Método de sustitución con 20 ejercicios resueltos, paso a paso

El método de sustitución es una técnica algebraica utilizada para resolver sistemas de ecuaciones lineales 2×2. Consiste en despejar una variable en una de las ecuaciones y sustituirla en la otra para obtener una ecuación con una sola incógnita.

Este método es especialmente útil cuando una de las ecuaciones permite despejar fácilmente una variable. En esta guía aprenderás cómo aplicar el método de sustitución paso a paso, con ejemplos resueltos y ejercicios prácticos.

Álgebra básica — Sistemas de ecuaciones

Tabla de Contenidos

Método de sustitución en sistemas 2×2: guía completa + 20 ejercicios

↳
¿Qué es el método de sustitución?

Es una de las tres técnicas para resolver sistemas de ecuaciones 2×2. Consiste en despejar una variable en una ecuación y reemplazarla («sustituirla») en la otra, transformando el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas en una sola ecuación con una incógnita. A cada ecuación la llamamos siempre igual: Ecuación 1 y Ecuación 2.

{

1y = x + 2

23x + y = 10

Círculo verde 1 = Ecuación 1 Círculo azul 2 = Ecuación 2 x en azul y en verde

La Ecuación 1 ya nos dice que y vale «x + 2». En vez de trabajar con y en la otra ecuación, escribimos «x + 2» en su lugar — así queda una sola incógnita.

🎯
¿Cuándo conviene usar el método de sustitución?

Úsalo cuando

Una variable ya está despejada, o tiene coeficiente 1 y es muy fácil despejarla.

Considera otro método si

Todos los coeficientes son distintos de 1 — ahí reducción o igualación pueden ser más directos.

💡

Ventaja de este método: es el más intuitivo — «reemplazar una cosa por otra» es una idea que ya usas en muchos otros contextos matemáticos.

📋
Método en 5 pasos

Despeja una variable

En cualquiera de las dos ecuaciones, la que sea más fácil.

Sustituye en la otra ecuación

Reemplaza esa expresión en la ecuación que NO usaste.

Resuelve

Te queda una sola ecuación con una sola incógnita.

Sustituye de vuelta

El valor que hallaste, en la expresión del paso 1, para hallar la otra variable.

Verifica

Sustituye ambos valores en las DOS ecuaciones originales.

Ejemplo guiado

{

1y = x + 2

23x + y = 10

¿Qué hacemos?	Nos queda
La Ecuación 1 ya tiene y despejada, no hace falta despejar nada	y = x + 2
Sustituimos y por (x + 2) en la Ecuación 2	3x + (x + 2) = 10
Sumamos los términos semejantes (3x y x)	4x + 2 = 10
El 2 pasa restando	4x = 8
El 4 pasa dividiendo	x = 2
Sustituimos x por 2 en y = x + 2	y = 2 + 2 = 4

Verificación — Ecuación 1

Ecuación original	y = x + 2
Sustituimos x = 2, y = 4	4 = 2 + 2
Comparamos	✓ Se cumple

Verificación — Ecuación 2

Ecuación original	3x + y = 10
Sustituimos x = 2, y = 4	6 + 4 = 10
Comparamos	✓ Se cumple

La verificación consiste en tomar la solución y reemplazarla en las ecuaciones tal como estaban al principio. Si las dos igualdades resultan verdaderas, la solución es correcta.

Solución

x = 2, y = 4

📚 Ejemplo adaptado del artículo original del método de sustitución de este blog.

Domina los sistemas de ecuaciones en minutos con nuestra calculadora interactiva. Resuelve paso a paso, comprueba tus resultados al instante y visualiza cada sistema con su gráfica para entenderlo de verdad. Aprende el método, no solo la respuesta.

Calculadora de Sistemas de Ecuaciones - Método de Sustitución

Sistemas de Ecuaciones

matepasoapaso.com · Sustitución · Igualación · Reducción · Cramer · Gráfica

CALCULADORA COMPLETA

Resuelve sistemas de 2 ecuaciones con 2 incógnitas por 3 métodos diferentes. Ingresa los coeficientes y selecciona el método. La calculadora identifica si el sistema es compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible.

INGRESA EL SISTEMA — ax + by = c

x y =

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MÉTODO DE RESOLUCIÓN

Resolución de sistemas de 3 ecuaciones con 3 incógnitas usando la Regla de Cramer. Se calculan los determinantes de la matriz del sistema y de las matrices modificadas.

SISTEMA 3×3 — ax + by + cz = d

x y z =

Repaso teórico completo: definición, clasificación y métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales con demostraciones y fórmulas clave.

Definición y clasificación de sistemas▼

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones que deben satisfacerse simultáneamente.

Forma general: $ a_1 x + b_1 y = c_1 $ y $ a_2 x + b_2 y = c_2 $

Clasificación según sus soluciones:

Compatible determinado (SCD): una solución única. Las rectas se cortan en un punto. $ \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} $
Compatible indeterminado (SCI): infinitas soluciones. Las rectas son coincidentes. $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} $
Incompatible (SI): sin solución. Las rectas son paralelas. $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} $

Método de Sustitución▼

Pasos:

Despejar una incógnita de una ecuación: $ y = \frac{c_1 - a_1 x}{b_1} $
Sustituir esa expresión en la otra ecuación, obteniendo una ecuación con una sola incógnita.
Resolver la ecuación resultante.
Sustituir el valor encontrado para obtener la otra incógnita.
Verificar en ambas ecuaciones.

Cuándo usarlo: Cuando algún coeficiente es 1 o la despejada es sencilla.

Método de Igualación▼

Pasos:

Despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones.
Igualar las dos expresiones obtenidas.
Resolver la ecuación resultante.
Sustituir para hallar la otra incógnita.

Si despejamos x: $ x = \frac{c_1 - b_1 y}{a_1} = \frac{c_2 - b_2 y}{a_2} $

Método de Reducción (Gauss)▼

Pasos:

Multiplicar cada ecuación por un factor que haga que los coeficientes de una incógnita sean opuestos.
Sumar ambas ecuaciones para eliminar esa incógnita.
Resolver la ecuación con una variable.
Sustituir para hallar la otra.

Si multiplicamos E1 por $a_2$ y E2 por $-a_1$, al sumar se elimina x:

$ (a_2 b_1 - a_1 b_2)\,y = a_2 c_1 - a_1 c_2 $

Regla de Cramer▼

Usa determinantes para resolver sistemas. Para 2×2:

\[ D = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} = a_1 b_2 - a_2 b_1 \]

\[ x = \frac{D_x}{D} \qquad y = \frac{D_y}{D} \]

Si $D = 0$: sistema incompatible o indeterminado.

Interpretación geométrica▼

Cada ecuación lineal representa una recta en el plano cartesiano:

SCD: dos rectas que se intersectan en un punto → pendientes distintas.
SCI: dos rectas que son la misma (coincidentes) → misma pendiente, mismo intercepto.
SI: dos rectas paralelas → misma pendiente, distinto intercepto.

Forma pendiente-intercepto: $ y = mx + b $ donde $ m = -\frac{a}{b} $ y $ b = \frac{c}{b} $

Ejemplos clásicos de los tres tipos de sistemas. Haz clic en cualquiera para cargarlo en la calculadora automáticamente.

COMPATIBLE DETERMINADO (una solución)

Ejemplo 1

2x + 3y = 8
5x − y = 1

Ejemplo 2

x + y = 5
2x − y = 1

Ejemplo 3

3x + 2y = 7
x − 4y = 0

Ejemplo 4

4x − 3y = 5
2x + y = 3

COMPATIBLE INDETERMINADO (infinitas soluciones)

Ejemplo 5

x + 2y = 4
2x + 4y = 8

Ejemplo 6

2x − y = 3
4x − 2y = 6

INCOMPATIBLE (sin solución)

Ejemplo 7

x + 2y = 3
x + 2y = 5

Ejemplo 8

2x + 4y = 6
x + 2y = 5

✏
20 ejercicios resueltos con el método de sustitución

Nivel básico — variable ya despejada

Sustitución directa

Resuelve el sistema

{

1x = 5 − y

22x + 3y = 11

¿Qué hacemos?	Nos queda
La Ecuación 1 ya tiene x despejada	x = 5 − y
Sustituimos x por (5 − y) en la Ecuación 2	2(5 − y) + 3y = 11
Distribuimos el 2 y sumamos términos semejantes	10 + y = 11
El 10 pasa restando	y = 1
Sustituimos y por 1 en x = 5 − y	x = 5 − 1 = 4

Verificación — Ecuación 1

Ecuación original	x = 5 − y
Sustituimos x = 4, y = 1	4 = 5 − 1
Comparamos	✓ Se cumple

Verificación — Ecuación 2

Ecuación original	2x + 3y = 11
Sustituimos x = 4, y = 1	8 + 3 = 11
Comparamos	✓ Se cumple

Solución

x = 4, y = 1

📚 Ejemplo adaptado del artículo original del método de sustitución de este blog.

Sustitución directa

Resuelve el sistema

{

1y = 2x

2x + y = 6

¿Qué hacemos?	Nos queda
La Ecuación 1 ya tiene y despejada	y = 2x
Sustituimos y por 2x en la Ecuación 2	x + 2x = 6
Sumamos términos semejantes	3x = 6
El 3 pasa dividiendo	x = 2
Sustituimos x por 2 en y = 2x	y = 2(2) = 4

Verificación — Ecuación 1

Ecuación original	y = 2x
Sustituimos x = 2, y = 4	4 = 2(2)
Comparamos	✓ Se cumple

Verificación — Ecuación 2

Ecuación original	x + y = 6
Sustituimos x = 2, y = 4	2 + 4 = 6
Comparamos	✓ Se cumple

Solución

x = 2, y = 4

📚 Ejemplo adaptado del artículo original del método de sustitución de este blog.

Nivel intermedio — despejando primero

Sustitución — despejar antes

Resuelve el sistema

{

12x + y = 9

2x − y = 3

¿Qué hacemos?	Nos queda
Despejamos x en la Ecuación 2: la y pasa sumando	x = 3 + y
Sustituimos x por (3 + y) en la Ecuación 1	2(3 + y) + y = 9
Distribuimos el 2 y sumamos términos semejantes	6 + 3y = 9
El 6 pasa restando, el 3 pasa dividiendo	3y = 3 → y = 1
Sustituimos y por 1 en x = 3 + y	x = 3 + 1 = 4

Verificación — Ecuación 1

Ecuación original	2x + y = 9
Sustituimos x = 4, y = 1	8 + 1 = 9
Comparamos	✓ Se cumple

Verificación — Ecuación 2

Ecuación original	x − y = 3
Sustituimos x = 4, y = 1	4 − 1 = 3
Comparamos	✓ Se cumple

Solución

x = 4, y = 1

📚 Ejemplo adaptado del artículo original del método de sustitución de este blog.

Sustitución — con negativos

Resuelve el sistema

{

1y = 4 − 2x

23x + y = 7

¿Qué hacemos?	Nos queda
La Ecuación 1 ya tiene y despejada	y = 4 − 2x
Sustituimos y por (4 − 2x) en la Ecuación 2	3x + (4 − 2x) = 7
Sumamos términos semejantes (3x y −2x)	x + 4 = 7
El 4 pasa restando	x = 3
Sustituimos x por 3 en y = 4 − 2x	y = 4 − 6 = −2

Verificación — Ecuación 1

Ecuación original	y = 4 − 2x
Sustituimos x = 3, y = −2	−2 = 4 − 6
Comparamos	✓ Se cumple

Verificación — Ecuación 2

Ecuación original	3x + y = 7
Sustituimos x = 3, y = −2	9 − 2 = 7
Comparamos	✓ Se cumple

Solución

x = 3, y = −2

📚 Ejemplo adaptado del artículo original del método de sustitución de este blog.

Sustitución — despejar y con signo

Resuelve el sistema

{

13x − y = 8

2x + 2y = 5

¿Qué hacemos?	Nos queda
Despejamos y en la Ecuación 1: el 3x pasa restando y el signo se invierte	y = 3x − 8
Sustituimos y por (3x − 8) en la Ecuación 2	x + 2(3x − 8) = 5
Distribuimos el 2 y sumamos términos semejantes	7x − 16 = 5
El 16 pasa sumando, el 7 pasa dividiendo	7x = 21 → x = 3
Sustituimos x por 3 en y = 3x − 8	y = 9 − 8 = 1

Verificación — Ecuación 1

Ecuación original	3x − y = 8
Sustituimos x = 3, y = 1	9 − 1 = 8
Comparamos	✓ Se cumple

Verificación — Ecuación 2

Ecuación original	x + 2y = 5
Sustituimos x = 3, y = 1	3 + 2 = 5
Comparamos	✓ Se cumple

Solución

x = 3, y = 1

📚 Ejemplo adaptado del artículo original del método de sustitución de este blog.

Sustitución — resultado en fracción

Resuelve el sistema

{

15x − 2y = 13

2x + y = 5

¿Qué hacemos?	Nos queda
Despejamos y en la Ecuación 2: la x pasa restando	y = 5 − x
Sustituimos y por (5 − x) en la Ecuación 1	5x − 2(5 − x) = 13
Distribuimos el −2 y sumamos términos semejantes	7x − 10 = 13
El 10 pasa sumando, el 7 pasa dividiendo	7x = 23 → x = 23/7
Sustituimos x por 23/7 en y = 5 − x	y = 35/7 − 23/7 = 12/7

Verificación — Ecuación 1

Ecuación original	5x − 2y = 13
Sustituimos x = 23/7, y = 12/7	115/7 − 24/7 = 91/7
Comparamos	91/7 = 13 ✓ Se cumple

Verificación — Ecuación 2

Ecuación original	x + y = 5
Sustituimos x = 23/7, y = 12/7	23/7 + 12/7 = 35/7
Comparamos	35/7 = 5 ✓ Se cumple

Solución

x = 23/7, y = 12/7

📚 Ejemplo adaptado del artículo original del método de sustitución de este blog.

Problemas aplicados

Aplicado — números 🔢

La suma de dos números es 25. El primer número es el doble del segundo más 1. ¿Cuáles son?

Defino: x = primer número, y = segundo número.

{

1x + y = 25

2x = 2y + 1

¿Qué hacemos?	Nos queda
La Ecuación 2 ya tiene x despejada	x = 2y + 1
Sustituimos x por (2y + 1) en la Ecuación 1	(2y + 1) + y = 25
Sumamos términos semejantes	3y + 1 = 25
El 1 pasa restando, el 3 pasa dividiendo	3y = 24 → y = 8
Sustituimos y por 8 en x = 2y + 1	x = 16 + 1 = 17

Verificación — Ecuación 1

Ecuación original	x + y = 25
Sustituimos x = 17, y = 8	17 + 8 = 25
Comparamos	✓ Se cumple

Verificación — Ecuación 2

Ecuación original	x = 2y + 1
Sustituimos x = 17, y = 8	17 = 16 + 1
Comparamos	✓ Se cumple

Respuesta

Los números son 17 y 8

📚 Problema adaptado del artículo original del método de sustitución de este blog.

Aplicado — billetes 💵

María tiene $50 en billetes de $5 y $10. Si tiene 7 billetes en total, ¿cuántos billetes tiene de cada tipo?

Defino: x = billetes de $5, y = billetes de $10.

{

1x + y = 7

25x + 10y = 50

¿Qué hacemos?	Nos queda
Despejamos x en la Ecuación 1	x = 7 − y
Sustituimos x por (7 − y) en la Ecuación 2	5(7 − y) + 10y = 50
Distribuimos el 5 y sumamos términos semejantes	35 + 5y = 50
El 35 pasa restando, el 5 pasa dividiendo	5y = 15 → y = 3
Sustituimos y por 3 en x = 7 − y	x = 7 − 3 = 4

Verificación — Ecuación 1

Ecuación original	x + y = 7
Sustituimos x = 4, y = 3	4 + 3 = 7
Comparamos	✓ Se cumple

Verificación — Ecuación 2

Ecuación original	5x + 10y = 50
Sustituimos x = 4, y = 3	20 + 30 = 50
Comparamos	✓ Se cumple

Respuesta

4 billetes de $5 y 3 billetes de $10

📚 Problema adaptado del artículo original del método de sustitución de este blog.

Aplicado — geometría 📐

Un rectángulo tiene un perímetro de 32 cm. El largo es 4 cm más que el ancho. ¿Dimensiones?

Defino: x = largo, y = ancho.

{

1x + y = 16

2x = y + 4

(El perímetro 2x+2y=32 ya se simplificó dividiendo entre 2, para obtener la Ecuación 1.)

¿Qué hacemos?	Nos queda
La Ecuación 2 ya tiene x despejada	x = y + 4
Sustituimos x por (y + 4) en la Ecuación 1	(y + 4) + y = 16
Sumamos términos semejantes	2y + 4 = 16
El 4 pasa restando, el 2 pasa dividiendo	2y = 12 → y = 6
Sustituimos y por 6 en x = y + 4	x = 6 + 4 = 10

Verificación — Ecuación 1

Ecuación original	x + y = 16
Sustituimos x = 10, y = 6	10 + 6 = 16
Comparamos	✓ Se cumple

Verificación — Ecuación 2

Ecuación original	x = y + 4
Sustituimos x = 10, y = 6	10 = 6 + 4
Comparamos	✓ Se cumple

Respuesta

Largo: 10 cm · Ancho: 6 cm

📚 Problema adaptado del artículo original del método de sustitución de este blog.

Ejercicios propuestos, resueltos

Estos son los 10 ejercicios que el artículo original dejaba planteados para practicar. Aquí los resolvemos todos, paso a paso.

E10

Sustitución

Resuelve el sistema

{

12x + y = 7

2x − y = 1

¿Qué hacemos?	Nos queda
Despejamos x en la Ecuación 2	x = 1 + y
Sustituimos x por (1 + y) en la Ecuación 1	2(1 + y) + y = 7
Distribuimos el 2 y sumamos términos semejantes	2 + 3y = 7
El 2 pasa restando, el 3 pasa dividiendo	3y = 5 → y = 5/3
Sustituimos y por 5/3 en x = 1 + y	x = 3/3 + 5/3 = 8/3

Verificación — Ecuación 1

Ecuación original	2x + y = 7
Sustituimos x = 8/3, y = 5/3	16/3 + 5/3 = 21/3
Comparamos	21/3 = 7 ✓ Se cumple

Verificación — Ecuación 2

Ecuación original	x − y = 1
Sustituimos x = 8/3, y = 5/3	8/3 − 5/3 = 3/3
Comparamos	3/3 = 1 ✓ Se cumple

Solución

x = 8/3, y = 5/3

E11

Sustitución

Resuelve el sistema

{

13x + 2y = 12

2x − y = 2

¿Qué hacemos?	Nos queda
Despejamos x en la Ecuación 2	x = 2 + y
Sustituimos x por (2 + y) en la Ecuación 1	3(2 + y) + 2y = 12
Distribuimos el 3 y sumamos términos semejantes	6 + 5y = 12
El 6 pasa restando, el 5 pasa dividiendo	5y = 6 → y = 6/5
Sustituimos y por 6/5 en x = 2 + y	x = 10/5 + 6/5 = 16/5

Verificación — Ecuación 1

Ecuación original	3x + 2y = 12
Sustituimos x = 16/5, y = 6/5	48/5 + 12/5 = 60/5
Comparamos	60/5 = 12 ✓ Se cumple

Verificación — Ecuación 2

Ecuación original	x − y = 2
Sustituimos x = 16/5, y = 6/5	16/5 − 6/5 = 10/5
Comparamos	10/5 = 2 ✓ Se cumple

Solución

x = 16/5, y = 6/5

E12

Sustitución

Resuelve el sistema

{

1x + 4y = 9

22x − y = 3

¿Qué hacemos?	Nos queda
Despejamos x en la Ecuación 1	x = 9 − 4y
Sustituimos x por (9 − 4y) en la Ecuación 2	2(9 − 4y) − y = 3
Distribuimos el 2 y sumamos términos semejantes	18 − 9y = 3
El 18 pasa restando, el −9 pasa dividiendo	−9y = −15 → y = 5/3
Sustituimos y por 5/3 en x = 9 − 4y	x = 27/3 − 20/3 = 7/3

Verificación — Ecuación 1

Ecuación original	x + 4y = 9
Sustituimos x = 7/3, y = 5/3	7/3 + 20/3 = 27/3
Comparamos	27/3 = 9 ✓ Se cumple

Verificación — Ecuación 2

Ecuación original	2x − y = 3
Sustituimos x = 7/3, y = 5/3	14/3 − 5/3 = 9/3
Comparamos	9/3 = 3 ✓ Se cumple

Solución

x = 7/3, y = 5/3

E13

Sustitución

Resuelve el sistema

{

15x − y = 8

2x + 2y = 4

¿Qué hacemos?	Nos queda
Despejamos y en la Ecuación 1: el 5x pasa restando y el signo se invierte	y = 5x − 8
Sustituimos y por (5x − 8) en la Ecuación 2	x + 2(5x − 8) = 4
Distribuimos el 2 y sumamos términos semejantes	11x − 16 = 4
El 16 pasa sumando, el 11 pasa dividiendo	11x = 20 → x = 20/11
Sustituimos x por 20/11 en y = 5x − 8	y = 100/11 − 88/11 = 12/11

Verificación — Ecuación 1

Ecuación original	5x − y = 8
Sustituimos x = 20/11, y = 12/11	100/11 − 12/11 = 88/11
Comparamos	88/11 = 8 ✓ Se cumple

Verificación — Ecuación 2

Ecuación original	x + 2y = 4
Sustituimos x = 20/11, y = 12/11	20/11 + 24/11 = 44/11
Comparamos	44/11 = 4 ✓ Se cumple

Solución

x = 20/11, y = 12/11

E14

Sustitución

Resuelve el sistema

{

12x + 3y = 13

2x − y = 1

¿Qué hacemos?	Nos queda
Despejamos x en la Ecuación 2	x = 1 + y
Sustituimos x por (1 + y) en la Ecuación 1	2(1 + y) + 3y = 13
Distribuimos el 2 y sumamos términos semejantes	2 + 5y = 13
El 2 pasa restando, el 5 pasa dividiendo	5y = 11 → y = 11/5
Sustituimos y por 11/5 en x = 1 + y	x = 5/5 + 11/5 = 16/5

Verificación — Ecuación 1

Ecuación original	2x + 3y = 13
Sustituimos x = 16/5, y = 11/5	32/5 + 33/5 = 65/5
Comparamos	65/5 = 13 ✓ Se cumple

Verificación — Ecuación 2

Ecuación original	x − y = 1
Sustituimos x = 16/5, y = 11/5	16/5 − 11/5 = 5/5
Comparamos	5/5 = 1 ✓ Se cumple

Solución

x = 16/5, y = 11/5

E15

Sustitución

Resuelve el sistema

{

14x + y = 10

22x − 3y = −2

¿Qué hacemos?	Nos queda
Despejamos y en la Ecuación 1: el 4x pasa restando	y = 10 − 4x
Sustituimos y por (10 − 4x) en la Ecuación 2	2x − 3(10 − 4x) = −2
Distribuimos el −3 y sumamos términos semejantes	14x − 30 = −2
El 30 pasa sumando, el 14 pasa dividiendo	14x = 28 → x = 2
Sustituimos x por 2 en y = 10 − 4x	y = 10 − 8 = 2

Verificación — Ecuación 1

Ecuación original	4x + y = 10
Sustituimos x = 2, y = 2	8 + 2 = 10
Comparamos	✓ Se cumple

Verificación — Ecuación 2

Ecuación original	2x − 3y = −2
Sustituimos x = 2, y = 2	4 − 6 = −2
Comparamos	✓ Se cumple

Solución

x = 2, y = 2

E16

Sustitución

Resuelve el sistema

{

1x − 3y = −5

22x + y = 4

¿Qué hacemos?	Nos queda
Despejamos x en la Ecuación 1: el 3y pasa sumando	x = 3y − 5
Sustituimos x por (3y − 5) en la Ecuación 2	2(3y − 5) + y = 4
Distribuimos el 2 y sumamos términos semejantes	7y − 10 = 4
El 10 pasa sumando, el 7 pasa dividiendo	7y = 14 → y = 2
Sustituimos y por 2 en x = 3y − 5	x = 6 − 5 = 1

Verificación — Ecuación 1

Ecuación original	x − 3y = −5
Sustituimos x = 1, y = 2	1 − 6 = −5
Comparamos	✓ Se cumple

Verificación — Ecuación 2

Ecuación original	2x + y = 4
Sustituimos x = 1, y = 2	2 + 2 = 4
Comparamos	✓ Se cumple

Solución

x = 1, y = 2

E17

Sustitución

Resuelve el sistema

{

17x + 2y = 20

2x − y = 1

¿Qué hacemos?	Nos queda
Despejamos x en la Ecuación 2	x = 1 + y
Sustituimos x por (1 + y) en la Ecuación 1	7(1 + y) + 2y = 20
Distribuimos el 7 y sumamos términos semejantes	7 + 9y = 20
El 7 pasa restando, el 9 pasa dividiendo	9y = 13 → y = 13/9
Sustituimos y por 13/9 en x = 1 + y	x = 9/9 + 13/9 = 22/9

Verificación — Ecuación 1

Ecuación original	7x + 2y = 20
Sustituimos x = 22/9, y = 13/9	154/9 + 26/9 = 180/9
Comparamos	180/9 = 20 ✓ Se cumple

Verificación — Ecuación 2

Ecuación original	x − y = 1
Sustituimos x = 22/9, y = 13/9	22/9 − 13/9 = 9/9
Comparamos	9/9 = 1 ✓ Se cumple

Solución

x = 22/9, y = 13/9

Resumen — el método en una sola idea

1. Despeja

Una variable, en la ecuación más simple

2. Sustituye

En la OTRA ecuación, nunca en la misma

3. Resuelve

Queda una ecuación con una sola incógnita

4. Sustituye de vuelta

Para hallar la otra variable

Con paréntesis

Distribuye antes de sumar términos semejantes

Siempre

Verifica en las DOS ecuaciones originales

🔀
Casos especiales: sin solución e infinitas soluciones

El método de sustitución también te avisa cuando un sistema no tiene solución única — la variable desaparece por completo.

E18

Infinitas soluciones

Resuelve el sistema

{

1x + 2y = 6

22x + 4y = 12

¿Qué hacemos?	Nos queda
Despejamos x en la Ecuación 1	x = 6 − 2y
Sustituimos x por (6 − 2y) en la Ecuación 2	2(6 − 2y) + 4y = 12
Distribuimos el 2 y sumamos términos semejantes	12 − 4y + 4y = 12
La y se cancela por completo	12 = 12 (igualdad VERDADERA)

Cuando la variable se cancela y queda una igualdad verdadera (12 = 12), las dos ecuaciones son la misma recta (la Ecuación 2 es exactamente el doble de la Ecuación 1). Cualquier punto que cumpla una, cumple la otra — hay infinitas soluciones.

Respuesta

Infinitas soluciones (misma recta)

E19

Sin solución

Resuelve el sistema

{

13x − y = 5

26x − 2y = 8

¿Qué hacemos?	Nos queda
Despejamos y en la Ecuación 1: el 3x pasa restando y el signo se invierte	y = 3x − 5
Sustituimos y por (3x − 5) en la Ecuación 2	6x − 2(3x − 5) = 8
Distribuimos el −2 y sumamos términos semejantes	6x − 6x + 10 = 8
La x se cancela por completo	10 = 8 (igualdad FALSA)

Cuando la variable se cancela y queda una igualdad falsa (10 = 8), las rectas son paralelas: tienen la misma inclinación pero nunca se cruzan. No existe ningún par (x, y) que cumpla ambas ecuaciones.

Respuesta

Sin solución (rectas paralelas)

E20

Sustitución — decimales

Resuelve el sistema

{

1y = 0,5x + 1

2x + y = 10

¿Qué hacemos?	Nos queda
La Ecuación 1 ya tiene y despejada	y = 0,5x + 1
Sustituimos y por (0,5x + 1) en la Ecuación 2	x + (0,5x + 1) = 10
Sumamos términos semejantes (x y 0,5x)	1,5x + 1 = 10
El 1 pasa restando, el 1,5 pasa dividiendo	1,5x = 9 → x = 6
Sustituimos x por 6 en y = 0,5x + 1	y = 3 + 1 = 4

Verificación — Ecuación 1

Ecuación original	y = 0,5x + 1
Sustituimos x = 6, y = 4	4 = 3 + 1
Comparamos	✓ Se cumple

Verificación — Ecuación 2

Ecuación original	x + y = 10
Sustituimos x = 6, y = 4	6 + 4 = 10
Comparamos	✓ Se cumple

Solución

x = 6, y = 4

!
Errores comunes

ERROR 1

No despejar correctamente la variable

Incorrecto

De x − y = 3, despejar x = y − 3

Al pasar el −y al otro lado, olvidaron cambiar el signo.

Correcto

x = 3 + y

Todo término que cruza el signo igual invierte su signo.

Revisa cada signo al despejar — es la causa número uno de errores en sistemas.

ERROR 2

Olvidar sustituir toda la expresión

Incorrecto

De y = 3x − 8, sustituir solo "3x" y dejar el "−8" afuera

Cambia por completo la ecuación resultante.

Correcto

Sustituir la expresión completa: (3x − 8)

Usa paréntesis para no dejar ningún término fuera.

Encierra siempre la expresión despejada entre paréntesis al sustituirla.

ERROR 3

Cometer errores de signo al distribuir

Incorrecto

6x − 2(3x − 5) = 6x − 6x − 10

Al distribuir el −2, olvidaron cambiar el signo del −5.

Correcto

6x − 6x + 10

−2 × (−5) = +10, no −10.

Al distribuir un signo negativo, multiplica cada término del paréntesis por −1 y verifica cada signo resultante.

ERROR 4

Elegir una variable difícil de despejar innecesariamente

Incorrecto

Despejar x de 5x − 2y = 13 (genera fracción con denominador 5)

Complica los cálculos sin necesidad.

Correcto

Despejar y de x + y = 5 (coeficiente 1, sin fracciones)

Elige siempre la variable con el coeficiente más simple.

Antes de despejar, mira ambas ecuaciones y elige la variable con coeficiente 1 si existe.

ERROR 5

No verificar la solución en las dos ecuaciones

Incorrecto

Dar la respuesta sin comprobarla

Un error de signo puede pasar completamente desapercibido.

Correcto

Sustituir en las DOS ecuaciones originales

Solo si ambas se cumplen, la solución es correcta.

Verificar toma 30 segundos y te ahorra dar una respuesta incorrecta.

?
Preguntas frecuentes

¿Qué variable conviene despejar primero?

▼

La que tenga coeficiente 1, o la que ya esté despejada. Eso evita generar fracciones intermedias y mantiene los cálculos simples. Si ninguna tiene coeficiente 1, elige la que se vea más simple entre las dos ecuaciones.

Revisa ambas ecuaciones antes de decidir — a veces conviene despejar de la segunda ecuación en vez de la primera.

¿En cuál ecuación sustituyo la expresión despejada?

▼

Siempre en la OTRA ecuación, la que no usaste para despejar. Sustituir en la misma ecuación que usaste da 0 = 0 y no aporta información nueva — necesitas combinar los datos de ambas ecuaciones.

Marca mentalmente cuál ecuación usaste para despejar, así no te confundes al sustituir.

¿Sustitución siempre da el mismo resultado que igualación o reducción?

▼

Sí, siempre. Los tres métodos son caminos distintos hacia la misma solución. Puedes usar cualquiera de los tres para resolver, e incluso usar uno para verificar el resultado de otro.

Si obtienes resultados distintos con dos métodos, hay un error de cálculo en alguno de los dos — revisa los signos.

¿Cómo reconozco un sistema sin solución o con infinitas soluciones?

▼

Al sustituir, si la variable se cancela por completo, mira lo que queda: una igualdad falsa (como 10 = 8) significa que no hay solución. Una igualdad verdadera (como 12 = 12) significa infinitas soluciones.

Estos casos son poco frecuentes en la práctica, pero es importante reconocerlos cuando aparecen.

¿En qué consiste exactamente la verificación?

▼

Consiste en tomar los valores de x e y que hallaste y reemplazarlos en cada ecuación original por separado. Escribes la ecuación, sustituyes cada variable por su valor, resuelves ambos lados y comparas: si son iguales, esa ecuación se cumple. Repites esto para las dos ecuaciones.

Si una ecuación no se cumple, el error está casi siempre en un signo durante el despeje o la distribución, no en la verificación misma.

¡Verifica tus soluciones! Usa nuestra calculadora gratuita de ecuaciones y sistemas para identificar el tipo de solución y comprobar tus resultados.