Método de Cramer para sistemas de ecuaciones 3x3 paso a paso

El método de Cramer para sistemas de ecuaciones 3×3, es un procedimiento algebraico que permite encontrar la solución de un sistema formado por tres ecuaciones con tres incógnitas utilizando determinantes.

Este método resulta especialmente útil cuando queremos resolver un sistema de ecuaciones de forma organizada y conocer directamente el valor de cada incógnita. Para aplicarlo, primero se calcula el determinante de la matriz de coeficientes y posteriormente se construyen nuevos determinantes para encontrar los valores de x, y y z.

Álgebra — Sistemas de ecuaciones lineales

Tabla de Contenidos

Regla de Cramer en sistemas de ecuaciones 3×3: guía completa + 7 ejercicios

|D|
¿En qué consiste el método de Cramer?

Para un sistema 3×3 con solución única, la regla de Cramer calcula cada incógnita como el cociente de dos determinantes. Necesitas calcular cuatro determinantes de matrices 3×3: uno con los coeficientes originales (D), y tres más donde reemplazas una columna a la vez por la columna de los términos independientes.

{

1x + y + z = 9

2x − y + z = 3

3x + y − z = 1

Círculo verde 1 = Ecuación 1 Círculo rojo 2 = Ecuación 2 Círculo ámbar 3 = Ecuación 3 x en azul y en verde z en morado

¿Qué es «D»? D es el determinante de la matriz de coeficientes — un solo número que se calcula a partir de esa matriz con la Regla de Sarrus (la explicamos en la siguiente sección). Por eso también se le llama determinante principal o determinante del sistema: resume toda la matriz de coeficientes en un único valor, y ese valor es el que usarás como divisor para hallar x, y, z.

D se forma con los coeficientes de x, y, z tal como están en el sistema. Para Dx, tomas la matriz de D y reemplazas su primera columna (la de los coeficientes de x) por la columna de los términos independientes (9, 3, 1) y calculas el determinante de esa nueva matriz. Lo mismo para Dy con la segunda columna, y Dz con la tercera — Dx, Dy y Dz son también determinantes, solo que de una matriz «modificada».

Dx ÷ D

Dy ÷ D

Dz ÷ D

🎯
¿Cuándo conviene usar la regla de Cramer?

Úsala cuando

Solo necesitas el valor de UNA variable (no las tres), o cuando quieres un método totalmente mecánico, sin decidir qué eliminar o despejar.

Considera otro método si

Los coeficientes son grandes o hay muchas ecuaciones — calcular cuatro determinantes 3×3 (o más grandes) a mano es más lento que reducción o sustitución.

💡

Ventaja de este método: es puramente algorítmico — siempre sigues los mismos pasos sin importar cómo se vea el sistema. Por eso es el método preferido quel se enseña junto con matrices, y el que usan casi todas las calculadoras y programas.

⤢
El determinante de una matriz 3×3 — Regla de Sarrus

La Regla de Sarrus es la forma más visual de calcular un determinante 3×3: multiplicas en diagonal. Para verlas todas, repites las dos primeras columnas a la derecha de la matriz (aparecen en gris, son solo una ayuda visual). Hay tres diagonales que van hacia abajo-derecha (se suman) y tres que van hacia abajo-izquierda (se restan).

Diagonales positivas (↘) — se suman Diagonales negativas (↙) — se restan

Ejemplo genérico

Diagonales positivas (↘) — se suman

3 × 4 × 5 = 60

1 × (−1) × 2 = −2

2 × 0 × 0 = 0

Suma = 58

Diagonales negativas (↙) — se restan

2 × 4 × 2 = 16

3 × (−1) × 0 = 0

1 × 0 × 5 = 0

Suma = 16

Determinante = 58 − 16 = 42

🧭

Cómo se forman las diagonales: imagina que «envuelves» la matriz — cada diagonal positiva empieza en la fila de arriba y avanza hacia abajo-derecha, dando la vuelta al otro lado si se sale de la matriz. Cada diagonal negativa hace lo mismo pero hacia abajo-izquierda. En total son siempre 3 diagonales de cada tipo en una matriz 3×3.

📋
Método en 6 pasos

Escribe la matriz de coeficientes

Las tres columnas son los coeficientes de x, y, z; aparte anota la columna de los términos independientes.

Calcula D

El determinante de la matriz de coeficientes, con la Regla de Sarrus. Si D = 0, no hay solución única (ver Casos especiales).

Calcula Dx

Reemplaza la columna de x por la columna de constantes, y calcula ese nuevo determinante.

Calcula Dy

Reemplaza la columna de y por la columna de constantes, y calcula ese determinante.

Calcula Dz

Reemplaza la columna de z por la columna de constantes, y calcula ese determinante.

Divide y verifica

x = Dx÷D, y = Dy÷D, z = Dz÷D. Sustituye los tres valores en las tres ecuaciones originales.

Ejemplo guiado

{

1x + y + z = 6

2x − y + z = 2

3x + y − z = 0

Positivas — se suman Negativas — se restan Columnas repetidas (ayuda visual)

Calculamos D — el determinante de los coeficientes

Diagonales positivas

1 × (−1) × (−1) = 1

1 × 1 × 1 = 1

Suma = 3

Diagonales negativas

1 × (−1) × 1 = −1

1 × 1 × 1 = 1

1 × 1 × (−1) = −1

Suma = −1

D = 3 − (−1) = 4

Calculamos Dx — reemplazamos la columna de x (1,1,1) por las constantes (6,2,0)

Diagonales positivas

6 × (−1) × (−1) = 6

1 × 1 × 0 = 0

1 × 2 × 1 = 2

Suma = 8

Diagonales negativas

1 × (−1) × 0 = 0

6 × 1 × 1 = 6

1 × 2 × (−1) = −2

Suma = 4

Dx = 8 − 4 = 4

Calculamos Dy — reemplazamos la columna de y (1,−1,1) por las constantes (6,2,0)

Diagonales positivas

1 × 2 × (−1) = −2

6 × 1 × 1 = 6

1 × 1 × 0 = 0

Suma = 4

Diagonales negativas

1 × 2 × 1 = 2

1 × 1 × 0 = 0

6 × 1 × (−1) = −6

Suma = −4

Dy = 4 − (−4) = 8

Calculamos Dz — reemplazamos la columna de z (1,1,−1) por las constantes (6,2,0)

Diagonales positivas

1 × (−1) × 0 = 0

1 × 2 × 1 = 2

6 × 1 × 1 = 6

Suma = 8

Diagonales negativas

6 × (−1) × 1 = −6

1 × 2 × 1 = 2

1 × 1 × 0 = 0

Suma = −4

Dz = 8 − (−4) = 12

¿Qué hacemos?	Nos queda
x = Dx ÷ D	x = 4 ÷ 4 = 1
y = Dy ÷ D	y = 8 ÷ 4 = 2
z = Dz ÷ D	z = 12 ÷ 4 = 3

Verificación — Ecuación 1

Ecuación original	x + y + z = 6
Sustituimos x=1, y=2, z=3	1 + 2 + 3 = 6
Comparamos	✓ Se cumple

Verificación — Ecuación 2

Ecuación original	x − y + z = 2
Sustituimos x=1, y=2, z=3	1 − 2 + 3 = 2
Comparamos	✓ Se cumple

Verificación — Ecuación 3

Ecuación original	x + y − z = 0
Sustituimos x=1, y=2, z=3	1 + 2 − 3 = 0
Comparamos	✓ Se cumple

Con Cramer no necesitas sustituir un valor dentro de otra ecuación como en reducción: cada incógnita sale directamente de su propio cociente Dx÷D, Dy÷D, Dz÷D.

Solución

x = 1, y = 2, z = 3

✏
5 ejercicios resueltos con la regla de Cramer

Positivas — se suman Negativas — se restan Columnas repetidas (ayuda visual) Columna reemplazada por constantes

Nivel básico

Cramer

Resuelve el sistema

{

1x + y + z = 6

22x − y + z = 3

3x + 2y − z = 2

Calculamos D

Positivas

1 × (−1) × (−1) = 1

1 × 1 × 1 = 1

1 × 2 × 2 = 4

Suma = 6

Negativas

1 × (−1) × 1 = −1

1 × 1 × 2 = 2

1 × 2 × (−1) = −2

Suma = −1

D = 6 − (−1) = 7

Calculamos Dx (columna de x → 6, 3, 2)

Positivas

6 × (−1) × (−1) = 6

1 × 1 × 2 = 2

1 × 3 × 2 = 6

Suma = 14

Negativas

1 × (−1) × 2 = −2

6 × 1 × 2 = 12

1 × 3 × (−1) = −3

Suma = 7

Dx = 14 − 7 = 7

Calculamos Dy (columna de y → 6, 3, 2)

Positivas

1 × 3 × (−1) = −3

6 × 1 × 1 = 6

1 × 2 × 2 = 4

Suma = 7

Negativas

1 × 3 × 1 = 3

1 × 1 × 2 = 2

6 × 2 × (−1) = −12

Suma = −7

Dy = 7 − (−7) = 14

Calculamos Dz (columna de z → 6, 3, 2)

Positivas

1 × (−1) × 2 = −2

1 × 3 × 1 = 3

6 × 2 × 2 = 24

Suma = 25

Negativas

6 × (−1) × 1 = −6

1 × 3 × 2 = 6

1 × 2 × 2 = 4

Suma = 4

Dz = 25 − 4 = 21

¿Qué hacemos?	Nos queda
x = Dx ÷ D	x = 7 ÷ 7 = 1
y = Dy ÷ D	y = 14 ÷ 7 = 2
z = Dz ÷ D	z = 21 ÷ 7 = 3

Verificación — Ecuación 1

Ecuación original	x + y + z = 6
Sustituimos x=1, y=2, z=3	1 + 2 + 3 = 6
Comparamos	✓ Se cumple

Verificación — Ecuación 2

Ecuación original	2x − y + z = 3
Sustituimos x=1, y=2, z=3	2 − 2 + 3 = 3
Comparamos	✓ Se cumple

Verificación — Ecuación 3

Ecuación original	x + 2y − z = 2
Sustituimos x=1, y=2, z=3	1 + 4 − 3 = 2
Comparamos	✓ Se cumple

Solución

x = 1, y = 2, z = 3

Cramer

Resuelve el sistema

{

1x + 2y + z = 7

22x − y + z = 6

3x + y − 2z = −3

Calculamos D

Positivas

1 × (−1) × (−2) = 2

2 × 1 × 1 = 2

1 × 2 × 1 = 2

Suma = 6

Negativas

1 × (−1) × 1 = −1

1 × 1 × 1 = 1

2 × 2 × (−2) = −8

Suma = −8

D = 6 − (−8) = 14

Calculamos Dx (columna de x → 7, 6, −3)

Positivas

7 × (−1) × (−2) = 14

2 × 1 × (−3) = −6

1 × 6 × 1 = 6

Suma = 14

Negativas

1 × (−1) × (−3) = 3

7 × 1 × 1 = 7

2 × 6 × (−2) = −24

Suma = −14

Dx = 14 − (−14) = 28

Calculamos Dy (columna de y → 7, 6, −3)

Positivas

1 × 6 × (−2) = −12

7 × 1 × 1 = 7

1 × 2 × (−3) = −6

Suma = −11

Negativas

1 × 6 × 1 = 6

1 × 1 × (−3) = −3

7 × 2 × (−2) = −28

Suma = −25

Dy = −11 − (−25) = 14

Calculamos Dz (columna de z → 7, 6, −3)

Positivas

1 × (−1) × (−3) = 3

2 × 6 × 1 = 12

7 × 2 × 1 = 14

Suma = 29

Negativas

7 × (−1) × 1 = −7

1 × 6 × 1 = 6

2 × 2 × (−3) = −12

Suma = −13

Dz = 29 − (−13) = 42

¿Qué hacemos?	Nos queda
x = Dx ÷ D	x = 28 ÷ 14 = 2
y = Dy ÷ D	y = 14 ÷ 14 = 1
z = Dz ÷ D	z = 42 ÷ 14 = 3

Verificación — Ecuación 1

Ecuación original	x + 2y + z = 7
Sustituimos x=2, y=1, z=3	2 + 2 + 3 = 7
Comparamos	✓ Se cumple

Verificación — Ecuación 2

Ecuación original	2x − y + z = 6
Sustituimos x=2, y=1, z=3	4 − 1 + 3 = 6
Comparamos	✓ Se cumple

Verificación — Ecuación 3

Ecuación original	x + y − 2z = −3
Sustituimos x=2, y=1, z=3	2 + 1 − 6 = −3
Comparamos	✓ Se cumple

Solución

x = 2, y = 1, z = 3

Nivel intermedio — resultado en fracción

Cramer — fracción

Resuelve el sistema

{

12x + y + z = 8

24x − y + 2z = 13

32x + 3y − z = 6

Calculamos D

Positivas

2 × (−1) × (−1) = 2

1 × 2 × 2 = 4

1 × 4 × 3 = 12

Suma = 18

Negativas

1 × (−1) × 2 = −2

2 × 2 × 3 = 12

1 × 4 × (−1) = −4

Suma = 6

D = 18 − 6 = 12

Calculamos Dx (columna de x → 8, 13, 6)

Positivas

8 × (−1) × (−1) = 8

1 × 2 × 6 = 12

1 × 13 × 3 = 39

Suma = 59

Negativas

1 × (−1) × 6 = −6

8 × 2 × 3 = 48

1 × 13 × (−1) = −13

Suma = 29

Dx = 59 − 29 = 30

Calculamos Dy (columna de y → 8, 13, 6)

Positivas

2 × 13 × (−1) = −26

8 × 2 × 2 = 32

1 × 4 × 6 = 24

Suma = 30

Negativas

1 × 13 × 2 = 26

2 × 2 × 6 = 24

8 × 4 × (−1) = −32

Suma = 18

Dy = 30 − 18 = 12

Calculamos Dz (columna de z → 8, 13, 6)

Positivas

2 × (−1) × 6 = −12

1 × 13 × 2 = 26

8 × 4 × 3 = 96

Suma = 110

Negativas

8 × (−1) × 2 = −16

2 × 13 × 3 = 78

1 × 4 × 6 = 24

Suma = 86

Dz = 110 − 86 = 24

¿Qué hacemos?	Nos queda
x = Dx ÷ D	x = 30 ÷ 12 = 5/2
y = Dy ÷ D	y = 12 ÷ 12 = 1
z = Dz ÷ D	z = 24 ÷ 12 = 2

Verificación — Ecuación 1

Ecuación original	2x + y + z = 8
Sustituimos x=5/2, y=1, z=2	5 + 1 + 2 = 8
Comparamos	✓ Se cumple

Verificación — Ecuación 2

Ecuación original	4x − y + 2z = 13
Sustituimos x=5/2, y=1, z=2	10 − 1 + 4 = 13
Comparamos	✓ Se cumple

Verificación — Ecuación 3

Ecuación original	2x + 3y − z = 6
Sustituimos x=5/2, y=1, z=2	5 + 3 − 2 = 6
Comparamos	✓ Se cumple

Solución

x = 5/2, y = 1, z = 2

Problemas aplicados

Aplicado — números 🔢

La suma de tres números es 12. El segundo es el doble del primero. El tercero es el triple del primero. ¿Cuáles son?

Defino: x = primer número, y = segundo número, z = tercer número.

{

1x + y + z = 12

2−2x + y = 0

3−3x + z = 0

Calculamos D

Positivas

1 × 1 × 1 = 1

1 × 0 × (−3) = 0

1 × (−2) × 0 = 0

Suma = 1

Negativas

1 × 1 × (−3) = −3

1 × 0 × 0 = 0

1 × (−2) × 1 = −2

Suma = −5

D = 1 − (−5) = 6

Calculamos Dx (columna de x → 12, 0, 0)

Positivas

12 × 1 × 1 = 12

1 × 0 × 0 = 0

Suma = 12

Negativas

1 × 1 × 0 = 0

12 × 0 × 0 = 0

1 × 0 × 1 = 0

Suma = 0

Dx = 12 − 0 = 12

Calculamos Dy (columna de y → 12, 0, 0)

Positivas

1 × 0 × 1 = 0

12 × 0 × (−3) = 0

1 × (−2) × 0 = 0

Suma = 0

Negativas

1 × 0 × (−3) = 0

1 × 0 × 0 = 0

12 × (−2) × 1 = −24

Suma = −24

Dy = 0 − (−24) = 24

Calculamos Dz (columna de z → 12, 0, 0)

Positivas

1 × 1 × 0 = 0

1 × 0 × (−3) = 0

12 × (−2) × 0 = 0

Suma = 0

Negativas

12 × 1 × (−3) = −36

1 × 0 × 0 = 0

1 × (−2) × 0 = 0

Suma = −36

Dz = 0 − (−36) = 36

¿Qué hacemos?	Nos queda
x = Dx ÷ D	x = 12 ÷ 6 = 2
y = Dy ÷ D	y = 24 ÷ 6 = 4
z = Dz ÷ D	z = 36 ÷ 6 = 6

Verificación — Ecuación 1

Ecuación original	x + y + z = 12
Sustituimos x=2, y=4, z=6	2 + 4 + 6 = 12
Comparamos	✓ Se cumple

Verificación — Ecuación 2

Ecuación original	y = 2x
Sustituimos x=2, y=4	4 = 2(2)
Comparamos	✓ Se cumple

Verificación — Ecuación 3

Ecuación original	z = 3x
Sustituimos x=2, z=6	6 = 3(2)
Comparamos	✓ Se cumple

Respuesta

Los números son 2, 4 y 6

Aplicado — edades 👨‍👩‍👧

La suma de las edades de tres hermanos es 45 años. El mayor tiene el doble de edad que el menor. El mediano tiene 5 años menos que el mayor. ¿Qué edad tiene cada uno?

Defino: x = edad del mayor, y = edad del mediano, z = edad del menor.

{

1x + y + z = 45

2x − 2z = 0

3x − y = 5

Calculamos D

Positivas

1 × 0 × 0 = 0

1 × (−2) × 1 = −2

1 × 1 × (−1) = −1

Suma = −3

Negativas

1 × 0 × 1 = 0

1 × (−2) × (−1) = 2

1 × 1 × 0 = 0

Suma = 2

D = −3 − 2 = −5

Calculamos Dx (columna de x → 45, 0, 5)

Positivas

45 × 0 × 0 = 0

1 × (−2) × 5 = −10

1 × 0 × (−1) = 0

Suma = −10

Negativas

1 × 0 × 5 = 0

45 × (−2) × (−1) = 90

1 × 0 × 0 = 0

Suma = 90

Dx = −10 − 90 = −100

Calculamos Dy (columna de y → 45, 0, 5)

Positivas

1 × 0 × 0 = 0

45 × (−2) × 1 = −90

1 × 1 × 5 = 5

Suma = −85

Negativas

1 × 0 × 1 = 0

1 × (−2) × 5 = −10

45 × 1 × 0 = 0

Suma = −10

Dy = −85 − (−10) = −75

Calculamos Dz (columna de z → 45, 0, 5)

Positivas

1 × 0 × 5 = 0

1 × 0 × 1 = 0

45 × 1 × (−1) = −45

Suma = −45

Negativas

45 × 0 × 1 = 0

1 × 0 × (−1) = 0

1 × 1 × 5 = 5

Suma = 5

Dz = −45 − 5 = −50

¿Qué hacemos?	Nos queda
x = Dx ÷ D	x = −100 ÷ (−5) = 20
y = Dy ÷ D	y = −75 ÷ (−5) = 15
z = Dz ÷ D	z = −50 ÷ (−5) = 10

Verificación — Ecuación 1

Ecuación original	x + y + z = 45
Sustituimos x=20, y=15, z=10	20 + 15 + 10 = 45
Comparamos	✓ Se cumple

Verificación — Ecuación 2

Ecuación original	x = 2z
Sustituimos x=20, z=10	20 = 2(10)
Comparamos	✓ Se cumple

Verificación — Ecuación 3

Ecuación original	x − y = 5
Sustituimos x=20, y=15	20 − 15 = 5
Comparamos	✓ Se cumple

Respuesta

Mayor: 20 años · Mediano: 15 años · Menor: 10 años

Resumen — el método en una sola idea

1. D

Determinante de los coeficientes originales

2. Dx, Dy, Dz

Reemplaza esa columna por los términos independientes

3. Sarrus

Diagonales ↘ se suman, diagonales ↙ se restan

4. Divide

x=Dx÷D · y=Dy÷D · z=Dz÷D

Si D=0

No hay solución única — revisa Casos especiales

Siempre

Verifica en las TRES ecuaciones originales

🔀
Casos especiales: cuando D = 0

Con Cramer, todo depende de D. Si D ≠ 0, siempre hay solución única. Si D = 0, no puedes dividir — y hay que mirar Dx, Dy y Dz para saber qué está pasando.

Sin solución

Resuelve el sistema

{

1x + y + z = 6

22x + 2y + 2z = 10

3x − y + z = 2

Calculamos D

Positivas

1 × 2 × 1 = 2

1 × 2 × (−1) = −2

Suma = 2

Negativas

1 × 2 × 1 = 2

1 × 2 × (−1) = −2

1 × 2 × 1 = 2

Suma = 2

D = 2 − 2 = 0

Calculamos Dx (columna de x → 6, 10, 2) para ver si el sistema es consistente

Positivas

6 × 2 × 1 = 12

1 × 2 × 2 = 4

1 × 10 × (−1) = −10

Suma = 6

Negativas

1 × 2 × 2 = 4

6 × 2 × (−1) = −12

1 × 10 × 1 = 10

Suma = 2

Dx = 6 − 2 = 4

Como D = 0 pero Dx = 4 ≠ 0, no puedes calcular x = Dx÷D (sería dividir 4 entre 0). Cuando D = 0 y al menos uno de Dx, Dy, Dz es distinto de cero, el sistema es incompatible: los planos no comparten ningún punto en común.

Respuesta

Sin solución (D = 0 y Dx ≠ 0)

Infinitas soluciones

Resuelve el sistema

{

1x + y + z = 6

22x + 2y + 2z = 12

3x − y + z = 2

Calculamos D (misma matriz de coeficientes que en E6)

D = 2 − 2 = 0 (idéntico al cálculo de E6, la matriz de coeficientes no cambió)

Calculamos Dx (columna de x → 6, 12, 2)

Positivas

6 × 2 × 1 = 12

1 × 2 × 2 = 4

1 × 12 × (−1) = −12

Suma = 4

Negativas

1 × 2 × 2 = 4

6 × 2 × (−1) = −12

1 × 12 × 1 = 12

Suma = 4

Dx = 4 − 4 = 0

Calculando de la misma forma, también resultan Dy = 0 y Dz = 0 (puedes comprobarlo siguiendo el mismo procedimiento con las columnas de y y de z).

Cuando D = 0 y también Dx = Dy = Dz = 0, el sistema es compatible indeterminado: tiene infinitas soluciones. Pero aquí Cramer se queda corto — la fórmula da 0÷0, que no define ningún valor. Para encontrar esas infinitas soluciones necesitas cambiar a reducción o sustitución, como se hace en el artículo del método de reducción.

Respuesta

Infinitas soluciones (D = Dx = Dy = Dz = 0)

⚖
Ventajas y desventajas de la regla de Cramer

Ventajas

Fórmula directa y mecánica, sin decisiones intermedias. Ideal si solo necesitas una variable, ya que cada una se calcula de forma independiente.

Desventajas

Exige calcular cuatro determinantes incluso para un sistema pequeño. No funciona si D=0 (hay que recurrir a reducción o sustitución para diagnosticar el sistema).

!
Errores comunes

ERROR 1

Reemplazar la columna equivocada

Incorrecto

Para calcular Dy, reemplazar la primera columna

Cada determinante reemplaza la columna de SU PROPIA variable: Dx→columna 1, Dy→columna 2, Dz→columna 3.

Correcto

Para Dy, reemplazar la SEGUNDA columna

Verifica el orden x-y-z de tu sistema antes de reemplazar cualquier columna.

Antes de calcular, escribe qué columna corresponde a cada variable y márcala.

ERROR 2

Sumar las diagonales negativas en vez de restarlas

Incorrecto

D = (suma positivas) + (suma negativas)

Las diagonales ↙ siempre se RESTAN del total, no se suman.

Correcto

D = (suma positivas) − (suma negativas)

Esta resta es la que le da el signo correcto al determinante.

Escribe siempre la resta explícitamente antes de simplificar, para no perder el signo.

ERROR 3

Aplicar la fórmula cuando D = 0

Incorrecto

x = 4 ÷ 0 = 0 (o dejarlo «indefinido» sin explicar)

No se puede dividir entre 0; hay que diagnosticar el sistema, no forzar un resultado.

Correcto

Si D=0: revisar Dx, Dy, Dz para clasificar el sistema

Alguno ≠0 → sin solución. Todos =0 → infinitas soluciones (usa otro método para hallarlas).

Calcula siempre D primero — si es 0, detente antes de dividir y ve a Casos especiales.

ERROR 4

No verificar la solución en las tres ecuaciones

Incorrecto

Confiar en el resultado sin comprobarlo

Un error de signo en una sola diagonal cambia todo el determinante y pasa desapercibido.

Correcto

Sustituir en las TRES ecuaciones originales

Solo si las tres se cumplen, la solución es correcta.

Con cuatro determinantes hay muchas oportunidades de un error de signo — la verificación es indispensable.

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Preguntas frecuentes

¿Qué pasa si D = 0?

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No puedes dividir por D, así que no hay solución única. Calcula Dx, Dy y Dz: si al menos uno es distinto de cero, el sistema no tiene solución. Si los tres son cero, el sistema tiene infinitas soluciones, pero Cramer no te dice cuáles son — para eso necesitas reducción o sustitución.

Piensa en D=0 como una señal de alerta: el sistema es especial y requiere una mirada adicional con Dx, Dy, Dz.

¿Cramer siempre es más rápido que reducción o sustitución?

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No necesariamente. Para un sistema 3×3 normal, calcular cuatro determinantes puede tomar más pasos que una buena eliminación. Cramer brilla cuando solo necesitas UNA variable (no calculas las otras) o cuando quieres un procedimiento 100% mecánico sin decisiones intermedias.

Para sistemas más grandes que 3×3, calcular determinantes a mano se vuelve muy costoso — ahí Gauss-Jordan suele ser más práctico.

¿Cómo sé qué columna reemplazar para Dx, Dy o Dz?

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La posición de la variable en el sistema determina la columna: si x, y, z aparecen en ese orden en tus ecuaciones, x es la columna 1, y es la columna 2, z es la columna 3. Reemplaza esa columna (y solo esa) por los términos independientes, dejando las otras dos exactamente como están en D.

Un truco simple: el nombre del determinante te dice la columna — Dx toca la columna de x, Dy la de y, Dz la de z.

¿Puedo usar Cramer en sistemas más grandes, como 4×4?

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Sí, la regla se generaliza a cualquier tamaño (x = Dx÷D para cada variable), pero la Regla de Sarrus solo funciona para determinantes 3×3. Para 4×4 o más grandes necesitas cofactores (expansión por menores), lo que hace que el cálculo crezca muchísimo más rápido que con eliminación.

Por esa razón, en la práctica Cramer casi siempre se usa solo para sistemas 2×2 y 3×3.

¿Qué hago si los determinantes me dan números muy grandes o fracciones?

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No hay problema: divide igual, Dx÷D, aunque el resultado sea una fracción (como 5/2). Para evitar errores de cálculo con números grandes, resuelve cada diagonal por separado antes de sumar, y verifica cada determinante sustituyendo la solución final en las tres ecuaciones originales.

Si los números crecen demasiado, también puedes verificar tu resultado resolviendo el mismo sistema por reducción y comparando.