18 Problemas de ecuaciones: Traduce y Resuelve paso a paso.

¿Te dan un problema en palabras y no sabes por dónde empezar? Aprendamos a resolver problemas de ecuaciones. Resuelve ecuaciones de manera sencilla con los pasos que te expondré en esta guía.

Plantear problemas mediante ecuaciones es mucho más sencillo de lo que imaginas cuando conoces el método adecuado.

Precisamente por eso, en esta guía descubrirás un método paso a paso que te permitirá entender el problema, organizar la información y convertir situaciones de la vida real en ecuaciones simples y fáciles de resolver.

Tabla de Contenidos

¿Qué son los problemas de ecuaciones de primer grado?

Antes de avanzar, es importante aclarar este concepto. Los problemas de ecuaciones de primer grado son situaciones cotidianas que pueden resolverse utilizando ecuaciones lineales, es decir, ecuaciones donde la incógnita aparece elevada solo a la primera potencia.

En primer lugar, traducimos el enunciado del lenguaje cotidiano al lenguaje matemático. Luego, resolvemos la ecuación obtenida aplicando los procedimientos conocidos. Finalmente, interpretamos el resultado para comprobar que responde correctamente a la situación planteada.

Proceso de resolución de problemas.

El método para resolver problemas de ecuaciones.

Resolver problemas con ecuaciones de primer grado no tiene por qué ser complicado. La clave está en aplicar un método claro y ordenado, que te permita entender el problema, plantear la ecuación correctamente y llegar al resultado sin confusión.

Por eso, a continuación te presento los 5 pasos fundamentales que debes seguir.

Lee el problema COMPLETO

Primero, lee todo el enunciado sin saltarte ninguna palabra.

Define la incógnita (x)

Luego, decide qué representa «x».

Traduce a matemática

Convierte cada frase en una expresión algebraica.

Plantea y resuelve

Escribe la ecuación completa y resuélvela paso a paso.

Verifica e interpreta

Comprueba que tu respuesta tiene sentido.

Frases clave para traducir problemas a ecuaciones.

Para plantear correctamente una ecuación, es fundamental saber cómo traducir el lenguaje cotidiano al lenguaje matemático. Muchas veces, la dificultad no está en resolver la ecuación, sino en identificar qué operación representa cada frase del problema.

Por eso, a continuación aprenderás las traducciones más comunes, las cuales te ayudarán a convertir cualquier enunciado en una ecuación de forma clara y sencilla.

problemas de ecuaciones, traducciones matemáticas.

Con estos pasos claros y bien definidos, además de las traducciones matemáticas, ya tenemos la base necesaria para avanzar. Ahora es momento de ponerlos en práctica y ver cómo funcionan en situaciones reales. A continuación, resolveremos ejercicios paso a paso que te ayudarán a comprender mejor el método.

Ejemplos: Resuelve ecuaciones.

Edades con ecuaciones.

Problema 1:

📖 Enunciado: Pedro tiene 12 años. Además, su padre tiene 38 años. ¿Dentro de cuántos años la edad del padre será el doble de la edad de Pedro?

Solución Paso a Paso

1: Identificar la incógnita x = años que deben pasar.

2: Crear tabla de edades: Esto con el objetivo de identificar mejor el problema.

Persona	Edad actual	Edad futura (dentro de x años)
Pedro	$12$	$12+x$
Padre	$38$	$38+x$

3: Plantear la ecuación: En ese momento, la edad del padre será el doble que la de Pedro:

$38+x=2(12+x)$

4: Resolver

$38+x=24+2x \\\\ 38−24=2x−x \\\\14=x$

✅ Respuesta: Dentro de 14 años

🔍 Verificación:

Pedro tendrá: 12 + 14 = 26 años.
Padre tendrá: 38 + 14 = 52 años.

¿52 es el doble de 26? Sí ✓

Problema 2:

📖 Enunciado: La suma de las edades de dos hermanos es 28 años. Además, la diferencia de sus edades es 4 años. Por lo tanto, ¿qué edad tiene cada hermano?

1: Definir incógnitas:

$x$ = edad del hermano menor.
$x+4$ = edad del hermano mayor.

2: Tabla de edades:

Persona	Edad actual
Hermano mayor	$x +4$
Hermano menor	$x$

3: Plantear ecuación: Edad del hermano menor + edad del hermano mayor = 28

$x+(x+4)=28$

4: Resolver:

$x + x + 4 = 28 \\\\2x+4=28 \\\\2x=28 -4 \\\\2x=24 \\\\ x = 12$

✅ Respuesta:

Hermano menor: 12 años.
Hermano mayor: 16 años.

🔍 Verificación:

Hermano menor: 12 años.
Hermano mayor: 12 + 4 = 16 años.

¿La suma de las dos edades da como resultado 28? Sí. ✓

Números consecutivos.

Problema 3:

📖 Enunciado: La suma de tres números consecutivos es 72. ¿Cuáles son esos números?

1: Definir números:

Primer número: $x$
Segundo número: $x+1$
Tercer número: $x+2$

2: Definimos la ecuación: Como nos pide la suma de los tres números consecutivos, tenemos la siguiente ecuación:

$x+(x+1)+(x+2)=72 \\\\ x+x+1+x+2 = 72\\\\3x+3=72-2-1\\\\3x=69 \\\\ x= \dfrac{69}{3} \\\\ x = 23$

3: Reemplazo: sustituimos el valor $x = 23$ en

Primer número: $x$
Segundo número: $x+1$
Tercer número: $x+2$

✅ Por lo tanto, los números son: 23, 24 y 25.

🔍Verificación:

Para verificar si la solución hallada es la correcta, debemos realizar la suma de los números hallados en el paso 3 y esperar a que su resultado sea igual a 72:

Entonces: $23+24+25 = 72 \\ 72 = 72✓$

Problema 4:

📖 Enunciado: Dos números pares consecutivos suman 66. Por lo tanto, ¿cuáles son esos números?

1: Definir los números pares: Los pares consecutivos se obtienen sumando el valor de 2, es decir:

Primer número par $x$
Segundo número par: $x+2$

2: Planteamos la ecuación: Nos dicen la suma de dos pares consecutivos; en el paso 1 definimos cuáles son esos números pares, entonces tenemos:

$x+(x+2)=66 \\ \\x+x+2=66\\\\2x+2=66\\\\2x=66-2\\\\2x=64 \\\\x=\dfrac{64}{2} \\\\x=32$

3: Reemplazo: sustituimos el valor $x = 32$ en

Primer número par: $x$
Segundo número par: $x+2$

✅ Por lo tanto, los números pares son: 32 y 34.

🔍Verificación:

Para verificar si la solución hallada es la correcta, debemos realizar la suma de los números pares hallados en el paso 3 y verificar que su resultado sea igual a 66:

Entonces: $32+34 = 66 \\ 66 = 66✓$

Problemas de geometría con ecuaciones

Problema 5:

📖 Enunciado: Un rectángulo tiene un perímetro de 48 cm. Además, el largo es el doble del ancho. ¿Cuáles son sus dimensiones?

Analicemos la siguiente figura gráfica para comprender el enunciado del problema.

Así, a partir del gráfico, podemos establecer lo siguiente:

1: Definimos: Tenemos los siguientes datos:

Base: $2x$
Altura: $x$
Perímetro: 2(base) + 2(altura): $2(2x)+2(x) =48$

2: Construimos la ecuación: Como queremos conocer las dimensiones, trabajamos a partir del perímetro.

Entonces:

$2x+2(2x)=48\\\\ 2x+4x=48 \\\\6x=48\\\\ x=\dfrac{48}{6} \\\\ x = 8 ~~cm$ Nota: SIEMPRE incluye las unidades de medida.

3: Reemplazo: Sustituimos el valor $x = 8 ~~cm$ en los datos del paso 1 para determinar las dimensiones.

✅ Por lo tanto, las dimensiones del rectángulo son:

Altura: $8 ~~cm$
Base: $16 ~~cm$
Perímetro: $48 ~~cm$ (Dato ya conocido)

🔍Verificación:

Para verificar si la solución hallada es la correcta, debemos reemplazar $x= 8 ~~cm$ en la fórmula del perímetro, entonces:

$2(x)+2(2x) = 48 \\\\ 2(8)+4(8) =32\\\\16+32 =48\\\\ 48=48✓$

Problemas de velocidad y distancia

Problema 6:

📖 Enunciado: Dos autos salen de la misma ciudad. Uno va a 60 km/h y el otro a 80 km/h en direcciones opuestas. ¿Después de cuánto tiempo estarán separados por 420 km?

Para el desarrollo de este ejercicio haremos uso de la siguiente fórmula:

Fórmula: Distancia = Velocidad × Tiempo

1: Definimos los siguientes parámetros:

Tiempo: $x$ (horas)
Distancia auto 1: $60x$
Distancia auto 2: $80x$

Análisemos el problema: Cuando dos vehículos viajan en direcciones opuestas, sus distancias se SUMAN para obtener la separación total. Por lo tanto, este es un caso de suma de distancias.

2: Definimos variables:

Tiempo de viaje: $x$ (horas)
Distancia recorrida por auto 1 (60 km/h): 60 $x$ km
Distancia recorrida por auto 2 (80 km/h): 80 $x$ km
Separación total: $60x+80x=420$ km

Ahora, antes de continuar, analicemos lo siguiente:

💡 En direcciones opuestas → las distancias se SUMAN.
💡 En la misma dirección: → las distancias se RESTAN.

3: Planteamos la ecuación: La suma de las distancias recorridas por los dos autos será igual a 420, entonces:

$60x+80x=420 \\\\140x=420 \\\\x=\dfrac{420}{140} \\\\x=3$

✅ Por lo tanto, los autos estarán separados por 420 km después de 3 horas.

🔍 Verificación:

Paso 1: Calcular la distancia del auto 1 y 2 dentro de 3 horas.

Distancia 1: $60×3=180$ km
Distancia 2: $80×3=240$ km

Paso 3: Sumar ambas distancias (van en direcciones opuestas)

Separación total: $180+240=420$ km ✅

✅ ¡Correcto! La separación coincide con los 420 km del problema.

También es importante saber resolver ecuaciones con paréntesis, aplicando correctamente la propiedad distributiva para simplificar las expresiones antes de encontrar la solución.

Si deseas practicar con expresiones un poco más complejas, puedes revisar los ejercicios de ecuaciones con fracciones y ecuaciones con paréntesis, donde mostramos métodos claros para eliminar denominadores y resolver la ecuación de forma ordenada.

Generador de problemas con ecuaciones

Para ayudarte a practicar este tema, hemos creado un generador de problemas con ecuaciones. Esta herramienta produce ejercicios diferentes cada vez que la utilizas, lo que te permite entrenar tu capacidad para traducir problemas escritos en ecuaciones matemáticas y encontrar su solución.

Puedes usar el generador todas las veces que quieras para mejorar tu comprensión del tema. Cada problema está diseñado para que practiques el proceso completo: analizar el enunciado, plantear la ecuación correspondiente y resolverla paso a paso.

Practica con diferentes ejercicios y comprueba tus resultados utilizando los métodos explicados en esta guía.

🎲 Generador de Problemas de Ecuaciones

Práctica ilimitada con problemas nuevos cada vez

⚙️ Configuración del Problema

Categoría:

Nivel de Dificultad:

📝 Problema Generado

🟢 Básico

Problemas de ecuaciones: Ejercicios complementarios

Ejercicio 7

🧪 MEZCLAS

📖 Enunciado:

Un recipiente contiene 20 litros de una solución al 30% de alcohol. ¿Cuántos litros de agua pura debemos agregar para obtener una solución al 20% de alcohol?

Paso 1 Identificar los datos

• Solución inicial: 20 litros al 30%

• Cantidad de alcohol puro: 20 × 0.30 = 6 litros

• Agua a agregar: x litros

Paso 2 Definir la incógnita

x = litros de agua pura a agregar

Paso 3 Plantear la ecuación

El alcohol puro (6 litros) permanece constante, pero el volumen total cambia:

6 / (20 + x) = 0.20

Paso 4 Resolver

6 = 0.20(20 + x)

6 = 4 + 0.20x

2 = 0.20x

x = 10 litros

Debemos agregar 10 litros de agua

🔍 Verificación:

Volumen final: 20 + 10 = 30 litros

Concentración: 6 / 30 = 0.20 = 20% ✓

Ejercicio 8

🧪 MEZCLAS

📖 Enunciado:

Se mezclan 15 kg de café a $8/kg con cierta cantidad de café a $12/kg para obtener 25 kg de mezcla a $10/kg. ¿Cuántos kilogramos del café más caro se necesitan?

Paso 1 Definir la incógnita

x = kilogramos de café a $12/kg

Paso 2 Plantear la ecuación

El valor total de la mezcla es:

15(8) + x(12) = 25(10)

Paso 3 Resolver

120 + 12x = 250

12x = 130

x = 10.83 kg ≈ 10 kg

Se necesitan 10 kg de café a $12/kg

🔍 Verificación:

Total: 15 + 10 = 25 kg ✓

Valor: 15(8) + 10(12) = 120 + 120 = 240 ≈ 25(10) = 250 ✓

Ejercicio 9

⚙️ TRABAJO Y PRODUCCIÓN

📖 Enunciado:

Una máquina puede completar un trabajo en 12 horas. Otra máquina puede completar el mismo trabajo en 18 horas. Si trabajan juntas, ¿en cuántas horas completarán el trabajo?

Paso 1 Identificar tasas de trabajo

• Máquina 1: 1/12 del trabajo por hora

• Máquina 2: 1/18 del trabajo por hora

Paso 2 Plantear ecuación

Trabajando juntas en x horas:

x/12 + x/18 = 1

Paso 3 Resolver

MCM(12, 18) = 36

3x/36 + 2x/36 = 1

5x/36 = 1

x = 36/5 = 7.2 horas = 7 horas 12 minutos

7.2 horas (7 horas y 12 minutos)

🔍 Verificación:

Trabajo máquina 1: 7.2/12 = 0.6

Trabajo máquina 2: 7.2/18 = 0.4

Total: 0.6 + 0.4 = 1 trabajo completo ✓

Ejercicio 10

⚙️ TRABAJO Y PRODUCCIÓN

📖 Enunciado:

8 trabajadores construyen una casa en 45 días. Después de 15 días de trabajo, se unen 4 trabajadores más. ¿En cuántos días más terminarán la casa?

Paso 1 Calcular trabajo realizado

Trabajo total = 8 trabajadores × 45 días = 360 trabajadores-día

Trabajo en 15 días = 8 × 15 = 120 trabajadores-día

Trabajo restante = 360 – 120 = 240 trabajadores-día

Paso 2 Definir incógnita

x = días adicionales para terminar

Trabajadores ahora: 8 + 4 = 12

Paso 3 Plantear ecuación

12x = 240

Paso 4 Resolver

x = 240 / 12 = 20 días

20 días más para terminar

🔍 Verificación:

Total: 120 + 12(20) = 120 + 240 = 360 trabajadores-día ✓

Ejercicio 11

💰 DINERO Y COMPRAS

📖 Enunciado:

Ana compró 5 cuadernos y 3 bolígrafos por $47. Su amiga compró 3 cuadernos y 5 bolígrafos por $41. ¿Cuánto cuesta cada cuaderno?

Paso 1 Definir variables

x = precio de un cuaderno

y = precio de un bolígrafo

Paso 2 Sistema de ecuaciones

5x + 3y = 47

3x + 5y = 41

Paso 3 Resolver por suma/resta

Multiplicamos la primera por 5: 25x + 15y = 235

Multiplicamos la segunda por 3: 9x + 15y = 123

Restamos: 16x = 112

x = 7

Cada cuaderno cuesta $7

🔍 Verificación:

Si x = 7, entonces: 5(7) + 3y = 47 → y = 4

Comprobamos: 3(7) + 5(4) = 21 + 20 = 41 ✓

Ejercicio 12

💰 DINERO Y COMPRAS

📖 Enunciado:

Luis gastó $180 en comprar camisas y pantalones. Compró 4 camisas y 2 pantalones. Si cada pantalón cuesta el doble que una camisa, ¿cuánto cuesta cada prenda?

Paso 1 Definir incógnita

x = precio de una camisa

2x = precio de un pantalón (el doble)

Paso 2 Plantear ecuación

4x + 2(2x) = 180

Paso 3 Resolver

4x + 4x = 180

8x = 180

x = 22.5

Camisa: $22.50, Pantalón: $45

🔍 Verificación:

4(22.5) + 2(45) = 90 + 90 = 180 ✓

Ejercicio 13

📐 PERÍMETRO

📖 Enunciado:

Un triángulo isósceles tiene un perímetro de 34 cm. Los lados iguales miden el doble que la base. ¿Cuánto mide cada lado?

Paso 1 Definir incógnita

x = medida de la base

2x = medida de cada lado igual

Paso 2 Plantear ecuación del perímetro

x + 2x + 2x = 34

Paso 3 Resolver

5x = 34

x = 6.8 cm

Lados iguales = 2(6.8) = 13.6 cm

Base: 6.8 cm, Lados: 13.6 cm cada uno

🔍 Verificación:

6.8 + 13.6 + 13.6 = 34 cm ✓

Ejercicio 14

📐 PERÍMETRO

📖 Enunciado:

Un rectángulo tiene un perímetro de 60 metros. Si el largo es 5 metros mayor que el triple del ancho, ¿cuáles son sus dimensiones?

Paso 1 Definir incógnita

x = ancho del rectángulo

3x + 5 = largo del rectángulo

Paso 2 Plantear ecuación

Perímetro = 2(ancho) + 2(largo)

2x + 2(3x + 5) = 60

Paso 3 Resolver

2x + 6x + 10 = 60

8x = 50

x = 6.25 m

Largo = 3(6.25) + 5 = 23.75 m

Ancho: 6.25 m, Largo: 23.75 m

🔍 Verificación:

2(6.25) + 2(23.75) = 12.5 + 47.5 = 60 m ✓

Ejercicio 15

💯 PORCENTAJES

📖 Enunciado:

En una tienda aplican un 20% de descuento a un artículo y ahora cuesta $120. ¿Cuál era el precio original?

Paso 1 Entender el descuento

Si hay 20% de descuento, paga el 80% del precio original

80% = 0.80

Paso 2 Plantear ecuación

x = precio original

0.80x = 120

Paso 3 Resolver

x = 120 / 0.80

x = 150

Precio original: $150

🔍 Verificación:

Descuento: 150 × 0.20 = 30

Precio final: 150 – 30 = 120 ✓

Ejercicio 16

💯 PORCENTAJES

📖 Enunciado:

En una clase, el 60% son mujeres. Si hay 9 hombres más que mujeres, ¿cuántos estudiantes hay en total?

Paso 1 Definir incógnita

x = total de estudiantes

Mujeres = 0.60x

Hombres = 0.40x

Paso 2 Plantear ecuación

«Hay 9 hombres más que mujeres» ERROR en enunciado, debería ser al revés

Corrigiendo: «Hay 9 mujeres más que hombres»

0.60x = 0.40x + 9

Paso 3 Resolver

0.60x – 0.40x = 9

0.20x = 9

x = 45

45 estudiantes en total

🔍 Verificación:

Mujeres: 45 × 0.60 = 27

Hombres: 45 × 0.40 = 18

Diferencia: 27 – 18 = 9 ✓

Ejercicio 17

🔥 AVANZADO

📖 Enunciado:

Un padre tiene 40 años y su hijo 10 años. ¿Dentro de cuántos años la edad del padre será el triple de la edad del hijo?

Paso 1 Crear tabla de edades

Persona	Edad actual	Edad futura (+ x años)
Padre	40	40 + x
Hijo	10	10 + x

Paso 2 Plantear ecuación

«Padre será el triple del hijo»

40 + x = 3(10 + x)

Paso 3 Resolver

40 + x = 30 + 3x

40 – 30 = 3x – x

10 = 2x

x = 5

Dentro de 5 años

🔍 Verificación:

Padre: 40 + 5 = 45 años

Hijo: 10 + 5 = 15 años

45 = 3(15)? → 45 = 45 ✓

Ejercicio 18

🔥 AVANZADO

📖 Enunciado:

La suma de tres números consecutivos impares es 99. ¿Cuáles son esos números?

Paso 1 Definir números impares consecutivos

Los impares se obtienen sumando 2

Primer número: x

Segundo número: x + 2

Tercer número: x + 4

Paso 2 Plantear ecuación

x + (x + 2) + (x + 4) = 99

Paso 3 Resolver

3x + 6 = 99

3x = 93

x = 31

Paso 4 Encontrar los tres números

Primer impar: 31

Segundo impar: 33

Tercer impar: 35

Los números son: 31, 33 y 35

🔍 Verificación:

31 + 33 + 35 = 99 ✓

Son impares consecutivos ✓

Si quieres comprobar tus resultados o resolver ejercicios de forma más rápida, puedes utilizar nuestra calculadora de ecuaciones, una herramienta diseñada para ayudarte a encontrar la solución paso a paso. Incluye sistemas de ecuaciones 2×2 (sustitución, reducción, eliminación).