Método de Reducción en Sistemas 2x2: Aprende con 20 ejercicios

El método de reducción (también llamado método de eliminación) es una técnica para resolver sistemas de ecuaciones de 2×2 que consiste en eliminar una de las variables combinando las ecuaciones mediante sumas o restas.

Este método es especialmente útil cuando puedes combinar las ecuaciones para que una variable desaparezca, convirtiendo el sistema en una sola ecuación con una incógnita. A continuación, aprenderás cómo aplicar este método paso a paso con ejemplos resueltos y ejercicios para practicar.

Álgebra básica — Sistemas de ecuaciones

Tabla de Contenidos

Método de reducción en sistemas 2×2: guía completa + 20 ejercicios

➕➖
¿Cómo funciona el método de reducción?

También llamado método de eliminación, es una de las tres técnicas para resolver sistemas de ecuaciones 2×2. Multiplicas estratégicamente las ecuaciones para que una variable quede con coeficientes opuestos (uno positivo y otro negativo, del mismo valor), y al sumarlas esa variable se cancela por completo. A cada ecuación la llamamos siempre igual: Ecuación 1 y Ecuación 2.

{

12x + 3y = 11

24x − 3y = 1

Círculo rosa 1 = Ecuación 1 Círculo morado 2 = Ecuación 2 x en azul y en verde

Fíjate: los términos con y ya son opuestos (+3y y −3y). Al sumar las dos ecuaciones completas, la y se cancela automáticamente.

🎯
¿Cuándo conviene usar el método de reducción?

Úsalo cuando

Los coeficientes de una variable ya son iguales u opuestos, o se pueden igualar multiplicando por números pequeños.

Considera otro método si

Necesitarías multiplicar por números muy grandes — ahí igualación o sustitución pueden ser más simples.

💡

Ventaja de este método: evita despejes con fracciones intermedias — trabajas siempre con las ecuaciones completas hasta el final.

📋
Método en 6 pasos

Elige qué variable eliminar

Mira cuál es más fácil de igualar en coeficientes.

Multiplica una o ambas ecuaciones

Para que esa variable quede con coeficientes iguales pero de signo opuesto.

Suma las dos ecuaciones

La variable elegida se cancela.

Resuelve

Queda una ecuación con una sola incógnita.

Sustituye

En cualquiera de las ecuaciones originales para hallar la otra variable.

Verifica

En las dos ecuaciones originales.

Ejemplo guiado — sin necesidad de multiplicar

{

12x + 3y = 11

24x − 3y = 1

¿Qué hacemos?	Nos queda
Observamos: los términos con y ya son opuestos (+3y y −3y)	No hace falta multiplicar nada
Sumamos la Ecuación 1 más la Ecuación 2	(2x+3y)+(4x−3y) = 11+1
Se cancela la y, sumamos los términos con x	6x = 12
El 6 pasa dividiendo	x = 2
Sustituimos x por 2 en la Ecuación 1	2(2) + 3y = 11
El 4 pasa restando, el 3 pasa dividiendo	3y = 7 → y = 7/3

Verificación — Ecuación 1

Ecuación original	2x + 3y = 11
Sustituimos x = 2, y = 7/3	4 + 7 = 11
Comparamos	✓ Se cumple

Verificación — Ecuación 2

Ecuación original	4x − 3y = 1
Sustituimos x = 2, y = 7/3	8 − 7 = 1
Comparamos	✓ Se cumple

La verificación consiste en tomar la solución y reemplazarla en las ecuaciones tal como estaban al principio. Si las dos igualdades resultan verdaderas, la solución es correcta.

Solución

x = 2, y = 7/3

📚 Ejemplo adaptado del artículo original del método de reducción de este blog.

Calculadora de Sistemas de Ecuaciones - Método de Reducción

Sistemas de Ecuaciones

matepasoapaso.com · Sustitución · Igualación · Reducción · Cramer · Gráfica

CALCULADORA COMPLETA

Resuelve sistemas de 2 ecuaciones con 2 incógnitas por 3 métodos diferentes. Ingresa los coeficientes y selecciona el método. La calculadora identifica si el sistema es compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible.

INGRESA EL SISTEMA — ax + by = c

x y =

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MÉTODO DE RESOLUCIÓN

Resolución de sistemas de 3 ecuaciones con 3 incógnitas usando la Regla de Cramer. Se calculan los determinantes de la matriz del sistema y de las matrices modificadas.

SISTEMA 3×3 — ax + by + cz = d

x y z =

Repaso teórico completo: definición, clasificación y métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales con demostraciones y fórmulas clave.

Definición y clasificación de sistemas▼

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones que deben satisfacerse simultáneamente.

Forma general: $ a_1 x + b_1 y = c_1 $ y $ a_2 x + b_2 y = c_2 $

Clasificación según sus soluciones:

Compatible determinado (SCD): una solución única. Las rectas se cortan en un punto. $ \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} $
Compatible indeterminado (SCI): infinitas soluciones. Las rectas son coincidentes. $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} $
Incompatible (SI): sin solución. Las rectas son paralelas. $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} $

Método de Sustitución▼

Pasos:

Despejar una incógnita de una ecuación: $ y = \frac{c_1 - a_1 x}{b_1} $
Sustituir esa expresión en la otra ecuación, obteniendo una ecuación con una sola incógnita.
Resolver la ecuación resultante.
Sustituir el valor encontrado para obtener la otra incógnita.
Verificar en ambas ecuaciones.

Cuándo usarlo: Cuando algún coeficiente es 1 o la despejada es sencilla.

Método de Igualación▼

Pasos:

Despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones.
Igualar las dos expresiones obtenidas.
Resolver la ecuación resultante.
Sustituir para hallar la otra incógnita.

Si despejamos x: $ x = \frac{c_1 - b_1 y}{a_1} = \frac{c_2 - b_2 y}{a_2} $

Método de Reducción (Gauss)▼

Pasos:

Multiplicar cada ecuación por un factor que haga que los coeficientes de una incógnita sean opuestos.
Sumar ambas ecuaciones para eliminar esa incógnita.
Resolver la ecuación con una variable.
Sustituir para hallar la otra.

Si multiplicamos E1 por $a_2$ y E2 por $-a_1$, al sumar se elimina x:

$ (a_2 b_1 - a_1 b_2)\,y = a_2 c_1 - a_1 c_2 $

Regla de Cramer▼

Usa determinantes para resolver sistemas. Para 2×2:

\[ D = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} = a_1 b_2 - a_2 b_1 \]

\[ x = \frac{D_x}{D} \qquad y = \frac{D_y}{D} \]

Si $D = 0$: sistema incompatible o indeterminado.

Interpretación geométrica▼

Cada ecuación lineal representa una recta en el plano cartesiano:

SCD: dos rectas que se intersectan en un punto → pendientes distintas.
SCI: dos rectas que son la misma (coincidentes) → misma pendiente, mismo intercepto.
SI: dos rectas paralelas → misma pendiente, distinto intercepto.

Forma pendiente-intercepto: $ y = mx + b $ donde $ m = -\frac{a}{b} $ y $ b = \frac{c}{b} $

Ejemplos clásicos de los tres tipos de sistemas. Haz clic en cualquiera para cargarlo en la calculadora automáticamente.

COMPATIBLE DETERMINADO (una solución)

Ejemplo 1

2x + 3y = 8
5x − y = 1

Ejemplo 2

x + y = 5
2x − y = 1

Ejemplo 3

3x + 2y = 7
x − 4y = 0

Ejemplo 4

4x − 3y = 5
2x + y = 3

COMPATIBLE INDETERMINADO (infinitas soluciones)

Ejemplo 5

x + 2y = 4
2x + 4y = 8

Ejemplo 6

2x − y = 3
4x − 2y = 6

INCOMPATIBLE (sin solución)

Ejemplo 7

x + 2y = 3
x + 2y = 5

Ejemplo 8

2x + 4y = 6
x + 2y = 5

Ejercicios resueltos - Método de reducción.

✏
20 ejercicios resueltos con el método de reducción

Sin necesidad de multiplicar

Reducción directa

Resuelve el sistema

{

13x + 2y = 16

2x − 2y = 0

¿Qué hacemos?	Nos queda
Observamos: los términos con y ya son opuestos (+2y y −2y)	Sumamos directamente
Sumamos la Ecuación 1 más la Ecuación 2	(3x+2y)+(x−2y) = 16+0
Se cancela la y, sumamos los términos con x	4x = 16
El 4 pasa dividiendo	x = 4
Sustituimos x por 4 en la Ecuación 2	4 − 2y = 0
El 4 pasa restando, el −2 pasa dividiendo	−2y = −4 → y = 2

Verificación — Ecuación 1

Ecuación original	3x + 2y = 16
Sustituimos x = 4, y = 2	12 + 4 = 16
Comparamos	✓ Se cumple

Verificación — Ecuación 2

Ecuación original	x − 2y = 0
Sustituimos x = 4, y = 2	4 − 4 = 0
Comparamos	✓ Se cumple

Solución

x = 4, y = 2

📚 Ejemplo adaptado del artículo original del método de reducción de este blog.

Reducción directa

Resuelve el sistema

{

12x + y = 9

25x − y = 5

¿Qué hacemos?	Nos queda
Observamos: los términos con y ya son opuestos (+y y −y)	Sumamos directamente
Sumamos la Ecuación 1 más la Ecuación 2	(2x+y)+(5x−y) = 9+5
Se cancela la y, sumamos los términos con x	7x = 14
El 7 pasa dividiendo	x = 2
Sustituimos x por 2 en la Ecuación 1	4 + y = 9
El 4 pasa restando	y = 5

Verificación — Ecuación 1

Ecuación original	2x + y = 9
Sustituimos x = 2, y = 5	4 + 5 = 9
Comparamos	✓ Se cumple

Verificación — Ecuación 2

Ecuación original	5x − y = 5
Sustituimos x = 2, y = 5	10 − 5 = 5
Comparamos	✓ Se cumple

Solución

x = 2, y = 5

📚 Ejemplo adaptado del artículo original del método de reducción de este blog.

Reducción directa

Resuelve el sistema

{

1x + y = 9

22x − y = 3

¿Qué hacemos?	Nos queda
Observamos: los términos con y ya son opuestos (+y y −y)	Sumamos directamente
Sumamos la Ecuación 1 más la Ecuación 2	(x+y)+(2x−y) = 9+3
Se cancela la y, sumamos los términos con x	3x = 12
El 3 pasa dividiendo	x = 4
Sustituimos x por 4 en la Ecuación 1	4 + y = 9
El 4 pasa restando	y = 5

Verificación — Ecuación 1

Ecuación original	x + y = 9
Sustituimos x = 4, y = 5	4 + 5 = 9
Comparamos	✓ Se cumple

Verificación — Ecuación 2

Ecuación original	2x − y = 3
Sustituimos x = 4, y = 5	8 − 5 = 3
Comparamos	✓ Se cumple

Solución

x = 4, y = 5

Reducción directa

Resuelve el sistema

{

1x + y = 10

22x − y = 11

¿Qué hacemos?	Nos queda
Observamos: los términos con y ya son opuestos	Sumamos directamente
Sumamos la Ecuación 1 más la Ecuación 2	(x+y)+(2x−y) = 10+11
Se cancela la y, sumamos los términos con x	3x = 21
El 3 pasa dividiendo	x = 7
Sustituimos x por 7 en la Ecuación 1	7 + y = 10
El 7 pasa restando	y = 3

Verificación — Ecuación 1

Ecuación original	x + y = 10
Sustituimos x = 7, y = 3	7 + 3 = 10
Comparamos	✓ Se cumple

Verificación — Ecuación 2

Ecuación original	2x − y = 11
Sustituimos x = 7, y = 3	14 − 3 = 11
Comparamos	✓ Se cumple

Solución

x = 7, y = 3

Multiplicando una sola ecuación

Reducción — multiplicar una ecuación

Resuelve el sistema

{

13x + 2y = 8

2x − 4y = −2

¿Qué hacemos?	Nos queda
Multiplicamos la Ecuación 2 completa por 3, para igualar el coeficiente de x	3x − 12y = −6
Restamos: Ecuación 1 menos esta nueva ecuación (así se cancela x)	(3x+2y)−(3x−12y) = 8−(−6)
Se cancela la x, sumamos los términos con y	14y = 14
El 14 pasa dividiendo	y = 1
Sustituimos y por 1 en la Ecuación 1	3x + 2 = 8
El 2 pasa restando, el 3 pasa dividiendo	3x = 6 → x = 2

Verificación — Ecuación 1

Ecuación original	3x + 2y = 8
Sustituimos x = 2, y = 1	6 + 2 = 8
Comparamos	✓ Se cumple

Verificación — Ecuación 2

Ecuación original	x − 4y = −2
Sustituimos x = 2, y = 1	2 − 4 = −2
Comparamos	✓ Se cumple

Solución

x = 2, y = 1

📚 Ejemplo adaptado del artículo original del método de reducción de este blog.

Reducción — multiplicar una ecuación

Resuelve el sistema

{

14x + 3y = 18

22x + y = 8

¿Qué hacemos?	Nos queda
Multiplicamos la Ecuación 2 completa por −2, para oponer el coeficiente de x	−4x − 2y = −16
Sumamos esta nueva ecuación con la Ecuación 1	(4x+3y)+(−4x−2y) = 18+(−16)
Se cancela la x, sumamos los términos con y	y = 2
Sustituimos y por 2 en la Ecuación 2	2x + 2 = 8
El 2 pasa restando, el 2 pasa dividiendo	2x = 6 → x = 3

Verificación — Ecuación 1

Ecuación original	4x + 3y = 18
Sustituimos x = 3, y = 2	12 + 6 = 18
Comparamos	✓ Se cumple

Verificación — Ecuación 2

Ecuación original	2x + y = 8
Sustituimos x = 3, y = 2	6 + 2 = 8
Comparamos	✓ Se cumple

Solución

x = 3, y = 2

📚 Ejemplo adaptado del artículo original del método de reducción de este blog.

Reducción — resultado en fracción

Resuelve el sistema

{

15x + 2y = 22

23x − y = 5

¿Qué hacemos?	Nos queda
Multiplicamos la Ecuación 2 completa por 2, para oponer el coeficiente de y	6x − 2y = 10
Sumamos con la Ecuación 1	(5x+2y)+(6x−2y) = 22+10
Se cancela la y, sumamos los términos con x	11x = 32
El 11 pasa dividiendo	x = 32/11
Sustituimos x por 32/11 en la Ecuación 2	96/11 − y = 5
El 96/11 pasa restando, cambia de signo la y	y = 96/11 − 55/11 = 41/11

Verificación — Ecuación 1

Ecuación original	5x + 2y = 22
Sustituimos x = 32/11, y = 41/11	160/11 + 82/11 = 242/11
Comparamos	242/11 = 22 ✓ Se cumple

Verificación — Ecuación 2

Ecuación original	3x − y = 5
Sustituimos x = 32/11, y = 41/11	96/11 − 41/11 = 55/11
Comparamos	55/11 = 5 ✓ Se cumple

Solución

x = 32/11, y = 41/11

📚 Ejemplo adaptado del artículo original del método de reducción de este blog.

Reducción — resultado en fracción

Resuelve el sistema

{

16x + 4y = 28

23x − 2y = 2

¿Qué hacemos?	Nos queda
Multiplicamos la Ecuación 2 completa por 2, para oponer el coeficiente de y	6x − 4y = 4
Sumamos con la Ecuación 1	(6x+4y)+(6x−4y) = 28+4
Se cancela la y, sumamos los términos con x	12x = 32
El 12 pasa dividiendo	x = 8/3
Sustituimos x por 8/3 en la Ecuación 2	8 − 2y = 2
El 8 pasa restando, el −2 pasa dividiendo	−2y = −6 → y = 3

Verificación — Ecuación 1

Ecuación original	6x + 4y = 28
Sustituimos x = 8/3, y = 3	16 + 12 = 28
Comparamos	✓ Se cumple

Verificación — Ecuación 2

Ecuación original	3x − 2y = 2
Sustituimos x = 8/3, y = 3	8 − 6 = 2
Comparamos	✓ Se cumple

Solución

x = 8/3, y = 3

📚 Ejemplo adaptado del artículo original del método de reducción de este blog.

Reducción — multiplicar una ecuación

Resuelve el sistema

{

12x + 3y = 18

2x − y = 4

¿Qué hacemos?	Nos queda
Multiplicamos la Ecuación 2 completa por 3, para oponer el coeficiente de y	3x − 3y = 12
Sumamos con la Ecuación 1	(2x+3y)+(3x−3y) = 18+12
Se cancela la y, sumamos los términos con x	5x = 30
El 5 pasa dividiendo	x = 6
Sustituimos x por 6 en la Ecuación 2	6 − y = 4
El 6 pasa restando, y cambia de signo	y = 2

Verificación — Ecuación 1

Ecuación original	2x + 3y = 18
Sustituimos x = 6, y = 2	12 + 6 = 18
Comparamos	✓ Se cumple

Verificación — Ecuación 2

Ecuación original	x − y = 4
Sustituimos x = 6, y = 2	6 − 2 = 4
Comparamos	✓ Se cumple

Solución

x = 6, y = 2

Multiplicando las dos ecuaciones

E10

Reducción — multiplicar ambas

Resuelve el sistema

{

13x + 2y = 11

2x + 4y = −3

¿Qué hacemos?	Nos queda
Multiplicamos la Ecuación 1 completa por 4	12x + 8y = 44
Multiplicamos la Ecuación 2 completa por −2	−2x − 8y = 6
Ahora las y son opuestas — sumamos las dos nuevas ecuaciones	(12x+8y)+(−2x−8y) = 44+6
Se cancela la y, sumamos los términos con x	10x = 50
El 10 pasa dividiendo	x = 5
Sustituimos x por 5 en la Ecuación 1	15 + 2y = 11
El 15 pasa restando, el 2 pasa dividiendo	2y = −4 → y = −2

Verificación — Ecuación 1

Ecuación original	3x + 2y = 11
Sustituimos x = 5, y = −2	15 − 4 = 11
Comparamos	✓ Se cumple

Verificación — Ecuación 2

Ecuación original	x + 4y = −3
Sustituimos x = 5, y = −2	5 − 8 = −3
Comparamos	✓ Se cumple

Solución

x = 5, y = −2

E11

Reducción — multiplicar ambas

Resuelve el sistema

{

12x − 3y = 9

25x + 2y = 13

¿Qué hacemos?	Nos queda
Multiplicamos la Ecuación 1 completa por 2	4x − 6y = 18
Multiplicamos la Ecuación 2 completa por 3	15x + 6y = 39
Ahora las y son opuestas — sumamos las dos nuevas ecuaciones	(4x−6y)+(15x+6y) = 18+39
Se cancela la y, sumamos los términos con x	19x = 57
El 19 pasa dividiendo	x = 3
Sustituimos x por 3 en la Ecuación 1	6 − 3y = 9
El 6 pasa restando, el −3 pasa dividiendo	−3y = 3 → y = −1

Verificación — Ecuación 1

Ecuación original	2x − 3y = 9
Sustituimos x = 3, y = −1	6 + 3 = 9
Comparamos	✓ Se cumple

Verificación — Ecuación 2

Ecuación original	5x + 2y = 13
Sustituimos x = 3, y = −1	15 − 2 = 13
Comparamos	✓ Se cumple

Solución

x = 3, y = −1

E12

Reducción directa

Resuelve el sistema

{

1x + y = 2

23x − y = −10

¿Qué hacemos?	Nos queda
Observamos: los términos con y ya son opuestos	Sumamos directamente
Sumamos la Ecuación 1 más la Ecuación 2	(x+y)+(3x−y) = 2+(−10)
Se cancela la y, sumamos los términos con x	4x = −8
El 4 pasa dividiendo	x = −2
Sustituimos x por −2 en la Ecuación 1	−2 + y = 2
El −2 pasa sumando	y = 4

Verificación — Ecuación 1

Ecuación original	x + y = 2
Sustituimos x = −2, y = 4	−2 + 4 = 2
Comparamos	✓ Se cumple

Verificación — Ecuación 2

Ecuación original	3x − y = −10
Sustituimos x = −2, y = 4	−6 − 4 = −10
Comparamos	✓ Se cumple

Solución

x = −2, y = 4

Problemas aplicados

E13

Aplicado — edades 👨‍👧

Pedro tiene 8 años más que Ana. La suma de sus edades es 40. ¿Qué edad tiene cada uno?

Defino: x = edad de Pedro, y = edad de Ana.

{

1x − y = 8

2x + y = 40

¿Qué hacemos?	Nos queda
Observamos: los términos con y ya son opuestos	Sumamos directamente
Sumamos la Ecuación 1 más la Ecuación 2	(x−y)+(x+y) = 8+40
Se cancela la y, sumamos los términos con x	2x = 48
El 2 pasa dividiendo	x = 24
Sustituimos x por 24 en la Ecuación 2	24 + y = 40
El 24 pasa restando	y = 16

Verificación — Ecuación 1

Ecuación original	x − y = 8
Sustituimos x = 24, y = 16	24 − 16 = 8
Comparamos	✓ Se cumple

Verificación — Ecuación 2

Ecuación original	x + y = 40
Sustituimos x = 24, y = 16	24 + 16 = 40
Comparamos	✓ Se cumple

Respuesta

Pedro: 24 años · Ana: 16 años

📚 Problema adaptado del artículo original del método de reducción de este blog.

E14

Aplicado — compras 🛒

3 lápices y 2 borradores cuestan $16. 5 lápices y 4 borradores cuestan $30. ¿Precio de cada uno?

Defino: x = precio del lápiz, y = precio del borrador.

{

13x + 2y = 16

25x + 4y = 30

¿Qué hacemos?	Nos queda
Multiplicamos la Ecuación 1 completa por −2, para oponer el coeficiente de y	−6x − 4y = −32
Sumamos con la Ecuación 2	(−6x−4y)+(5x+4y) = −32+30
Se cancela la y, sumamos los términos con x	−x = −2
Multiplicamos ambos lados por −1	x = 2
Sustituimos x por 2 en la Ecuación 1	6 + 2y = 16
El 6 pasa restando, el 2 pasa dividiendo	2y = 10 → y = 5

Verificación — Ecuación 1

Ecuación original	3x + 2y = 16
Sustituimos x = 2, y = 5	6 + 10 = 16
Comparamos	✓ Se cumple

Verificación — Ecuación 2

Ecuación original	5x + 4y = 30
Sustituimos x = 2, y = 5	10 + 20 = 30
Comparamos	✓ Se cumple

Respuesta

Lápiz: $2 · Borrador: $5

E15

Aplicado — distancias 🚗

Dos autos recorren juntos 300 km. El auto A recorre el doble de distancia que el auto B. ¿Cuánto recorrió cada uno?

Defino: x = distancia del auto A, y = distancia del auto B.

{

1x + y = 300

2x − 2y = 0

¿Qué hacemos?	Nos queda
Multiplicamos la Ecuación 1 completa por −1, para oponer el coeficiente de x	−x − y = −300
Sumamos con la Ecuación 2	(−x−y)+(x−2y) = −300+0
Se cancela la x, sumamos los términos con y	−3y = −300
El −3 pasa dividiendo	y = 100
Sustituimos y por 100 en la Ecuación 1	x + 100 = 300
El 100 pasa restando	x = 200

Verificación — Ecuación 1

Ecuación original	x + y = 300
Sustituimos x = 200, y = 100	200 + 100 = 300
Comparamos	✓ Se cumple

Verificación — Ecuación 2

Ecuación original	x − 2y = 0
Sustituimos x = 200, y = 100	200 − 200 = 0
Comparamos	✓ Se cumple

Respuesta

Auto A: 200 km · Auto B: 100 km

E16

Aplicado — inversión 💰

$6000 invertidos en dos cuentas: una al 5% y otra al 7% anual. Interés total: $360. ¿Cuánto en cada una?

Defino: x = monto al 5%, y = monto al 7%.

{

1x + y = 6000

20,05x + 0,07y = 360

¿Qué hacemos?	Nos queda
Multiplicamos la Ecuación 1 completa por −0,05, para oponer el coeficiente de x	−0,05x − 0,05y = −300
Sumamos con la Ecuación 2	(−0,05x−0,05y)+(0,05x+0,07y) = −300+360
Se cancela la x, sumamos los términos con y	0,02y = 60
El 0,02 pasa dividiendo	y = 3000
Sustituimos y por 3000 en la Ecuación 1	x + 3000 = 6000
El 3000 pasa restando	x = 3000

Verificación — Ecuación 1

Ecuación original	x + y = 6000
Sustituimos x = 3000, y = 3000	3000 + 3000 = 6000
Comparamos	✓ Se cumple

Verificación — Ecuación 2

Ecuación original	0,05x + 0,07y = 360
Sustituimos x = 3000, y = 3000	150 + 210 = 360
Comparamos	✓ Se cumple

Respuesta

$3000 al 5% · $3000 al 7%

🔀
Casos especiales: sin solución e infinitas soluciones

El método de reducción también te avisa cuando un sistema no tiene solución única — al sumar, ambas variables se cancelan a la vez.

E17

Sin solución

Resuelve el sistema

{

12x + 4y = 6

2x + 2y = 5

¿Qué hacemos?	Nos queda
Multiplicamos la Ecuación 2 completa por −2	−2x − 4y = −10
Sumamos con la Ecuación 1	(2x+4y)+(−2x−4y) = 6+(−10)
Se cancelan las dos variables	0 = −4 (igualdad FALSA)

Cuando las dos variables se cancelan y queda una igualdad falsa (0 = −4), las rectas son paralelas: nunca se cruzan. No existe ningún par (x, y) que cumpla ambas ecuaciones.

Respuesta

Sin solución (rectas paralelas)

E18

Infinitas soluciones

Resuelve el sistema

{

1x + 2y = 4

22x + 4y = 8

¿Qué hacemos?	Nos queda
Multiplicamos la Ecuación 1 completa por −2	−2x − 4y = −8
Sumamos con la Ecuación 2	(−2x−4y)+(2x+4y) = −8+8
Se cancelan las dos variables	0 = 0 (igualdad VERDADERA)

Cuando queda una igualdad verdadera (0 = 0), las dos ecuaciones son la misma recta (la Ecuación 2 es exactamente el doble de la Ecuación 1). Cualquier punto que cumpla una, cumple la otra — hay infinitas soluciones.

Respuesta

Infinitas soluciones (misma recta)

E19

Reducción — multiplicar ambas

Resuelve el sistema

{

13x + 5y = 13

2x − 2y = −1

¿Qué hacemos?	Nos queda
Multiplicamos la Ecuación 2 completa por −3, para oponer el coeficiente de x	−3x + 6y = 3
Sumamos con la Ecuación 1	(3x+5y)+(−3x+6y) = 13+3
Se cancela la x, sumamos los términos con y	11y = 16
El 11 pasa dividiendo	y = 16/11
Sustituimos y por 16/11 en la Ecuación 2	x − 32/11 = −1
El 32/11 pasa sumando	x = −11/11 + 32/11 = 21/11

Verificación — Ecuación 1

Ecuación original	3x + 5y = 13
Sustituimos x = 21/11, y = 16/11	63/11 + 80/11 = 143/11
Comparamos	143/11 = 13 ✓ Se cumple

Verificación — Ecuación 2

Ecuación original	x − 2y = −1
Sustituimos x = 21/11, y = 16/11	21/11 − 32/11 = −11/11
Comparamos	−11/11 = −1 ✓ Se cumple

Solución

x = 21/11, y = 16/11

E20

Reducción directa

Resuelve el sistema

{

19x + y = 4

2x − y = 1

¿Qué hacemos?	Nos queda
Observamos: los términos con y ya son opuestos	Sumamos directamente
Sumamos la Ecuación 1 más la Ecuación 2	(9x+y)+(x−y) = 4+1
Se cancela la y, sumamos los términos con x	10x = 5
El 10 pasa dividiendo	x = 1/2
Sustituimos x por 1/2 en la Ecuación 2	1/2 − y = 1
El 1/2 pasa restando, y cambia de signo	y = −1/2

Verificación — Ecuación 1

Ecuación original	9x + y = 4
Sustituimos x = 1/2, y = −1/2	4,5 − 0,5 = 4
Comparamos	✓ Se cumple

Verificación — Ecuación 2

Ecuación original	x − y = 1
Sustituimos x = 1/2, y = −1/2	0,5 + 0,5 = 1
Comparamos	✓ Se cumple

Solución

x = 1/2, y = −1/2

Resumen — el método en una sola idea

1. Elige

Qué variable eliminar

2. Multiplica

Para igualar coeficientes con signo opuesto

3. Suma

Las ecuaciones — esa variable se cancela

4. Sustituye

En cualquier ecuación original

0 = número (falso)

Sin solución (rectas paralelas)

0 = 0 (verdadero)

Infinitas soluciones (misma recta)

⚖
Ventajas y desventajas del método de reducción

Ventajas

Permite eliminar fácilmente una variable. Es organizado y lógico. Funciona muy bien cuando los coeficientes ya son compatibles.

Desventajas

Puede requerir multiplicar por números grandes. Si no eliges bien qué variable eliminar, puede ser más largo que igualación o sustitución.

!
Errores comunes

ERROR 1

No multiplicar todos los términos de la ecuación

Incorrecto

3(x − 4y) = 3(−2) → 3x − 4y = −6

Multiplicaron solo el primer término del paréntesis por 3.

Correcto

3x − 12y = −6

El factor multiplica a CADA término, incluyendo el número del otro lado.

Antes de sumar, revisa que multiplicaste los tres términos de la ecuación completa.

ERROR 2

Cambiar mal los signos al sumar o restar

Incorrecto

(3x+2y)−(3x−12y) = 2y−12y = −10y

Al restar, olvidaron distribuir el signo negativo al segundo paréntesis completo.

Correcto

2y − (−12y) = 2y + 12y = 14y

Restar una ecuación completa cambia el signo de TODOS sus términos.

Si vas a restar, es más seguro multiplicar por −1 y sumar en vez de restar directamente.

ERROR 3

Elegir mal qué variable eliminar

Incorrecto

Elegir eliminar la variable con coeficientes más grandes

Obliga a multiplicar por números más grandes de lo necesario.

Correcto

Elegir la variable con coeficientes más simples

Revisa ambas variables antes de decidir cuál eliminar primero.

Mira los coeficientes de ambas variables antes de empezar — elige la que requiera multiplicar menos.

ERROR 4

No verificar la solución en las dos ecuaciones

Incorrecto

Dar la respuesta sin comprobarla

Un error de signo puede pasar completamente desapercibido.

Correcto

Sustituir en las DOS ecuaciones originales

Solo si ambas se cumplen, la solución es correcta.

Verificar toma 30 segundos y te ahorra dar una respuesta incorrecta.

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Preguntas frecuentes

¿Cómo decido qué variable eliminar primero?

▼

Mira los coeficientes de ambas variables en las dos ecuaciones y elige la que necesite multiplicar por números más pequeños para igualarse (u oponerse). Si alguna ya tiene coeficientes iguales u opuestos, esa es la elección obvia.

No hay una única respuesta correcta — cualquier variable que elijas te lleva a la misma solución, solo cambia cuánto trabajo tienes que hacer.

¿Tengo que sumar o restar las ecuaciones?

▼

Depende de los signos: si los coeficientes de la variable a eliminar ya son opuestos (uno positivo, uno negativo), súmalas. Si son iguales con el mismo signo, réstalas — o multiplica una por −1 y súmalas, que suele ser más seguro para evitar errores de signo.

Multiplicar por −1 antes de sumar es una buena práctica para reducir errores.

¿Puedo multiplicar solo una ecuación, o siempre tengo que multiplicar ambas?

▼

Depende del sistema. Si un coeficiente ya es múltiplo del otro, basta con multiplicar una sola ecuación. Si no hay esa relación directa, necesitas multiplicar ambas por números distintos para igualar los coeficientes.

Antes de multiplicar, revisa si un coeficiente es múltiplo exacto del otro — eso te ahorra un paso.

¿Cómo reconozco un sistema sin solución o con infinitas soluciones?

▼

Al sumar las ecuaciones ajustadas, si ambas variables se cancelan, mira lo que queda: una igualdad falsa (como 0 = −4) significa que no hay solución. Una igualdad verdadera (como 0 = 0) significa infinitas soluciones.

Estos casos son poco frecuentes en la práctica, pero es importante reconocerlos.

¿En qué consiste exactamente la verificación?

▼

Consiste en tomar los valores de x e y que hallaste y reemplazarlos en cada ecuación original por separado. Escribes la ecuación, sustituyes cada variable por su valor, resuelves ambos lados y comparas: si son iguales, esa ecuación se cumple. Repites esto para las dos ecuaciones.

Si una ecuación no se cumple, el error está casi siempre en un signo durante la multiplicación o la suma, no en la verificación misma.

¡Verifica tus soluciones! Usa nuestra calculadora gratuita de ecuaciones y sistemas para identificar el tipo de solución y comprobar tus resultados.