Método de sustitución sistemas 2×2: Paso a paso con calculadora GRATIS

El método de sustitución es una técnica algebraica utilizada para resolver sistemas de ecuaciones lineales 2×2. Consiste en despejar una variable en una de las ecuaciones y sustituirla en la otra para obtener una ecuación con una sola incógnita.

Este método es especialmente útil cuando una de las ecuaciones permite despejar fácilmente una variable. En esta guía aprenderás cómo aplicar el método de sustitución paso a paso, con ejemplos resueltos y ejercicios prácticos.

¿Qué es el método de sustitución?

El método de sustitución consiste en transformar un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas en una sola ecuación con una incógnita. Para lograrlo, se despeja una variable en una ecuación y se reemplaza en la otra.

Pasos del método de sustitución

  1. Despejar una de las variables en una de las ecuaciones.
  2. Sustituir la expresión obtenida en la otra ecuación.
  3. Resolver la ecuación resultante.
  4. Sustituir el valor encontrado para hallar la otra incógnita.
  5. Verificar la solución en ambas ecuaciones.

NOTA:  El método de sustitución es solo una de las tres técnicas principales para resolver sistemas 2×2. También puedes estudiar el método de reducción, especialmente práctico cuando los coeficientes permiten cancelar una variable, y el método de igualación, que resulta muy útil cuando ambas ecuaciones se pueden despejar con facilidad. Dominar los tres métodos te dará mayor seguridad y rapidez al resolver cualquier sistema.

Ejemplos guía: Método de sustitución

Ejemplo 1: Sustitución básica

x+y=102x−y=3x + y = 10\\2x – y = 3

 Despejamos y en la primera ecuación:

y=10−xy = 10 – x

Sustituimos en la segunda ecuación:

2x−(10−x)=32x−10+x=33x−10=33x=13x=1332x – (10 – x) = 3 \\ 2x – 10 + x = 3 \\3x – 10 = 3\\3x = 13\\\\x = \dfrac{13}{3}

Sustituimos para hallar y:

y=10−133=173y = 10 – \dfrac{13}{3} = \dfrac{17}{3}

Solución: (133,173)\left(\dfrac{13}{3} , \dfrac{17}{3}\right)

Ejemplo 2: Cuando conviene despejar x

3x+y=7x−2y=43x + y = 7\\x – 2y = 4

Despejamos x en la segunda ecuación:

x=4+2yx = 4 + 2y

Sustituimos:

3(4+2y)+y=712+6y+y=712+7y=77y=−5y=−573(4 + 2y) + y = 7\\12 + 6y + y = 7\\12 + 7y = 7\\7y = -5\\\\y = \dfrac{-5}{7}

Sustituimos para hallar. x:

x=4+2(−57)=(187)x = 4 + 2\left( \dfrac{-5}{7}\right) = \left( \dfrac{18}{7}\right)

Solución: (187,−57)\left( \dfrac{18}{7},\dfrac{-5}{7}\right)

Ejemplo 3: Caso con fracciones

x+2y=52x+y=4x + 2y = 5\\2x + y = 4

Despejamos x:

x=5−2yx = 5 – 2y

Sustituimos:

2(5−2y)+y=410−4y+y=410−3y=4−3y=−6y=22(5 – 2y) + y = 4\\10 – 4y + y = 4\\10 – 3y = 4\\-3y = -6\\y = 2

Sustituimos:

x=5−2(2)=1x = 5 – 2(2) = 1

Solución: (1,2)(1 , 2)

Domina los sistemas de ecuaciones en minutos con nuestra calculadora interactiva. Resuelve paso a paso, comprueba tus resultados al instante y visualiza cada sistema con su gráfica para entenderlo de verdad. Aprende el método, no solo la respuesta.

Calculadora de Sistemas de Ecuaciones – Método de Sustitución

matepasoapaso.com  ·  Sustitución · Igualación · Reducción · Cramer · Gráfica
CALCULADORA COMPLETA

Resuelve sistemas de 2 ecuaciones con 2 incógnitas por 3 métodos diferentes. Ingresa los coeficientes y selecciona el método. La calculadora identifica si el sistema es compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible.

INGRESA EL SISTEMA  —  ax + by = c
E1
x y =
E2
x y =
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MÉTODO DE RESOLUCIÓN

Resolución de sistemas de 3 ecuaciones con 3 incógnitas usando la Regla de Cramer. Se calculan los determinantes de la matriz del sistema y de las matrices modificadas.

SISTEMA 3×3  —  ax + by + cz = d
E1
x y z =
E2
x y z =
E3
x y z =

Repaso teórico completo: definición, clasificación y métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales con demostraciones y fórmulas clave.

Definición y clasificación de sistemas▼

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones que deben satisfacerse simultáneamente.


Forma general: \( a_1 x + b_1 y = c_1 \) y \( a_2 x + b_2 y = c_2 \)


Clasificación según sus soluciones:

  • Compatible determinado (SCD): una solución única. Las rectas se cortan en un punto. \( \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} \)
  • Compatible indeterminado (SCI): infinitas soluciones. Las rectas son coincidentes. \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} \)
  • Incompatible (SI): sin solución. Las rectas son paralelas. \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} \)
Método de Sustitución▼

Pasos:

  1. Despejar una incógnita de una ecuación: \( y = \frac{c_1 - a_1 x}{b_1} \)
  2. Sustituir esa expresión en la otra ecuación, obteniendo una ecuación con una sola incógnita.
  3. Resolver la ecuación resultante.
  4. Sustituir el valor encontrado para obtener la otra incógnita.
  5. Verificar en ambas ecuaciones.

Cuándo usarlo: Cuando algún coeficiente es 1 o la despejada es sencilla.

Método de Igualación▼

Pasos:

  1. Despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones.
  2. Igualar las dos expresiones obtenidas.
  3. Resolver la ecuación resultante.
  4. Sustituir para hallar la otra incógnita.

Si despejamos x: \( x = \frac{c_1 - b_1 y}{a_1} = \frac{c_2 - b_2 y}{a_2} \)

Método de Reducción (Gauss)▼

Pasos:

  1. Multiplicar cada ecuación por un factor que haga que los coeficientes de una incógnita sean opuestos.
  2. Sumar ambas ecuaciones para eliminar esa incógnita.
  3. Resolver la ecuación con una variable.
  4. Sustituir para hallar la otra.

Si multiplicamos E1 por \(a_2\) y E2 por \(-a_1\), al sumar se elimina x:

\( (a_2 b_1 - a_1 b_2)\,y = a_2 c_1 - a_1 c_2 \)

Regla de Cramer▼

Usa determinantes para resolver sistemas. Para 2×2:


\[ D = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} = a_1 b_2 - a_2 b_1 \]
\[ x = \frac{D_x}{D} \qquad y = \frac{D_y}{D} \]

Si \(D = 0\): sistema incompatible o indeterminado.

Interpretación geométrica▼

Cada ecuación lineal representa una recta en el plano cartesiano:


  • SCD: dos rectas que se intersectan en un punto → pendientes distintas.
  • SCI: dos rectas que son la misma (coincidentes) → misma pendiente, mismo intercepto.
  • SI: dos rectas paralelas → misma pendiente, distinto intercepto.

Forma pendiente-intercepto: \( y = mx + b \) donde \( m = -\frac{a}{b} \) y \( b = \frac{c}{b} \)

Ejemplos clásicos de los tres tipos de sistemas. Haz clic en cualquiera para cargarlo en la calculadora automáticamente.

COMPATIBLE DETERMINADO (una solución)
Ejemplo 1
2x + 3y = 8
5x − y = 1
Ejemplo 2
x + y = 5
2x − y = 1
Ejemplo 3
3x + 2y = 7
x − 4y = 0
Ejemplo 4
4x − 3y = 5
2x + y = 3
COMPATIBLE INDETERMINADO (infinitas soluciones)
Ejemplo 5
x + 2y = 4
2x + 4y = 8
Ejemplo 6
2x − y = 3
4x − 2y = 6
INCOMPATIBLE (sin solución)
Ejemplo 7
x + 2y = 3
x + 2y = 5
Ejemplo 8
2x + 4y = 6
x + 2y = 5

Sistemas de ecuaciones: ejercicios resueltos – Método de sustitución.

📝 Ejercicio 1

Resuelve el sistema:
$y = x + 2$
$3x + y = 10$
Paso 1: Identificar que $y$ ya está despejada

La variable $y$ está despejada en la primera ecuación: $y = x + 2$

Paso 2: Sustituir en la segunda ecuación
$3x + (x + 2) = 10$
Paso 3: Resolver para $x$
$3x + x + 2 = 10$
$4x = 8$
$x = 2$
Paso 4: Calcular $y$
$y = x + 2 = 2 + 2 = 4$
✅ Solución: $x = 2$, $y = 4$
🔍 Verificación:
Ecuación Sustitución Resultado ✓
$y = x + 2$ $4 = 2 + 2$ $4 = 4$ ✓
$3x + y = 10$ $3(2) + 4 = 10$ $6 + 4 = 10$ ✓

📝 Ejercicio 2

Resuelve el sistema:
$x = 5 – y$
$2x + 3y = 11$
Paso 1: Sustituir $x = 5 – y$
$2(5 – y) + 3y = 11$
Paso 2: Resolver para $y$
$10 – 2y + 3y = 11$
$10 + y = 11$
$y = 1$
Paso 3: Calcular $x$
$x = 5 – 1 = 4$
✅ Solución: $x = 4$, $y = 1$
🔍 Verificación:
Ecuación Sustitución Resultado ✓
$x = 5 – y$ $4 = 5 – 1$ $4 = 4$ ✓
$2x + 3y = 11$ $2(4) + 3(1) = 11$ $8 + 3 = 11$ ✓

📝 Ejercicio 3

Resuelve el sistema:
$y = 2x$
$x + y = 6$
Paso 1: Sustituir $y = 2x$
$x + 2x = 6$
Paso 2: Resolver para $x$
$3x = 6$
$x = 2$
Paso 3: Calcular $y$
$y = 2(2) = 4$
✅ Solución: $x = 2$, $y = 4$
🔍 Verificación:
Ecuación Sustitución Resultado ✓
$y = 2x$ $4 = 2(2)$ $4 = 4$ ✓
$x + y = 6$ $2 + 4 = 6$ $6 = 6$ ✓

📝 Ejercicio 4

Resuelve el sistema:
$2x + y = 9$
$x – y = 3$
Paso 1: Despejar $x$ de la segunda ecuación
$x = 3 + y$
Paso 2: Sustituir en la primera ecuación
$2(3 + y) + y = 9$
$6 + 2y + y = 9$
Paso 3: Resolver para $y$
$3y = 3$
$y = 1$
Paso 4: Calcular $x$
$x = 3 + 1 = 4$
✅ Solución: $x = 4$, $y = 1$
🔍 Verificación:
Ecuación Sustitución Resultado ✓
$2x + y = 9$ $2(4) + 1 = 9$ $8 + 1 = 9$ ✓
$x – y = 3$ $4 – 1 = 3$ $3 = 3$ ✓

📝 Ejercicio 5

Resuelve el sistema:
$y = 4 – 2x$
$3x + y = 7$
Paso 1: Sustituir $y = 4 – 2x$
$3x + (4 – 2x) = 7$
Paso 2: Resolver para $x$
$3x + 4 – 2x = 7$
$x + 4 = 7$
$x = 3$
Paso 3: Calcular $y$
$y = 4 – 2(3)$
$y = 4 – 6 = -2$
✅ Solución: $x = 3$, $y = -2$
🔍 Verificación:
Ecuación Sustitución Resultado ✓
$y = 4 – 2x$ $-2 = 4 – 2(3)$ $-2 = 4 – 6 = -2$ ✓
$3x + y = 7$ $3(3) + (-2) = 7$ $9 – 2 = 7$ ✓

📝 Ejercicio 6

Resuelve el sistema:
$3x – y = 8$
$x + 2y = 5$
Paso 1: Despejar $y$ de la primera ecuación
$-y = 8 – 3x$
$y = 3x – 8$
Paso 2: Sustituir en la segunda ecuación
$x + 2(3x – 8) = 5$
$x + 6x – 16 = 5$
Paso 3: Resolver para $x$
$7x = 21$
$x = 3$
Paso 4: Calcular $y$
$y = 3(3) – 8$
$y = 9 – 8 = 1$
✅ Solución: $x = 3$, $y = 1$
🔍 Verificación:
Ecuación Sustitución Resultado ✓
$3x – y = 8$ $3(3) – 1 = 8$ $9 – 1 = 8$ ✓
$x + 2y = 5$ $3 + 2(1) = 5$ $3 + 2 = 5$ ✓

📝 Ejercicio 7

Resuelve el sistema:
$5x – 2y = 13$
$x + y = 5$
Paso 1: Despejar $y$ de la segunda ecuación
$y = 5 – x$
Paso 2: Sustituir en la primera ecuación
$5x – 2(5 – x) = 13$
$5x – 10 + 2x = 13$
Paso 3: Resolver para $x$
$7x = 23$
$x = \frac{23}{7}$
Paso 4: Calcular $y$
$y = 5 – \frac{23}{7}$
$y = \frac{35 – 23}{7} = \frac{12}{7}$
✅ Solución: $x = \frac{23}{7}$, $y = \frac{12}{7}$
🔍 Verificación:
Ecuación Sustitución Resultado ✓
$5x – 2y = 13$ $5(\frac{23}{7}) – 2(\frac{12}{7}) = 13$ $\frac{115 – 24}{7} = \frac{91}{7} = 13$ ✓
$x + y = 5$ $\frac{23}{7} + \frac{12}{7} = 5$ $\frac{35}{7} = 5$ ✓

📝 Ejercicio 8: Problema de Números

Problema:
La suma de dos números es 25. El primer número es el doble del segundo más 1. ¿Cuáles son los números?
Paso 1: Análisis del problema y definición de variables

Datos del problema:

  • Tenemos DOS números desconocidos
  • La SUMA de estos dos números da 25
  • El PRIMER número tiene una relación especial con el SEGUNDO

Definimos las variables:

Sea $x$ = el primer número (el que tiene la relación especial)
Sea $y$ = el segundo número (la referencia)

Paso 2: Traducir las condiciones a ecuaciones

Primera condición: «La suma de dos números es 25»

Esto significa: primer número + segundo número = 25

$x + y = 25$ ← Ecuación 1

Segunda condición: «El primer número es el doble del segundo más 1»

Desglosamos: «el doble del segundo» = $2y$, «más 1» = $+ 1$

Por lo tanto: el primer número = $2y + 1$

$x = 2y + 1$ ← Ecuación 2

Sistema completo:

$x + y = 25$
$x = 2y + 1$
Paso 3: Sustituir (ya tenemos $x$ despejada)

Como la ecuación 2 ya tiene $x = 2y + 1$ despejada, sustituimos esto en la ecuación 1:

$(2y + 1) + y = 25$
$3y + 1 = 25$
Paso 4: Resolver para $y$
$3y = 24$
$y = 8$

Ahora calculamos $x$:

$x = 2(8) + 1 = 16 + 1 = 17$
✅ Primer número: 17
✅ Segundo número: 8
🔍 Verificación completa:
Condición del problema Verificación matemática ✓
La suma es 25 $17 + 8 = 25$ ✓
Primero es doble del segundo más 1 $17 = 2(8) + 1 = 16 + 1 = 17$ ✓

📝 Ejercicio 9: Problema de Dinero

Problema:
María tiene $50$ en billetes de $5$ y $10$. Si tiene $7$ billetes en total, ¿cuántos billetes tiene de cada denominación?
Paso 1: Análisis del problema y definición de variables

Datos del problema:

  • María tiene billetes de DOS denominaciones: $5$ y $10$
  • El VALOR TOTAL del dinero es $50$
  • La CANTIDAD TOTAL de billetes es $7$

Definimos las variables:

Sea $x$ = cantidad de billetes de $5$
Sea $y$ = cantidad de billetes de $10$

Nota: Las variables representan CANTIDADES de billetes, no valores monetarios.

Paso 2: Traducir las condiciones a ecuaciones

Primera condición: «Tiene $7$ billetes en total»

Billetes de $5$ + billetes de $10$ = 7

$x + y = 7$ ← Ecuación 1

Segunda condición: «Tiene $50$ en total»

Valor de billetes de $5$ + Valor de billetes de $10$ = 50

Desglose:

  • Valor de billetes de $5$ = (cantidad) × (valor) = $x × 5 = 5x$
  • Valor de billetes de $10$ = (cantidad) × (valor) = $y × 10 = 10y$
$5x + 10y = 50$ ← Ecuación 2

Sistema completo:

$x + y = 7$
$5x + 10y = 50$
Paso 3: Despejar de la ecuación más simple

De la ecuación 1, despejamos $x$:

$x = 7 – y$
Paso 4: Sustituir en la segunda ecuación

Sustituimos $x = 7 – y$ en $5x + 10y = 50$:

$5(7 – y) + 10y = 50$
$35 – 5y + 10y = 50$
$35 + 5y = 50$
$5y = 15$
$y = 3$

Calculamos $x$:

$x = 7 – 3 = 4$
✅ Billetes de $5$: 4 billetes
✅ Billetes de $10$: 3 billetes
🔍 Verificación completa:
Condición del problema Verificación matemática ✓
Total de billetes es 7 $4 + 3 = 7$ billetes ✓
Valor total es $50$ $4(5)$ + $3(10)$ = $20$ + $30$ = $50$ ✓

📝 Ejercicio 10: Problema de Geometría

Problema:
Un rectángulo tiene un perímetro de 32 cm. El largo es 4 cm más que el ancho. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo?
Paso 1: Análisis del problema y definición de variables

Datos del problema:

  • Se trata de un RECTÁNGULO (4 lados: 2 largos y 2 anchos)
  • El PERÍMETRO total es 32 cm
  • Existe una RELACIÓN entre largo y ancho

Definimos las variables:

Sea $x$ = largo del rectángulo (cm)
Sea $y$ = ancho del rectángulo (cm)

Recordatorio: Perímetro de un rectángulo = 2(largo) + 2(ancho)

Paso 2: Traducir las condiciones a ecuaciones

Primera condición: «El perímetro es 32 cm»

Perímetro = 2(largo) + 2(ancho) = 32

$2x + 2y = 32$

Simplificamos dividiendo entre 2:

$x + y = 16$ ← Ecuación 1

Segunda condición: «El largo es 4 cm más que el ancho»

Esto significa: largo = ancho + 4

$x = y + 4$ ← Ecuación 2

Sistema completo:

$x + y = 16$
$x = y + 4$
Paso 3: Sustituir (ya tenemos $x$ despejada)

Como la ecuación 2 ya tiene $x = y + 4$ despejada, sustituimos en la ecuación 1:

$(y + 4) + y = 16$
$2y + 4 = 16$
Paso 4: Resolver para $y$
$2y = 12$
$y = 6$ cm

Calculamos $x$:

$x = y + 4 = 6 + 4 = 10$ cm
✅ Largo del rectángulo: 10 cm
✅ Ancho del rectángulo: 6 cm
🔍 Verificación completa:
Condición del problema Verificación matemática ✓
Perímetro es 32 cm $2(10) + 2(6) = 20 + 12 = 32$ cm ✓
Largo es 4 cm más que ancho $10 = 6 + 4$ cm ✓

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Errores comunes al aplicar el método de sustitución

  • No despejar correctamente la variable.
  • Olvidar sustituir toda la expresión.
  • Cometer errores de signos al operar.
  • No verificar la solución en ambas ecuaciones.
  • Elegir una variable difícil de despejar innecesariamente.

Ejercicios propuestos

Resuelve los siguientes sistemas utilizando el método de sustitución:

  • 2x + y = 7
    x – y = 1

  • 3x + 2y = 12
    x – y = 2

  • x + 4y = 9
    2x – y = 3

  • 5x – y = 8
    x + 2y = 4

  • 2x + 3y = 13
    x – y = 1

  • 4x + y = 10
    2x – 3y = -2

  • x + 2y = 6
    2x + 4y = 12

  • 3x – y = 5
    6x – 2y = 8

  • x – 3y = -5
    2x + y = 4

  • 7x + 2y = 20
    x – y = 1

Recordatorio

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Conclusión

El método de sustitución es una técnica clara y eficaz para resolver sistemas de ecuaciones 2×2 cuando una variable puede despejarse fácilmente. Con práctica, se convierte en un procedimiento rápido y confiable.

Si deseas dominar completamente los sistemas 2×2, también puedes estudiar el método de igualación y el método de reducción. Además, puedes revisar la guía completa de sistemas de ecuaciones 2×2 para comparar los tres métodos.

Enlaces y recursos

  • Symbolab: Para verificar tus soluciones.
  • Wolframalpha: Para graficar las ecuaciones y verificar tus soluciones.

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