Las raíces cuadradas forman parte de muchos problemas que encontramos en el álgebra, la geometría, la física y otras ciencias. Aunque suelen parecer un tema complejo al principio, comprender su funcionamiento resulta mucho más sencillo cuando se conocen sus conceptos fundamentales. En este artículo aprenderás qué son las raíces, cómo resolverlas paso a paso y las propiedades que te permitirán simplificar cualquier ejercicio con facilidad.
¿Qué es la raíz cuadrada? — la idea súper sencilla
Imagina que tienes fichas y quieres hacer un cuadrado perfecto con ellas
Si tienes 9 fichas, puedes ordenarlas en un cuadrado de 3 filas con 3 en cada fila. Un cuadrado perfecto de 3 × 3.
La pregunta de la raíz cuadrada es exactamente esa: ¿cuántas fichas tiene cada lado del cuadrado?
Si el cuadrado tiene 9 fichas en total → cada lado tiene 3 fichas. Por eso la raíz cuadrada de 9 es 3.
Dicho de otra forma: la raíz cuadrada de un número es el número que, multiplicado por sí mismo, te da ese resultado.
3 × 3 = 9 → entonces √9 = 3 ✓
El símbolo de la raíz cuadrada
El símbolo √ se llama «radical» y tiene dos partes importantes
El símbolo de la raíz cuadrada es √. Se lee como «raíz cuadrada de…». Lo que escribes dentro del símbolo es el número al que le quieres sacar la raíz.
Así que cuando ves √9, lees: «raíz cuadrada de 9». Y la respuesta es 3, porque 3 × 3 = 9.
El número que va debajo del símbolo se llama radicando (es el número que entró).
El número que sale (la respuesta) se llama raíz (o también radicando exterior).
Preguntas: ¿qué número × sí mismo = 25?
Respuesta: 5, porque 5 × 5 = 25
Si la raíz es «deshacer» el cuadrado, elevar al cuadrado es «hacerlo».
Son operaciones opuestas.
Guía de colores — cómo leer los ejercicios
Voy a usar colores en cada ejercicio para que veas qué hace cada número
Cuando veas un color, ya sabrás qué está pasando sin leer todo el texto. Los colores son tu mapa para entender la raíz cuadrada de un vistazo.
Calcula \(\sqrt{\color{orangered}{36}}\)
Pregunto: ¿qué número multiplicado por sí mismo da 36?
Pruebo: 6 × 6 = 36 ✓
Respuesta: √36 = 6
Los cuadrados perfectos — los números «amigos» de la raíz
Los cuadrados perfectos son los números que tienen raíz cuadrada exacta
Cuando multiplicas un número entero por sí mismo, el resultado es un cuadrado perfecto. Por ejemplo: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100…
A estos números se les puede sacar la raíz exacta y te da un número entero bonito. Son los más fáciles de trabajar.
Si el número NO está en esta lista, su raíz cuadrada no es exacta y tendrás que aproximar (eso lo vemos más adelante).
La tabla de raíces cuadradas — tu hoja de consulta
Aprende a leer esta tabla — te dice rápidamente cuál es la raíz de cada número
La tabla tiene los cuadrados perfectos más comunes. Cuando veas un número como 49 dentro de una raíz, buscas en la columna «número», y en la columna de al lado encuentras la raíz. Así de fácil.
| Número dentro de √ | Se lee | Porque… | Resultado |
|---|---|---|---|
| 1 | Raíz de 1 | 1 × 1 = 1 | 1 |
| 4 | Raíz de 4 | 2 × 2 = 4 | 2 |
| 9 | Raíz de 9 | 3 × 3 = 9 | 3 |
| 16 | Raíz de 16 | 4 × 4 = 16 | 4 |
| 25 | Raíz de 25 | 5 × 5 = 25 | 5 |
| 36 | Raíz de 36 | 6 × 6 = 36 | 6 |
| 49 | Raíz de 49 | 7 × 7 = 49 | 7 |
| 64 | Raíz de 64 | 8 × 8 = 64 | 8 |
| 81 | Raíz de 81 | 9 × 9 = 81 | 9 |
| 100 | Raíz de 100 | 10 × 10 = 100 | 10 |
| 121 | Raíz de 121 | 11 × 11 = 121 | 11 |
| 144 | Raíz de 144 | 12 × 12 = 144 | 12 |
¿Cómo calculo una raíz cuadrada? — el método paso a paso
La raíz cuadrada es como adivinar: ¿qué número × sí mismo me da este resultado?
Cuando te dan √49, el juego es: «piensa en un número que, multiplicado por sí mismo, dé 49«.
Pruebas: 5 × 5 = 25 (muy pequeño) · 8 × 8 = 64 (muy grande) · 7 × 7 = 49 ✓
¡7 es la respuesta! Eso es todo. Y si memorizas la tabla de cuadrados, ni siquiera tienes que probar — lo ves directamente.
Veo el 36 dentro del símbolo √. Me pregunto: ¿qué número multiplicado por sí mismo me da 36?
Recuerdo mi tabla: 6 × 6 = 36 ✓
Entonces la respuesta es 6.
Para saber si es correcto, multiplico la respuesta por sí misma y veo si me da el radicando.
¿Qué pasa cuando la raíz no es exacta?
No todos los números tienen raíz cuadrada exacta — y eso está bien
Imagina que te piden √5. Buscas en la tabla… el 5 no está. ¿Qué haces?
Lo que puedes hacer es encontrar entre qué números enteros está la raíz. Por ejemplo:
2 × 2 = 4 (muy pequeño) · 3 × 3 = 9 (muy grande)
Entonces √5 está entre 2 y 3. Más cerca de 2 (porque 5 está más cerca de 4 que de 9).
Si quieres el número exacto, necesitas una calculadora: √5 ≈ 2.236…
Estos números se llaman irracionales porque no terminan ni se repiten nunca. Para niños, está bien decir «está entre 2 y 3» o usar la calculadora.
El punto rojo muestra que √5 no es exacta — cae entre los enteros 2 y 3
Busco qué cuadrados perfectos están cerca del 20. Miro la tabla: 4×4=16 y 5×5=25. El 20 está entre 16 y 25, entonces √20 está entre 4 y 5.
20 ejercicios resueltos — ¡a practicar!
E1–E5 ya están arriba. Aquí continúan los 15 restantes de nivel creciente.
Nivel básico — raíces directas (E6 – E10)
¿Qué número × sí mismo da 1? Recuerda: 1 × 1 = 1. El 1 es su propio cuadrado perfecto.
¿Qué número × sí mismo da 0? Solo el 0. Porque 0 × 0 = 0.
Nivel intermedio — decidir y comprobar (E11 – E15)
Miro la tabla: 7×7=49 y 8×8=64. El 50 no está en la tabla. No es cuadrado perfecto.
El área de un cuadrado es lado × lado. Si el área es 81, el lado es √81. ¿Cuánto es? 9 × 9 = 81 ✓. Cada lado mide 9 metros.
Para comprobarlo, multiplico la supuesta respuesta (8) por sí misma: 8 × 8 = 64, no 16. ¡Es falso! La respuesta correcta es 4, porque 4 × 4 = 16.
Nivel avanzado (E16 – E20)
400 = 4 × 100. Y √4 = 2 y √100 = 10. Entonces √400 = 2 × 10 = 20. ¡Verifico: 20 × 20 = 400 ✓!
Pienso: ¿qué número entre 10 y 20 multiplicado por sí mismo da 225? Pruebo: 15 × 15 = 225 ✓
Esta vez te dan la raíz y te piden el número original. Es al revés. Si √número = 13, entonces el número es 13 × 13 = 169.
Resumen — Lo que tienes que recordar siempre
Errores que cometen muchos niños — y cómo evitarlos
Pensaron: 16 ÷ 2 = 8
Porque 4 × 4 = 16
Sin verificar
\(\sqrt{49}=7\)
«Aproximé al entero más cercano»
Porque 4 < 7 < 9
Confundieron: 5² = 25
√25 = 5 (raíz de 25 = 5)
Preguntas que hacen los niños
No, al menos no en los números que conoces ahora. Ningún número multiplicado por sí mismo da negativo. Por ejemplo, (−5) × (−5) = +25 (positivo), no −25.
Cuando seas más grande aprenderás los «números imaginarios» que permiten hacer eso, pero por ahora la raíz cuadrada solo funciona con números positivos o cero.
Para muchas cosas que usamos todos los días. Cuando un arquitecto diseña una habitación cuadrada y sabe el área total, usa la raíz para saber cuánto mide cada pared. Los ingenieros la usan para calcular distancias. Y aparece en el famoso Teorema de Pitágoras para triángulos.
También en videojuegos para calcular distancias entre personajes, y en física para calcular velocidades.
Hay un truco sencillo: los cuadrados perfectos siempre terminan en 0, 1, 4, 5, 6 o 9. Si un número termina en 2, 3, 7 u 8, definitivamente NO es cuadrado perfecto.
Además, si el número está en tu tabla de cuadrados (1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144), sí lo es. Si no está, probablemente no lo es (aunque puede haber cuadrados más grandes como 169, 196, etc.).
Es 10. Muchos niños confunden raíz cuadrada con dividir entre 2. Pero no es lo mismo.
100 ÷ 2 = 50 (dividir entre 2, eso es otra cosa).
√100 = 10, porque 10 × 10 = 100 (raíz cuadrada, buscar el lado del cuadrado).
No son exactas, pero son muy famosas en matemáticas:
√2 ≈ 1.414… (entre 1 y 2, más cerca de 1)
√3 ≈ 1.732… (entre 1 y 2, más cerca de 2)
Estos números no terminan nunca y no se repiten. Se llaman números irracionales. Son especiales y aparecen mucho en geometría.
