multiplicar TODO, no solo las fracciones.

✅ Paso 4: Simplificar y Resolver la Ecuación Resultante

A continuación, simplifica la ecuación que obtuviste. Sin embargo, ahora será mucho más fácil porque ya no tiene fracciones. Finalmente, agrupa los términos con x a un lado y los números al otro, luego despeja x normalmente.

✅ Paso 5: Verificar la Solución

Por último, sustituye el valor de x que encontraste en la ecuación original. Además, verifica que ambos lados den el mismo resultado. En consecuencia, si coinciden, tu respuesta es correcta. Si no, revisa tus cálculos.

Ejercicio resuelto guía

📝 Ejercicio:

Sea la siguiente ecuación: \[ \frac{x}{3} + \frac{x}{6} = 4 \]

1: Identificar los denominadores Primero, observemos sus denominadores: $ 3 $ y $ 6 $

2: Encontrar los múltiplos Ahora, identificamos los múltiplos de $ 3 $ y $ 6 $:

Múltiplos de $ 3 $: $ 3 $, $ 6 $, $ 9 $, $ 12 $, $ 15 $, $ 18 $, …

Múltiplos de $ 6 $: $ 6 $, $ 12 $, $ 18 $, $ 24 $, $ 30 $, …

💡 Nota importante: Observamos que el número $ 6 $ está presente en los múltiplos de ambos números ($ 3 $ y $ 6 $)

3: Determinar el MCM Entonces, el MCM de $ 3 $ y $ 6 $ es: $ 6 $

4: Multiplicar toda la ecuación por el MCM Posteriormente, multiplicamos toda la ecuación por $ 6 $: \[ 6\left(\frac{x}{3}\right) + 6\left(\frac{x}{6}\right) = 6(4) \]

5: Simplificar Finalmente, realizamos la simplificación: \[ 2x + x = 24 \] \[ 3x = 24 \] \[ x = 8 \]

✅ Conclusión: Por tanto, al multiplicar toda la ecuación por el MCM, eliminamos las fracciones y obtenemos una ecuación más sencilla de resolver. La solución es x = 8

Ejemplos de ecuaciones con fracciones resueltas paso a paso

Ejemplo 1

Resolver: $\dfrac{x}{2} + 3= 7$

Solución paso a paso:

1: Identifica el denominador: Primero, vemos que solo hay un denominador: 2.

2: El MCM es 2 (porque solo hay un denominador).

3: Multiplica TODO por 2: Luego, multiplicamos cada término por 2.

$2\left(\dfrac{x}{2}\right) + 2(3) = 2(7)$

4: Simplifica: Después, la fracción se elimina.

$x+6= 14$

¡Mira! Ya no hay fracciones. Por lo tanto, ahora es fácil.

5: Resuelve: Finalmente, despejamos x como aprendimos anteriormente.

$x = 14 – 6 \\\\ x =8$

Verificación:

Sustituye el valor hallado, x = 8, en la ecuación original: $\dfrac{x}{2} + 3= 7$

$\dfrac{8}{2} + 3 = 7 \\\\ 4+ 3 =7 \\\\ 7 =7 ✓$

Por lo tanto, la solución x = 8 es correcta.

Si quieres practicar ecuaciones sin fracciones antes de avanzar, revisa nuestra guía sobre ecuaciones con paréntesis.

Ejemplo 2

Resolver: $\dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{3} = 10$

Solución paso a paso:

1: Identifica los denominadores: Primero, vemos que hay dos denominadores: 2 y 3.

2: Encuentra el MCM de 2 y 3:

Múltiplos de:

2: 2, 4, 6, 8, 10…
3: 3, 6, 9, 12…

MCM = 6 (el primer número que aparece en ambas listas)

3: Multiplica TODO por 6: Luego, multiplicamos cada término.

$6\left(\dfrac{x}{2}\right) + 6\left(\dfrac{x}{3}\right) = 6(10)$

4: Simplifica las fracciones: hacemos las divisiones.

$3x + 2x = 60$

¡Las fracciones desaparecieron! Por lo tanto, es mucho más fácil ahora.

5: Suma términos semejantes: Entonces, sumamos y despejamos la variable x.

$5x = 60$

$x = \dfrac{60}{5}$ Recuerda que lo que está multiplicando pasa a dividir.

$x = 12$

Verificación:

Sustituye el valor hallado, x = 12, en la ecuación original: $\dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{3} = 10$

$\dfrac{12}{2} + \dfrac{12}{3} = 10 \\\\ 6 + 4 = 10 \\\\ 10 = 10 ✓$

Por lo tanto, la solución x = 12 es correcta.

💡 ¿Ves el patrón?
Primero, identificas denominadores. Luego, encuentras el MCM. Después, multiplicas todo por el MCM. Entonces, las fracciones desaparecen. Finalmente, resuelves normalmente. Además, ¡siempre funciona!

Ejemplo 3:

Resolver: $\dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{4} + \dfrac{x}{8} = 7$

Solución paso a paso:

1: Denominadores: Primero, veamos los denominadores, que son: 2, 4 y 8.

2: Ahora Identificamos el MCM de 2, 4 y 8:

Múltiplos de:

2: 2, 4, 6, 8, 10…
4: 4, 8, 12, 16…
8: 8, 16, 24…

Finalmente, el MCM = 8.

3: Multiplica TODO por 8: Luego, aplicamos el MCM.

$8\left(\dfrac{x}{2}\right) + 8\left(\dfrac{x}{4}\right)+ 8\left(\dfrac{x}{8}\right) = 8(7)$

4: Simplifica: Para eliminar las fracciones.

$4x + 2x + x = 56$

5: Suma: Entonces, sumamos términos semejantes.

$7x = 56$

6: Despeja: Finalmente, despejamos la variable x.

$x = \dfrac{56} {7} \\\\ x = 8$

Verificación:

Sustituye el valor encontrado, x = 8, en la ecuación original: $\dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{4} + \dfrac{x}{8} = 7$

$\dfrac{8}{2} + \dfrac{8}{4} +\dfrac{8}{8} = 7 \\\\\ 4+2+1=7 \\\\\ 7 = 7 ✓$

Por lo tanto, la solución x = 8 es correcta.

Ejemplo de la vida real:

Problema: Jessica tiene que repartir un pastel. Le da 1/4 del pastel a su hermano y 1/3 a su prima. Si le quedan 5 porciones, ¿cuántas porciones tenía el pastel originalmente?
Solución:

x – \dfrac{x}{4} – \dfrac{x}{3} = 5

MCM de 4 y 3
MCM = 12
Ahora resolvemos la ecuación siguiendo los pasos aprendidos:

12(x) – 12\left( \dfrac{x}{4}\right) – 12\left(\dfrac{x}{3}\right) = 12(5) \\\\\\ 12x-3x-4x=60 \\\\ 5x=60\\\\ x = \dfrac{60}{5} \\\\ x = 12

Respuesta: El pastel tenía 12 porciones originalmente.

Casos especiales: Ecuaciones con paréntesis.

📦 Caso 1: Fracciones con Paréntesis

Cuando hay paréntesis con fracciones, primero elimina paréntesis aplicando la propiedad distributiva, luego multiplica por el MCM.

📐 Estrategia

Aplicar propiedad distributiva si hay paréntesis
Identificar todos los denominadores
Calcular el MCM de los denominadores
Multiplicar toda la ecuación por el MCM
Resolver la ecuación resultante

📝 Ejemplo 1

Resuelve: $\frac{2(x + 3)}{4} + \frac{x}{2} = 5$

💡 Solución:

Paso 1 Aplicar distributiva en el numerador:
\[\frac{2x + 6}{4} + \frac{x}{2} = 5\]

Paso 2 Identificar denominadores: 4 y 2
MCM(4, 2) = 4

Paso 3 Multiplicar toda la ecuación por 4:
\[4 \cdot \frac{2x + 6}{4} + 4 \cdot \frac{x}{2} = 4 \cdot 5\]
\[(2x + 6) + 2x = 20\]

Paso 4 Simplificar:
\[2x + 6 + 2x = 20\]
\[4x + 6 = 20\]

Paso 5 Resolver:
\[4x = 14\]
\[x = \frac{14}{4} = \frac{7}{2}\]

✅ RESPUESTA

$x = \frac{7}{2} = 3.5$

📝 Ejemplo 2

Resuelve: \[\frac{3(x – 1)}{2} + \frac{x + 2}{4} = 6\]

💡 Solución:

Paso 1 Aplicar distributiva:
\[\frac{3x – 3}{2} + \frac{x + 2}{4} = 6\]

Paso 2 MCM(2, 4) = 4

Paso 3 Multiplicar por 4:
\[2(3x – 3) + (x + 2) = 24\]
\[6x – 6 + x + 2 = 24\]

Paso 4 Simplificar y resolver:
\[7x – 4 = 24\]
\[7x = 28\]
\[x = 4\]

✅ RESPUESTA

$x = 4$

➖ Caso 2: Fracciones con Signo Negativo

Cuando hay un signo negativo delante de una fracción, afecta al numerador completo. Si la fracción tiene paréntesis, el signo negativo cambia TODOS los signos.

📐 Regla

\[-\frac{a + b}{c} = \frac{-(a + b)}{c} = \frac{-a – b}{c}\]

⚠️ ERROR COMÚN

Incorrecto: $-\frac{x + 3}{2} = \frac{-x + 3}{2}$ ❌

Correcto: $-\frac{x + 3}{2} = \frac{-x – 3}{2}$ ✓

📝 Ejemplo 3

Resuelve: \[\frac{x}{3} – \frac{x + 4}{2} = 1\]

💡 Solución:

Paso 1 Reescribir el signo negativo:
\[\frac{x}{3} + \frac{-(x + 4)}{2} = 1\]
\[\frac{x}{3} + \frac{-x – 4}{2} = 1\]

Paso 2 MCM(3, 2) = 6

Paso 3 Multiplicar por 6:
\[2x + 3(-x – 4) = 6\]
\[2x – 3x – 12 = 6\]

Paso 4 Resolver:
\[-x – 12 = 6\]
\[-x = 18\]
\[x = -18\]

✅ RESPUESTA

$x = -18$

📝 Ejemplo 4

Resuelve: \[\frac{2x – 3}{4} – \frac{x – 1}{3} = 2\]

💡 Solución:

Paso 1 MCM(4, 3) = 12

Paso 2 Multiplicar por 12:
\[3(2x – 3) – 4(x – 1) = 24\]
\[6x – 9 – 4x + 4 = 24\]

Paso 3 Simplificar:
\[2x – 5 = 24\]
\[2x = 29\]
\[x = \frac{29}{2} = 14.5\]

✅ RESPUESTA

$x = \frac{29}{2}$

↔️ Caso 3: Variable en Ambos Lados con Fracciones

Cuando la variable aparece en fracciones en ambos lados, multiplica por el MCM primero para eliminar denominadores, luego agrupa las variables.

📝 Ejemplo 5

Resuelve: \[\frac{x}{2} + 3 = \frac{x}{4} + 5\]

💡 Solución:

Paso 1 MCM(2, 4) = 4

Paso 2 Multiplicar por 4:
\[4 \cdot \frac{x}{2} + 4 \cdot 3 = 4 \cdot \frac{x}{4} + 4 \cdot 5\]
\[2x + 12 = x + 20\]

Paso 3 Agrupar variables:
\[2x – x = 20 – 12\]
\[x = 8\]

✅ RESPUESTA

$x = 8$

📝 Ejemplo 6

Resuelve: \[\frac{2x + 1}{3} = \frac{x – 2}{2} + 1\]

💡 Solución:

Paso 1 MCM(3, 2) = 6

Paso 2 Multiplicar por 6:
\[2(2x + 1) = 3(x – 2) + 6\]
\[4x + 2 = 3x – 6 + 6\]
\[4x + 2 = 3x\]

Paso 3 Resolver:
\[4x – 3x = -2\]
\[x = -2\]

✅ RESPUESTA

$x = -2$

🔄 Caso 4: Simplificación Previa con Fracciones

Cuando hay varias fracciones que se pueden combinar, primero encuentra el MCM, luego simplifica antes de resolver.

📝 Ejemplo 7

Resuelve: \[\frac{x}{3} + \frac{x}{6} + \frac{x}{2} = 10\]

💡 Solución:

Paso 1 MCM(3, 6, 2) = 6

Paso 2 Multiplicar por 6:
\[6 \cdot \frac{x}{3} + 6 \cdot \frac{x}{6} + 6 \cdot \frac{x}{2} = 6 \cdot 10\]
\[2x + x + 3x = 60\]

Paso 3 Combinar términos semejantes:
\[6x = 60\]
\[x = 10\]

✅ RESPUESTA

$x = 10$

📝 Ejemplo 8

Resuelve: \[\frac{2x}{5} + \frac{x}{10} – \frac{x}{2} = 3\]

💡 Solución:

Paso 1 MCM(5, 10, 2) = 10

Paso 2 Multiplicar por 10:
\[10 \cdot \frac{2x}{5} + 10 \cdot \frac{x}{10} – 10 \cdot \frac{x}{2} = 10 \cdot 3\]
\[4x + x – 5x = 30\]

Paso 3 Simplificar:
\[0x = 30\]
\[0 = 30\] ← FALSO

✅ RESPUESTA

Sin solución

➗ Caso 5: Denominadores Distintos con Expresiones

Cuando hay múltiples fracciones con denominadores diferentes y expresiones complejas en numeradores.

📝 Ejemplo 9

Resuelve: \[\frac{x}{2} + 2x + \frac{4}{x} = 16\]

💡 Solución:

Paso 1 Identificar denominadores: 2 y x
MCM(2, x) = 2x

Paso 2 Multiplicar toda la ecuación por 2x:
\[2x \cdot \frac{x}{2} + 2x \cdot 2x + 2x \cdot \frac{4}{x} = 2x \cdot 16\]
\[x^2 + 4x^2 + 8 = 32x\]

Paso 3 Simplificar:
\[5x^2 + 8 = 32x\]
\[5x^2 – 32x + 8 = 0\]

Paso 4 Usar fórmula cuadrática o factorizar:
Esta es una ecuación cuadrática.
Soluciones: $x = \frac{32 \pm \sqrt{1024 – 160}}{10}$
$x_1 \approx 6.13$ o $x_2 \approx 0.26$

✅ RESPUESTA

$x_1 \approx 6.13$ o $x_2 \approx 0.26$

📝 Ejemplo 10

Resuelve: \[\frac{3x – 2}{4} + \frac{x + 1}{6} = \frac{5x}{3}\]

💡 Solución:

Paso 1 MCM(4, 6, 3) = 12

Paso 2 Multiplicar por 12:
\[3(3x – 2) + 2(x + 1) = 4(5x)\]
\[9x – 6 + 2x + 2 = 20x\]

Paso 3 Simplificar:
\[11x – 4 = 20x\]
\[-4 = 9x\]
\[x = -\frac{4}{9}\]

✅ RESPUESTA

$x = -\frac{4}{9}$

📝 Ejemplo 11

Resuelve: \[\frac{x + 3}{5} – \frac{2x – 1}{3} = \frac{x}{15} + 2\]

💡 Solución:

Paso 1 MCM(5, 3, 15) = 15

Paso 2 Multiplicar por 15:
\[3(x + 3) – 5(2x – 1) = x + 30\]
\[3x + 9 – 10x + 5 = x + 30\]

Paso 3 Simplificar:
\[-7x + 14 = x + 30\]
\[-8x = 16\]
\[x = -2\]

✅ RESPUESTA

$x = -2$

¡Ya tienes el método perfecto! PERO… los estudiantes a menudo CAEN en estas trampas.

⚠️ Errores comunes:

❌ Olvidar multiplicar TODOS los términos.
Si tenemos:  $\dfrac{x}{2} + 3 = 7$  es incorrecto multiplicar solo  $\dfrac{x}{2} +3$  por 2.

Lo correcto es multiplicar (2) a toda la ecuación:  $2\left(\dfrac{x}{2}\right) + 2(3) = 2(7)$ 
❌ Confundir el MCM
Recuerda: El MCM de 2 y 4 es 4, NO 8.

❌ No verificar la solución
Siempre sustituye tu respuesta en la ecuación original para verificar tu solución.

❌ Saltarse el procedimiento
¡Cuidado!, aunque parezca más rápido, saltarse pasos aumenta las posibilidades de cometer errores.

¡Ya evitas todos los errores! AHORA… practica y conviértete en experto.

Ejercicios para practicar (Pon tus conocimientos a prueba).

Nivel Básico:

1. $\frac{x}{3} + 2 = 8$

✅ x = 18

2. $\frac{x}{5} = 7$

✅ x = 35

3. $\frac{x}{2} – 1 = 4$

✅ x = 10

Nivel Intermedio:

4. $\frac{x}{2} + \frac{x}{4} = 9$

✅ x = 12

5. $\frac{x}{3} – \frac{x}{6} = 2$

✅ x = 12

6. $\frac{2x}{5} + 1 = 7$

✅ x = 15

Nivel Avanzado:

7. $\frac{x}{2} + \frac{x}{3} + \frac{x}{6} = 12$

✅ x = 12

8. $\frac{x + 2}{4} = 3$

✅ x = 10

9. $\frac{x}{4} + 2 = \frac{x}{2} – 1$

✅ x = 12

10. $\frac{3x}{4} – \frac{x}{3} = 5$

✅ x = 12

Dominar este tipo de ecuaciones es fundamental antes de avanzar a sistemas de ecuaciones 2×2.

En Mate Paso a Paso creemos que entender el procedimiento es más importante que memorizarlo. Practica cada ejemplo hasta dominar el método.

Resumen

Ejemplo de ecuaciones con fracciones: ecuaciones fraccionarias resueltas por el método MCM.

ecuaciones con fracciones: Problemas de ecuaciones de primer grado, errores al resolver ecuaciones.

Ahora que conoces el método paso a paso para resolver ecuaciones con fracciones, puedes practicar distintos niveles de dificultad y reforzar tu dominio del álgebra básica.

Recuerda que el secreto está en aplicar correctamente el MCM y mantener orden en cada paso.

¿Quieres practicar SIN parar?

Estos recursos son perfectos para ayudarte a dominar las ecuaciones con fracciones: