La probabilidad compuesta estudia la posibilidad de que ocurran dos o más eventos relacionados entre sí. Este concepto permite analizar situaciones más complejas mediante reglas y fórmulas que facilitan el cálculo de probabilidades en experimentos reales.
Probabilidad Compuesta
matepasoapaso.com · Independencia · Condicional · Multiplicación · Probabilidad Total · Bayes
ARTÍCULO COMPLETO
IR A:
📚 Introducción
🔗 Independencia
🎯 P. Condicional
✖️ Multiplicación
🌐 P. Total
🔄 Bayes
✏️ Ejemplos
¿Qué es la probabilidad compuesta?
La probabilidad compuesta estudia la probabilidad de que ocurran dos o más sucesos a la vez, en secuencia o bajo una condición. A diferencia de la probabilidad simple (un solo suceso), aquí combinamos eventos usando reglas más potentes.
Idea clave: En probabilidad compuesta siempre hay que preguntarse: ¿los sucesos son independientes o dependientes? ¿Ocurren al mismo tiempo o en secuencia? La respuesta determina qué fórmula usar.
Repaso: operaciones entre sucesos
∩ Intersección A ∩ B
Ocurren A y B a la vez. «A y B». En un dado: par y mayor que 3 = {4,6}.
∪ Unión A ∪ B
Ocurre A o B (o ambos). «A o B». En un dado: par o mayor que 3 = {2,4,5,6}.
Ā Complementario
A no ocurre. \( P(\bar{A})=1-P(A) \). Si par tiene P=1/2, no par tiene P=1/2.
A ∩ B = zona central (los dos sucesos ocurren).
A ∪ B = toda la zona coloreada.
Ā = todo lo que queda fuera del círculo A.
A ∪ B = toda la zona coloreada.
Ā = todo lo que queda fuera del círculo A.
Sucesos independientes y dependientes
Sucesos independientes: Dos sucesos A y B son independientes cuando la ocurrencia de uno no modifica la probabilidad del otro. La condición matemática es:
\[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \]
Sucesos dependientes: La ocurrencia de A sí cambia la probabilidad de B. Ocurre típicamente en extracciones sin reposición o cuando los experimentos comparten elementos.
¿Cómo reconocerlos?
✅ Independientes — ejemplos
• Lanzar un dado y una moneda.
• Extraer con reposición (devolver la bola).
• Dos lanzamientos consecutivos del mismo dado.
• El clima hoy y el resultado de un examen.
• Extraer con reposición (devolver la bola).
• Dos lanzamientos consecutivos del mismo dado.
• El clima hoy y el resultado de un examen.
⚠️ Dependientes — ejemplos
• Extraer sin reposición (bola no vuelve).
• Sacar 2 cartas de una baraja seguidas.
• Elegir 2 personas de un grupo pequeño.
• La probabilidad de llegar tarde si hay tráfico.
• Sacar 2 cartas de una baraja seguidas.
• Elegir 2 personas de un grupo pequeño.
• La probabilidad de llegar tarde si hay tráfico.
Ejemplo — Verificar independencia
EX1
Verificación de independencia
Se lanza un dado. A = «número par» y B = «número mayor que 3». ¿Son A y B independientes?
1
Calcular P(A), P(B) y P(A ∩ B)
\[ A=\{2,4,6\}\Rightarrow P(A)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2} \quad B=\{4,5,6\}\Rightarrow P(B)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2} \]
\[ A\cap B=\{4,6\}\Rightarrow P(A\cap B)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3} \]
2
Comprobar la condición de independencia
\[ P(A)\cdot P(B)=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{4} \]
\[ P(A\cap B)=\frac{1}{3} \neq \frac{1}{4}=P(A)\cdot P(B) \quad\Rightarrow\quad \textbf{NO son independientes} \]
💡Que un número sea mayor que 3 modifica la probabilidad de que sea par: de los números mayores que 3 ({4,5,6}), solo dos son pares (4 y 6), así que P(par | mayor que 3) = 2/3 ≠ P(par) = 1/2.
Probabilidad condicional
La probabilidad condicional P(B|A) es la probabilidad de que ocurra B sabiendo que A ya ocurrió. El espacio muestral se reduce al suceso A, y dentro de él buscamos los casos favorables de B.
Probabilidad condicional
\[ P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \quad \text{con } P(A) > 0 \]
Se lee: «probabilidad de B dado A» o «probabilidad de B condicionada a que ocurrió A».
Propiedad importante: Si A y B son independientes, entonces:
\[ P(B \mid A) = P(B) \quad \text{y} \quad P(A \mid B) = P(A) \]
Saber que A ocurrió no cambia la probabilidad de B.
Ejemplo 1 — Probabilidad condicional con dado
EX2
🎲 Dado · Condicional
Se lanza un dado. Se sabe que salió un número par. ¿Cuál es la probabilidad de que sea mayor que 3?
1
Definir los sucesos
\[ A=\text{par}=\{2,4,6\} \quad B=\text{mayor que }3=\{4,5,6\} \quad A\cap B=\{4,6\} \]
2
Aplicar la fórmula
\[ P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=\frac{2/6}{3/6}=\frac{2}{3} \]
3
Interpretación directa: el nuevo espacio muestral es {2,4,6} y buscamos mayores que 3
\[ \text{De los pares: }\{2,4,6\},\text{ los mayores que 3 son: }\{4,6\}\Rightarrow P=\frac{2}{3}\approx66{,}7\% \]
💡Interpretación: Al saber que el resultado es par, el espacio muestral se reduce a {2, 4, 6}. De esos tres valores, dos son mayores que 3. Por eso la probabilidad es 2/3 y no 3/6.
Resultado
\( P(\text{mayor que 3}\mid\text{par}) = \frac{2}{3} \approx 66{,}7\% \)
Ejemplo 2 — Condicional con tabla
EX3
👥 Grupo · Tabla de contingencia
De 100 estudiantes: 60 son hombres (H) y 40 mujeres (M). De los hombres, 20 usan gafas (G). De las mujeres, 15 usan gafas. Si elijo uno al azar y usa gafas, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer?
1
Organizar la tabla de contingencia
| Gafas (G) | Sin gafas | Total | |
|---|---|---|---|
| Hombre (H) | 20 | 40 | 60 |
| Mujer (M) | 15 | 25 | 40 |
| Total | 35 | 65 | 100 |
2
Calcular P(M ∩ G) y P(G)
\[ P(M\cap G)=\frac{15}{100}=0{,}15 \qquad P(G)=\frac{35}{100}=0{,}35 \]
3
Aplicar la fórmula condicional
\[ P(M\mid G)=\frac{P(M\cap G)}{P(G)}=\frac{0{,}15}{0{,}35}=\frac{15}{35}=\frac{3}{7}\approx42{,}9\% \]
💡Interpretación: De los 35 estudiantes que usan gafas, 15 son mujeres. La probabilidad de que sea mujer, sabiendo que usa gafas, es 15/35 = 3/7 ≈ 42,9%. Sin esa condición, P(mujer) = 40/100 = 40%.
Resultado
\( P(\text{mujer}\mid\text{gafas}) = \frac{3}{7} \approx 42{,}9\% \)
Regla de la multiplicación
La regla de la multiplicación permite calcular la probabilidad de que ocurran A y B simultáneamente o en secuencia. Se obtiene despejando P(A ∩ B) de la fórmula de probabilidad condicional.
Regla general de la multiplicación
\[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A) = P(B) \cdot P(A \mid B) \]
Válida siempre, sean A y B independientes o dependientes.
Caso especial — Sucesos independientes: Si A y B son independientes, P(B|A) = P(B), por lo que la fórmula se simplifica a:
\[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \]
Diagrama de árbol
El diagrama de árbol es la representación visual de la regla de la multiplicación. Cada rama muestra una probabilidad y el resultado de un camino se obtiene multiplicando las ramas de ese recorrido.
Ejemplo: sacar 2 bolas de urna con 3 rojas y 2 azules — SIN reposición
Suma total: 6/20 + 6/20 + 6/20 + 2/20 = 20/20 = 1 ✓
Ejemplo — Regla de la multiplicación
EX4
🎒 Urna · Sin reposición
Una urna tiene 3 bolas rojas y 2 azules. Se extraen 2 sin reposición. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera sea roja y la segunda sea azul?
1
Definir los sucesos en secuencia
\[ A = \text{«1ª bola roja»} \qquad B = \text{«2ª bola azul dado que 1ª fue roja»} \]
2
Calcular P(A)
\[ P(A)=\frac{3}{5} \quad \text{(3 rojas de 5 en total)} \]
3
Calcular P(B|A) — tras sacar una roja quedan 4 bolas: 2 rojas y 2 azules
\[ P(B\mid A)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2} \]
4
Aplicar la regla de la multiplicación
\[ P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B\mid A)=\frac{3}{5}\times\frac{1}{2}=\frac{3}{10}=30\% \]
💡Interpretación: Al no reponer la primera bola, el espacio cambia en la segunda extracción. Hay un 30% de probabilidad de obtener exactamente el orden roja–azul.
Resultado
\( P(\text{roja, luego azul}) = \frac{3}{10} = 30\% \)
Teorema de la probabilidad total
El teorema de la probabilidad total permite calcular P(B) cuando el suceso B puede ocurrir por distintos caminos o causas (una partición del espacio muestral). Se pondera cada probabilidad condicional por la probabilidad de su causa.
Teorema de la probabilidad total
Si \( A_1, A_2, \ldots, A_n \) forman una partición del espacio muestral (son incompatibles y su unión es Ω):
\[ P(B) = \sum_{i=1}^{n} P(B \mid A_i) \cdot P(A_i) = P(B\mid A_1)P(A_1) + P(B\mid A_2)P(A_2) + \cdots \]
¿Qué es una partición? Un conjunto de sucesos A₁, A₂, … Aₙ que son mutuamente excluyentes (no pueden ocurrir a la vez) y exhaustivos (entre todos cubren el espacio muestral completo). Ejemplo: {hombres, mujeres}, {aprueba, suspende}.
Ejemplo — Probabilidad total en una fábrica
EX5
🏭 Fábrica · Probabilidad total
Una fábrica tiene tres máquinas: A produce el 50% de las piezas con 2% de defectos; B produce el 30% con 3% de defectos; C produce el 20% con 5% de defectos. ¿Cuál es la probabilidad de que una pieza elegida al azar sea defectuosa?
1
Organizar los datos como tabla de partición
| Máquina | P(máquina) | P(defecto | máquina) | Contribución |
|---|---|---|---|
| A | 0,50 | 0,02 | 0,50 × 0,02 = 0,010 |
| B | 0,30 | 0,03 | 0,30 × 0,03 = 0,009 |
| C | 0,20 | 0,05 | 0,20 × 0,05 = 0,010 |
2
Aplicar el teorema de la probabilidad total
\[ P(D) = P(D\mid A)\cdot P(A) + P(D\mid B)\cdot P(B) + P(D\mid C)\cdot P(C) \]
\[ P(D) = 0{,}010 + 0{,}009 + 0{,}010 = 0{,}029 = 2{,}9\% \]
💡Interpretación: En promedio, el 2,9% de todas las piezas producidas son defectuosas. La máquina C tiene mayor tasa de defectos (5%) pero produce menos volumen, por lo que su impacto es el mismo que A (1% cada una).
Resultado
\( P(\text{defecto}) = 0{,}029 = 2{,}9\% \)
Teorema de Bayes
El teorema de Bayes es la «vuelta de tuerca» de la probabilidad total. Nos permite calcular la probabilidad de una causa (A) dado un efecto (B que ya ocurrió). Es fundamental en diagnósticos médicos, detección de spam, inteligencia artificial y muchas áreas.
Teorema de Bayes
\[ P(A_i \mid B) = \frac{P(B \mid A_i) \cdot P(A_i)}{P(B)} = \frac{P(B \mid A_i) \cdot P(A_i)}{\displaystyle\sum_{j} P(B \mid A_j) \cdot P(A_j)} \]
📥 Probabilidad a priori P(Aᵢ)
Probabilidad de la causa antes de conocer el resultado. Ejemplo: proporción de piezas de cada máquina.
📤 Probabilidad a posteriori P(Aᵢ|B)
Probabilidad de la causa después de conocer el resultado. Ejemplo: si la pieza es defectuosa, ¿qué máquina la fabricó?
Ejemplo — Bayes en la fábrica (continuación)
EX6
🏭 Bayes · ¿Qué máquina produjo la pieza defectuosa?
Con los datos de la fábrica anterior (A: 50%/2%, B: 30%/3%, C: 20%/5%), si se encuentra una pieza defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que la haya fabricado la máquina B?
1
Datos conocidos (del ejemplo anterior)
\[ P(D)=0{,}029 \quad P(D\mid B)=0{,}03 \quad P(B)=0{,}30 \]
2
Aplicar el teorema de Bayes
\[ P(B\mid D)=\frac{P(D\mid B)\cdot P(B)}{P(D)}=\frac{0{,}03\times 0{,}30}{0{,}029}=\frac{0{,}009}{0{,}029} \]
\[ P(B\mid D)=\frac{9}{29}\approx 31{,}0\% \]
3
Verificar calculando para A y C también
| Máquina | P(Dᵢ|máq)·P(máq) | P(máquina|D) |
|---|---|---|
| A | 0,010 | 10/29 ≈ 34,5% |
| B | 0,009 | 9/29 ≈ 31,0% |
| C | 0,010 | 10/29 ≈ 34,5% |
| Σ | 0,029 | 100% |
💡Interpretación: Aunque B produce el 30% de las piezas, cuando se detecta un defecto, la probabilidad de que sea de B es solo el 31%, similar a A y C. Esto se debe a que C tiene mayor tasa de defectos (5%), compensando su menor volumen.
Resultado
\( P(\text{máquina B}\mid\text{defecto}) = \frac{9}{29} \approx 31\% \)
Ejemplos de Probabilidad Compuesta
E1
🎲🪙 Dado y moneda · Independientes
Se lanza un dado y una moneda. ¿Cuál es la probabilidad de sacar un 4 en el dado Y cara en la moneda?
1
Identificar los sucesos y verificar independencia
El resultado del dado no afecta al de la moneda ni viceversa → sucesos independientes.\[ A=\{4\text{ en dado}\}\Rightarrow P(A)=\frac{1}{6} \qquad B=\{\text{cara}\}\Rightarrow P(B)=\frac{1}{2} \]
2
Aplicar la regla de multiplicación para independientes
\[ P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)=\frac{1}{6}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{12} \]
3
Verificar con el espacio muestral completo
Espacio muestral: 6 caras del dado × 2 caras de la moneda = 12 resultados equiprobables. Solo (4, cara) nos favorece → 1/12. \[ P(4\text{ y cara})=\frac{1}{12}\approx 8{,}3\% \]
💡Interpretación: Al ser experimentos completamente independientes, la probabilidad de la combinación es simplemente el producto de las probabilidades individuales. Solo 1 de los 12 resultados posibles es el deseado.
Resultado
\( P(\text{4 y cara}) = \frac{1}{12} \approx 8{,}3\% \)
E2
🃏 Baraja · Sin reposición · Dependientes
De una baraja de 52 cartas se extraen 2 sin reposición. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos sean corazones?
1
Primera extracción
Hay 13 corazones de 52 cartas.\[ P(\text{1º corazón})=\frac{13}{52}=\frac{1}{4} \]
2
Segunda extracción — sin reposición, dependiente
Quedan 51 cartas, de las cuales 12 son corazones.\[ P(\text{2º corazón}\mid\text{1º corazón})=\frac{12}{51}=\frac{4}{17} \]
3
Regla de la multiplicación
\[ P(\text{dos corazones})=\frac{1}{4}\times\frac{4}{17}=\frac{4}{68}=\frac{1}{17}\approx 5{,}9\% \]
✅ Verificación combinatoria
\[ P=\frac{\binom{13}{2}}{\binom{52}{2}}=\frac{78}{1326}=\frac{1}{17}\approx5{,}9\% \quad\checkmark \]
💡Interpretación: Extraer dos corazones seguidos es poco probable (≈6%). Si fuera con reposición, sería (1/4)²=1/16≈6,25%, solo ligeramente mayor, porque la baraja es grande.
Resultado
\( P(\text{dos corazones}) = \frac{1}{17} \approx 5{,}9\% \)
E3
🏥 Diagnóstico médico · Bayes
Una enfermedad afecta al 1% de la población. Un test da positivo al 95% de los enfermos y al 10% de los sanos (falso positivo). Si una persona da positivo, ¿cuál es la probabilidad de que realmente esté enferma?
1
Definir y organizar los datos
| Suceso | Probabilidad |
|---|---|
| P(enfermo) = E | 0,01 |
| P(sano) = S | 0,99 |
| P(+ | enfermo) | 0,95 |
| P(+ | sano) = falso positivo | 0,10 |
2
Calcular P(+) con el Teorema de la Probabilidad Total
\[ P(+)=P(+\mid E)\cdot P(E)+P(+\mid S)\cdot P(S) \]
\[ P(+)=0{,}95\times0{,}01+0{,}10\times0{,}99=0{,}0095+0{,}099=0{,}1085 \]
3
Aplicar Bayes: P(enfermo | positivo)
\[ P(E\mid+)=\frac{P(+\mid E)\cdot P(E)}{P(+)}=\frac{0{,}95\times0{,}01}{0{,}1085}=\frac{0{,}0095}{0{,}1085} \]
\[ P(E\mid+)\approx 0{,}0876=8{,}76\% \]
💡Interpretación (sorprendente): Aunque el test tiene 95% de sensibilidad, si das positivo solo hay un ~8,8% de probabilidad de estar enfermo. ¿Por qué? Porque la enfermedad es muy rara (1%). La mayoría de los positivos son falsos positivos de personas sanas (0,99 × 0,10 = 9,9% de la población).
Resultado
\( P(\text{enfermo}\mid\text{positivo}) \approx 8{,}76\% \)
E4
🎲🎲 Dos dados · Condicional
Se lanzan dos dados. Sabiendo que la suma es mayor que 7, ¿cuál es la probabilidad de que ambos dados muestren el mismo número?
1
Definir sucesos
\[ A=\text{suma}>7 \qquad B=\text{doble (misma cara en ambos)} \]
2
Listar los casos de A: pares cuya suma es 8,9,10,11 o 12
Suma=8: (2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2) · Suma=9: (3,6),(4,5),(5,4),(6,3) · Suma=10: (4,6),(5,5),(6,4) · Suma=11: (5,6),(6,5) · Suma=12: (6,6) → n(A)=15
3
Listar los casos de A ∩ B: dobles con suma mayor que 7
Dobles con suma >7: (4,4) suma=8, (5,5) suma=10, (6,6) suma=12 → n(A∩B)=3\[ P(A\cap B)=\frac{3}{36} \qquad P(A)=\frac{15}{36} \]
4
Probabilidad condicional
\[ P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=\frac{3/36}{15/36}=\frac{3}{15}=\frac{1}{5}=20\% \]
💡Interpretación: De los 15 resultados donde la suma supera 7, solo 3 son dobles. La condición «suma mayor que 7» reduce el espacio de 36 a 15 pares, y dentro de esos 15 hay un 20% de dobles.
Resultado
\( P(\text{doble}\mid\text{suma}>7) = \frac{1}{5} = 20\% \)
E5
🎒 Tres extracciones · Árbol completo
Una caja tiene 4 bolas rojas y 2 verdes. Se extraen 3 sin reposición. ¿Cuál es la probabilidad de sacar exactamente 2 rojas y 1 verde?
1
Identificar todos los órdenes posibles para «2 rojas y 1 verde»
Los órdenes son: RRV, RVR, VRR — tres caminos distintos.\[ P(\text{exactamente 2R y 1V}) = P(RRV)+P(RVR)+P(VRR) \]
2
Calcular P(RRV)
\[ P(RRV)=\frac{4}{6}\times\frac{3}{5}\times\frac{2}{4}=\frac{24}{120}=\frac{1}{5} \]
3
Calcular P(RVR)
\[ P(RVR)=\frac{4}{6}\times\frac{2}{5}\times\frac{3}{4}=\frac{24}{120}=\frac{1}{5} \]
4
Calcular P(VRR)
\[ P(VRR)=\frac{2}{6}\times\frac{4}{5}\times\frac{3}{4}=\frac{24}{120}=\frac{1}{5} \]
5
Sumar los tres casos (son incompatibles)
\[ P(\text{2R,1V})=\frac{1}{5}+\frac{1}{5}+\frac{1}{5}=\frac{3}{5}=60\% \]
💡Interpretación: Los tres órdenes posibles tienen exactamente la misma probabilidad (1/5 cada uno). Al ser incompatibles se suman, dando un 60%. Lo que cambia es el orden, no la cantidad extraída.
Resultado
\( P(\text{2 rojas y 1 verde}) = \frac{3}{5} = 60\% \)
E6
📦 Problema completo · Probabilidad total + Bayes
Hay dos cajas: la caja I tiene 6 bolas rojas y 4 azules; la caja II tiene 3 rojas y 7 azules. Se elige una caja al azar y se extrae una bola. Si la bola es roja, ¿cuál es la probabilidad de que viniera de la caja I?
1
Datos iniciales (probabilidades a priori)
\[ P(C_I)=\frac{1}{2} \quad P(C_{II})=\frac{1}{2} \quad P(R\mid C_I)=\frac{6}{10}=0{,}6 \quad P(R\mid C_{II})=\frac{3}{10}=0{,}3 \]
2
Probabilidad total de sacar bola roja
\[ P(R)=0{,}6\times0{,}5+0{,}3\times0{,}5=0{,}30+0{,}15=0{,}45 \]
3
Aplicar Bayes
\[ P(C_I\mid R)=\frac{P(R\mid C_I)\cdot P(C_I)}{P(R)}=\frac{0{,}6\times0{,}5}{0{,}45}=\frac{0{,}30}{0{,}45}=\frac{2}{3}\approx66{,}7\% \]
💡Interpretación: Al ver que la bola es roja, actualizamos nuestra creencia sobre qué caja se eligió. La caja I tiene el doble de probabilidad de ser la origen (66,7%) porque tiene mayor proporción de bolas rojas (60% vs 30%).
Resultado
\( P(\text{caja I}\mid\text{roja}) = \frac{2}{3} \approx 66{,}7\% \)
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