¿Qué es una inecuación? Las inecuaciones son expresiones matemáticas que comparan dos cantidades mediante símbolos como <, >, ≤ y ≥. A diferencia de las ecuaciones, que buscan un único valor o varios valores específicos, las inecuaciones permiten encontrar todos los números que satisfacen una determinada condición.
Guía de colores — cómo leer este artículo
Cada color tiene un papel fijo en todos los ejercicios. Apréndetelos una vez y seguirás cualquier paso sin perderte.
¿Qué es una inecuación?
Una inecuación es como una ecuación, pero en vez de = usa un signo de desigualdad
En una ecuación como 2x + 3 = 11 buscas el valor exacto de x que hace verdadera la igualdad. Solo hay una respuesta: x = 4.
En una inecuación como 2x + 3 < 11 buscas todos los valores de x que hacen verdadera la desigualdad. No es un solo número — es un conjunto infinito de valores: todos los x menores que 4.
Piénsalo así: la ecuación es como una puerta cerrada (solo un punto). La inecuación es como un pasillo (un rango completo de valores válidos).
La solución de una inecuación es un intervalo que se puede representar en la recta numérica.
Solución: \(x = 4\)
Solo el número 4 satisface la igualdad.
Solución: \(x < 4\)
Todos los números menores que 4 la satisfacen: 3, 0, −5, 3,99…
Los cuatro símbolos de desigualdad
Cada símbolo tiene un significado preciso — y uno pequeño detalle cambia todo
La diferencia entre < y ≤ parece pequeña, pero es crucial: el símbolo con la rayita de abajo (≤ y ≥) incluye el valor del borde. El símbolo sin rayita (< y >) excluye el borde. Eso cambia si el punto en la recta numérica está relleno o vacío.
En la recta: círculo vacío en 5.
En la recta: círculo vacío en 3.
En la recta: círculo relleno en 5.
En la recta: círculo relleno en 3.
Círculo vacío = el valor no está incluido (< o >) · Círculo relleno = el valor sí está incluido (≤ o ≥)
Reglas para resolver inecuaciones — las mismas que ecuaciones, con una excepción
Puedes sumar, restar, multiplicar y dividir en ambos lados — con una regla muy importante
La mayoría de reglas son iguales que en las ecuaciones: lo que haces en un lado lo haces en el otro. Puedes sumar o restar cualquier número en ambos lados sin problema. Puedes multiplicar o dividir entre un número positivo sin problema.
Pero hay una regla que no existe en las ecuaciones y que debes grabarte:
Cuando multiplicas o divides ambos lados por un número NEGATIVO, el signo de desigualdad se invierte.
< se convierte en > · > se convierte en < · ≤ se convierte en ≥ · ≥ se convierte en ≤
Al multiplicar o dividir por un número NEGATIVO → el signo cambia
¿Por qué? Porque la relación de orden se invierte. Si 3 < 5, al multiplicar por −1 obtienes −3 > −5 (−3 es mayor que −5 en la recta numérica). La posición relativa se voltea.
Ejemplo: −2x < 8 → divido entre −2 → el signo cambia → x > −4
Este es el error más común. Si olvidas cambiar el signo, tu solución será exactamente la contraria a la correcta.
x − 3 + 3 > 7 + 3
x > 10 ✓
El signo no cambia.
x < 12÷3
x < 4 ✓
Dividir entre +3: signo igual.
x > 12÷(−3)
x > −4 ✓
Dividir entre −3: signo cambia.
Inecuación lineal — los 4 pasos para resolverla
El proceso es casi idéntico a resolver una ecuación — solo cuida el signo al dividir
Paso 1: simplifica cada lado (elimina paréntesis, combina términos semejantes).
Paso 2: pasa todos los términos con x a un lado y los números al otro.
Paso 3: despeja x dividiendo. Si divides por negativo, invierte el signo.
Paso 4: verifica sustituyendo un valor de la solución y otro fuera de ella.
Despejo x igual que en una ecuación. Divido entre 3 (positivo) → el signo no cambia.
Al despejar x voy a dividir entre −2. Eso significa que el signo ≥ se convierte en ≤.
Representación en la recta numérica
La recta numérica muestra visualmente todos los valores que son solución
Para representar la solución en la recta numérica sigues estas reglas:
1. Marca el valor crítico (el número de la solución) en la recta.
2. Si el signo es estricto (< o >): dibuja un círculo vacío (el valor no está incluido).
3. Si el signo incluye igualdad (≤ o ≥): dibuja un círculo relleno (el valor sí está incluido).
4. Sombrea o traza la línea hacia el lado que contiene la solución (a la izquierda si es «menor», a la derecha si es «mayor»).
Notación de intervalo — cómo escribir la solución
La notación de intervalo es la forma compacta y estándar de escribir la solución
En vez de escribir «todos los x mayores que 3», usas la notación (3, +∞). Los paréntesis y corchetes tienen significados distintos:
Paréntesis ( ) → el valor del extremo NO está incluido (signo estricto < o >)
Corchete [ ] → el valor del extremo SÍ está incluido (signo con igual ≤ o ≥)
+∞ y −∞ siempre van con paréntesis, nunca con corchete (el infinito no es un número).
| Inecuación | Notación intervalo | Recta numérica | Significado |
|---|---|---|---|
| \(x < 5\) | \((-\infty,\ 5)\) | Círculo vacío en 5, flecha ← | Todo lo menor que 5 |
| \(x \leq 5\) | \((-\infty,\ 5]\) | Círculo relleno en 5, flecha ← | Todo lo menor o igual a 5 |
| \(x > 2\) | \((2,\ +\infty)\) | Círculo vacío en 2, flecha → | Todo lo mayor que 2 |
| \(x \geq 2\) | \([2,\ +\infty)\) | Círculo relleno en 2, flecha → | Todo lo mayor o igual a 2 |
| \(-1 < x \leq 4\) | \((-1,\ 4]\) | Vacío en −1, relleno en 4 | Entre −1 y 4 (sin el −1) |
Inecuación compuesta — doble desigualdad
Una inecuación compuesta tiene dos desigualdades a la vez — x está «atrapada» entre dos valores
Una inecuación como −1 < 2x + 3 ≤ 9 dice que la expresión 2x+3 debe ser mayor que −1 Y menor o igual que 9 al mismo tiempo.
Para resolverla, operas en los tres miembros a la vez: lo que haces en el centro, lo haces en el lado izquierdo y en el derecho simultáneamente.
La solución será un intervalo acotado (con dos extremos) que representa todos los x que satisfacen las dos condiciones al mismo tiempo.
Opero en los tres miembros a la vez para aislar x en el centro. Primero resto 3 en todos los lados, luego divido entre 2.
Al dividir entre −3, los dos signos se invierten: ≤ se convierte en ≥ y < se convierte en >. Además el orden de los extremos se invierte.
Inecuación cuadrática — tabla de signos
Con una inecuación cuadrática no puedes despejar x directamente — necesitas factorizar y analizar signos
Cuando tienes x², el proceso cambia. La solución puede ser un intervalo o la unión de dos intervalos, dependiendo del signo de la inecuación.
El método es:
Paso 1: pasa todo al mismo lado → deja la inecuación en la forma ax²+bx+c > 0 (o <, ≥, ≤).
Paso 2: factoriza el polinomio (o usa la fórmula cuadrática para encontrar las raíces).
Paso 3: marca las raíces en la recta numérica. Dividen la recta en intervalos.
Paso 4: prueba un valor de cada intervalo en la expresión factorizada para ver el signo.
Paso 5: selecciona los intervalos donde el signo corresponde a la inecuación.
Primero factorizo x²−x−6. Busco dos números que multiplicados den −6 y sumados den −1: son −3 y 2. Entonces: (x−3)(x+2). Las raíces son x=3 y x=−2.
| Intervalo | Valor prueba | (x−3) | (x+2) | Producto | ¿>0? |
|---|---|---|---|---|---|
| x < −2 | x = −5 | − (neg) | − (neg) | + (pos) | ✓ SÍ |
| −2 < x < 3 | x = 0 | − (neg) | + (pos) | − (neg) | ✗ NO |
| x > 3 | x = 5 | + (pos) | + (pos) | + (pos) | ✓ SÍ |
Es la misma factorización del ejercicio anterior: (x−3)(x+2) ≤ 0. Ahora busco dónde el producto es negativo o cero. El 0 se alcanza en las raíces x=−2 y x=3, así que incluyo esos puntos (≤, no <).
20 ejercicios resueltos — nivel creciente
Los ejercicios E1–E7 ya están resueltos en las secciones anteriores. Aquí continúan los 13 restantes.
E8 – E13 · Nivel intermedio
| Intervalo | (x−1) | (x−3) | Producto | <0? |
|---|---|---|---|---|
| x < 1 | − | − | + | NO |
| 1 < x < 3 | + | − | − | SÍ |
| x > 3 | + | + | + | NO |
E14 – E20 · Nivel avanzado
x² siempre es ≥ 0, y 4 > 0. Entonces x²+4 siempre es mayor que 0, para cualquier valor de x. No hay discriminante — es siempre verdadero.
Resuelvo cada inecuación por separado y luego busco los valores que cumplen las dos al mismo tiempo (intersección).
Resumen — Inecuaciones en un vistazo
Errores más comunes en inecuaciones
x > 12÷(−4)
x > −3 ✗
x < 12÷(−4)
x < −3 ✓
Escriben (−∞, 7)
¡Sin corchete en el 7!
Intervalo: (−∞, 7]
Corchete porque incluye 7 ✓
Dicen: x=2 o x=−3
¡Esas son las raíces, no la solución!
x < −3 o x > 2
Intervalo: (−∞,−3)∪(2,+∞) ✓
sin comprobar ningún valor
No detectan errores de signo
Prueban x=10 (fuera): ¿no cumple?
Ambos correctos → solución válida
Preguntas frecuentes sobre inecuaciones
Una ecuación (con =) tiene como solución uno o varios valores específicos de x. Una inecuación tiene como solución un conjunto infinito de valores: todos los x que forman un intervalo en la recta numérica.
La técnica de resolución es casi idéntica — despejas x paso a paso — pero la solución se expresa de forma muy distinta: como un intervalo, no como un valor concreto.
Porque los números negativos «invierten» el orden en la recta numérica. Si tienes 2 < 5 (2 está a la izquierda de 5), y multiplicas por −1, obtienes −2 y −5. Pero ahora −2 está a la DERECHA de −5, así que −2 > −5. El orden se invierte.
Con números positivos esto no ocurre: si 2 < 5 y multiplicas por 3, obtienes 6 < 15. El 6 sigue estando a la izquierda del 15. El orden se conserva.
Puede pasar. Cuando despejas x y terminas con una afirmación siempre verdadera (como 0 < 5), la inecuación se cumple para todos los números reales. La solución es ℝ o (−∞, +∞).
Cuando terminas con una afirmación siempre falsa (como 0 > 5), la inecuación no tiene solución. Se escribe como ∅ (conjunto vacío).
Constantemente. Algunos ejemplos concretos de secundaria y vida cotidiana:
Presupuestos: «El gasto no puede superar $500» → gasto ≤ 500.
Velocidad: «La velocidad debe estar entre 60 y 120 km/h» → 60 ≤ v ≤ 120.
Temperatura: «El producto debe refrigerarse a menos de 4°C» → T < 4.
Medicina: «La dosis debe ser al menos 5 mg pero no más de 20 mg» → 5 ≤ dosis ≤ 20.
Economía: todo tipo de restricciones de producción, beneficio mínimo, costos máximos.
El método más rápido es la tabla de signos: factorizas la expresión, marcas las raíces y pruebas un valor de cada intervalo. Si el signo en ese intervalo coincide con lo que pide la inecuación, ese intervalo es solución.
Para verificar al final, prueba un valor concreto dentro de tu solución y sustitúyelo en la inecuación original. Si se cumple, vas bien. Si no se cumple, revisaste algo mal (probablemente el signo al factorizar o la dirección de la desigualdad).
