El método de sustitución es una técnica algebraica utilizada para resolver sistemas de ecuaciones lineales 2×2. Consiste en despejar una variable en una de las ecuaciones y sustituirla en la otra para obtener una ecuación con una sola incógnita.
Este método es especialmente útil cuando una de las ecuaciones permite despejar fácilmente una variable. En esta guía aprenderás cómo aplicar el método de sustitución paso a paso, con ejemplos resueltos y ejercicios prácticos.
¿Qué es el método de sustitución?
El método de sustitución consiste en transformar un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas en una sola ecuación con una incógnita. Para lograrlo, se despeja una variable en una ecuación y se reemplaza en la otra.
Pasos del método de sustitución
- Despejar una de las variables en una de las ecuaciones.
- Sustituir la expresión obtenida en la otra ecuación.
- Resolver la ecuación resultante.
- Sustituir el valor encontrado para hallar la otra incógnita.
- Verificar la solución en ambas ecuaciones.
NOTA: El método de sustitución es solo una de las tres técnicas principales para resolver sistemas 2×2. También puedes estudiar el método de reducción, especialmente práctico cuando los coeficientes permiten cancelar una variable, y el método de igualación, que resulta muy útil cuando ambas ecuaciones se pueden despejar con facilidad. Dominar los tres métodos te dará mayor seguridad y rapidez al resolver cualquier sistema.
Ejemplos guía: Método de sustitución
Ejemplo 1: Sustitución básica
Despejamos y en la primera ecuación:
Sustituimos en la segunda ecuación:
Sustituimos para hallar y:
Solución:
Ejemplo 2: Cuando conviene despejar x
Despejamos x en la segunda ecuación:
Sustituimos:
Sustituimos para hallar. x:
Solución:
Ejemplo 3: Caso con fracciones
Despejamos x:
Sustituimos:
Sustituimos:
Solución:
Sistemas de ecuaciones: ejercicios resueltos – Método de sustitución.
📝 Ejercicio 1
$3x + y = 10$
La variable $y$ está despejada en la primera ecuación: $y = x + 2$
$4x = 8$
$x = 2$
| Ecuación | Sustitución | Resultado | ✓ |
|---|---|---|---|
| $y = x + 2$ | $4 = 2 + 2$ | $4 = 4$ | ✓ |
| $3x + y = 10$ | $3(2) + 4 = 10$ | $6 + 4 = 10$ | ✓ |
📝 Ejercicio 2
$2x + 3y = 11$
$10 + y = 11$
$y = 1$
| Ecuación | Sustitución | Resultado | ✓ |
|---|---|---|---|
| $x = 5 – y$ | $4 = 5 – 1$ | $4 = 4$ | ✓ |
| $2x + 3y = 11$ | $2(4) + 3(1) = 11$ | $8 + 3 = 11$ | ✓ |
📝 Ejercicio 3
$x + y = 6$
$x = 2$
| Ecuación | Sustitución | Resultado | ✓ |
|---|---|---|---|
| $y = 2x$ | $4 = 2(2)$ | $4 = 4$ | ✓ |
| $x + y = 6$ | $2 + 4 = 6$ | $6 = 6$ | ✓ |
📝 Ejercicio 4
$x – y = 3$
$6 + 2y + y = 9$
$y = 1$
| Ecuación | Sustitución | Resultado | ✓ |
|---|---|---|---|
| $2x + y = 9$ | $2(4) + 1 = 9$ | $8 + 1 = 9$ | ✓ |
| $x – y = 3$ | $4 – 1 = 3$ | $3 = 3$ | ✓ |
📝 Ejercicio 5
$3x + y = 7$
$x + 4 = 7$
$x = 3$
$y = 4 – 6 = -2$
| Ecuación | Sustitución | Resultado | ✓ |
|---|---|---|---|
| $y = 4 – 2x$ | $-2 = 4 – 2(3)$ | $-2 = 4 – 6 = -2$ | ✓ |
| $3x + y = 7$ | $3(3) + (-2) = 7$ | $9 – 2 = 7$ | ✓ |
📝 Ejercicio 6
$x + 2y = 5$
$y = 3x – 8$
$x + 6x – 16 = 5$
$x = 3$
$y = 9 – 8 = 1$
| Ecuación | Sustitución | Resultado | ✓ |
|---|---|---|---|
| $3x – y = 8$ | $3(3) – 1 = 8$ | $9 – 1 = 8$ | ✓ |
| $x + 2y = 5$ | $3 + 2(1) = 5$ | $3 + 2 = 5$ | ✓ |
📝 Ejercicio 7
$x + y = 5$
$5x – 10 + 2x = 13$
$x = \frac{23}{7}$
$y = \frac{35 – 23}{7} = \frac{12}{7}$
| Ecuación | Sustitución | Resultado | ✓ |
|---|---|---|---|
| $5x – 2y = 13$ | $5(\frac{23}{7}) – 2(\frac{12}{7}) = 13$ | $\frac{115 – 24}{7} = \frac{91}{7} = 13$ | ✓ |
| $x + y = 5$ | $\frac{23}{7} + \frac{12}{7} = 5$ | $\frac{35}{7} = 5$ | ✓ |
📝 Ejercicio 8: Problema de Números
La suma de dos números es 25. El primer número es el doble del segundo más 1. ¿Cuáles son los números?
Datos del problema:
- Tenemos DOS números desconocidos
- La SUMA de estos dos números da 25
- El PRIMER número tiene una relación especial con el SEGUNDO
Definimos las variables:
Sea $x$ = el primer número (el que tiene la relación especial)
Sea $y$ = el segundo número (la referencia)
Primera condición: «La suma de dos números es 25»
Esto significa: primer número + segundo número = 25
Segunda condición: «El primer número es el doble del segundo más 1»
Desglosamos: «el doble del segundo» = $2y$, «más 1» = $+ 1$
Por lo tanto: el primer número = $2y + 1$
Sistema completo:
$x = 2y + 1$
Como la ecuación 2 ya tiene $x = 2y + 1$ despejada, sustituimos esto en la ecuación 1:
$3y + 1 = 25$
$y = 8$
Ahora calculamos $x$:
✅ Segundo número: 8
| Condición del problema | Verificación matemática | ✓ |
|---|---|---|
| La suma es 25 | $17 + 8 = 25$ | ✓ |
| Primero es doble del segundo más 1 | $17 = 2(8) + 1 = 16 + 1 = 17$ | ✓ |
📝 Ejercicio 9: Problema de Dinero
María tiene $50$ en billetes de $5$ y $10$. Si tiene $7$ billetes en total, ¿cuántos billetes tiene de cada denominación?
Datos del problema:
- María tiene billetes de DOS denominaciones: $5$ y $10$
- El VALOR TOTAL del dinero es $50$
- La CANTIDAD TOTAL de billetes es $7$
Definimos las variables:
Sea $x$ = cantidad de billetes de $5$
Sea $y$ = cantidad de billetes de $10$
Nota: Las variables representan CANTIDADES de billetes, no valores monetarios.
Primera condición: «Tiene $7$ billetes en total»
Billetes de $5$ + billetes de $10$ = 7
Segunda condición: «Tiene $50$ en total»
Valor de billetes de $5$ + Valor de billetes de $10$ = 50
Desglose:
- Valor de billetes de $5$ = (cantidad) × (valor) = $x × 5 = 5x$
- Valor de billetes de $10$ = (cantidad) × (valor) = $y × 10 = 10y$
Sistema completo:
$5x + 10y = 50$
De la ecuación 1, despejamos $x$:
Sustituimos $x = 7 – y$ en $5x + 10y = 50$:
$35 – 5y + 10y = 50$
$35 + 5y = 50$
$5y = 15$
$y = 3$
Calculamos $x$:
✅ Billetes de $10$: 3 billetes
| Condición del problema | Verificación matemática | ✓ |
|---|---|---|
| Total de billetes es 7 | $4 + 3 = 7$ billetes | ✓ |
| Valor total es $50$ | $4(5)$ + $3(10)$ = $20$ + $30$ = $50$ | ✓ |
📝 Ejercicio 10: Problema de Geometría
Un rectángulo tiene un perímetro de 32 cm. El largo es 4 cm más que el ancho. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo?
Datos del problema:
- Se trata de un RECTÁNGULO (4 lados: 2 largos y 2 anchos)
- El PERÍMETRO total es 32 cm
- Existe una RELACIÓN entre largo y ancho
Definimos las variables:
Sea $x$ = largo del rectángulo (cm)
Sea $y$ = ancho del rectángulo (cm)
Recordatorio: Perímetro de un rectángulo = 2(largo) + 2(ancho)
Primera condición: «El perímetro es 32 cm»
Perímetro = 2(largo) + 2(ancho) = 32
Simplificamos dividiendo entre 2:
Segunda condición: «El largo es 4 cm más que el ancho»
Esto significa: largo = ancho + 4
Sistema completo:
$x = y + 4$
Como la ecuación 2 ya tiene $x = y + 4$ despejada, sustituimos en la ecuación 1:
$2y + 4 = 16$
$y = 6$ cm
Calculamos $x$:
✅ Ancho del rectángulo: 6 cm
| Condición del problema | Verificación matemática | ✓ |
|---|---|---|
| Perímetro es 32 cm | $2(10) + 2(6) = 20 + 12 = 32$ cm | ✓ |
| Largo es 4 cm más que ancho | $10 = 6 + 4$ cm | ✓ |
¡Verifica tus soluciones! Usa nuestra calculadora gratuita de ecuaciones y sistemas para identificar el tipo de solución y comprobar tus resultados.
Errores comunes al aplicar el método de sustitución
- No despejar correctamente la variable.
- Olvidar sustituir toda la expresión.
- Cometer errores de signos al operar.
- No verificar la solución en ambas ecuaciones.
- Elegir una variable difícil de despejar innecesariamente.
Ejercicios propuestos
Resuelve los siguientes sistemas utilizando el método de sustitución:
-
2x + y = 7
x – y = 1 -
3x + 2y = 12
x – y = 2 -
x + 4y = 9
2x – y = 3 -
5x – y = 8
x + 2y = 4 -
2x + 3y = 13
x – y = 1 -
4x + y = 10
2x – 3y = -2 -
x + 2y = 6
2x + 4y = 12 -
3x – y = 5
6x – 2y = 8 -
x – 3y = -5
2x + y = 4 -
7x + 2y = 20
x – y = 1
Recordatorio
Conclusión
El método de sustitución es una técnica clara y eficaz para resolver sistemas de ecuaciones 2×2 cuando una variable puede despejarse fácilmente. Con práctica, se convierte en un procedimiento rápido y confiable.
Si deseas dominar completamente los sistemas 2×2, también puedes estudiar el método de igualación y el método de reducción. Además, puedes revisar la guía completa de sistemas de ecuaciones 2×2 para comparar los tres métodos.
Enlaces y recursos
- Symbolab: Para verificar tus soluciones.
- Wolframalpha: Para graficar las ecuaciones y verificar tus soluciones.
