La media y la mediana dividen los datos en partes iguales, pero no cuentan toda la historia. Las medidas de posición permiten saber dónde se ubica un dato concreto dentro del conjunto y comparar valores entre distribuciones distintas.
La media, la mediana y la moda describen el centro de un conjunto de datos. Las medidas de dispersión como la desviación típica describen cuánto se alejan los datos de ese centro. Pero ninguna de las dos responde a preguntas como:
Preguntas que no responde la media
Un alumno saca 72 puntos en un examen nacional. ¿Eso es bueno o malo? ¿Está por encima de la mitad de los participantes? ¿En qué posición relativa se encuentra?
Lo que responden las medidas de posición
El percentil 85 en ese examen fue 72 puntos. Eso significa que el 85% de los participantes obtuvo una puntuación inferior. El alumno está en el 15% superior.
Las medidas de posición dividen el conjunto de datos ordenados en partes iguales e indican la ubicación relativa de un valor dentro del grupo. Las tres más importantes son:
Cuartiles
\(Q_1,\,Q_2,\,Q_3\)
Dividen los datos en 4 partes iguales. Cada parte contiene el 25% de los datos.
Deciles
\(D_1,\ldots,D_9\)
Dividen los datos en 10 partes iguales. Cada parte contiene el 10% de los datos.
Percentiles
\(P_1,\ldots,P_{99}\)
Dividen los datos en 100 partes iguales. Cada parte contiene el 1% de los datos.
Condición previa indispensable. Para calcular cualquier medida de posición, los datos deben estar ordenados de menor a mayor. Sin este paso, todos los resultados serán incorrectos.
Los cuartiles
¿Qué son los cuartiles?
Los cuartiles son los tres valores que dividen el conjunto de datos ordenados en cuatro partes iguales, cada una con el 25% de los datos.
Primer cuartil
\(Q_1\)
El 25% de los datos es menor que \(Q_1\) y el 75% es mayor.
Segundo cuartil
\(Q_2 = Me\)
Es la mediana. El 50% de los datos queda a cada lado.
Tercer cuartil
\(Q_3\)
El 75% de los datos es menor que \(Q_3\) y el 25% es mayor.
Representación visual de los cuartiles sobre los datos ordenados
Mín
0%
\(Q_1\)
25%
\(Q_2\)
50%
\(Q_3\)
75%
Máx
100%
25% datos
25% datos
25% datos
25% datos
Fórmula para calcular los cuartiles
Posición del cuartil k (k = 1, 2, 3)
\[ L_k = \frac{k \cdot n}{4} \]
Si \(L_k\) es entero: \(Q_k = \frac{x_{L_k} + x_{L_k+1}}{2}\) (media de los dos datos en esas posiciones)
Si \(L_k\) no es entero: \(Q_k = x_{\lceil L_k \rceil}\) (el dato en la posición siguiente, redondeando hacia arriba)
Nota sobre métodos de cálculo
Existen distintos métodos para calcular cuartiles (el empleado por Excel, el del libro de texto español, el estadístico clásico). Pueden dar resultados ligeramente distintos. En este artículo se usa el método estándar de bachillerato: posición \(L_k = k \cdot n/4\).
Ejemplo resuelto — Cuartiles con n impar
E1
Notas de examen — Tres cuartiles
Las notas de 11 alumnos son: 3, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 10. Calcula los tres cuartiles.
1
Confirmar que los datos están ordenados y contar n
Datos ordenados: 3, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 10
n = 11 datos
\(Q_1 = 6\): el 25% de los alumnos sacó menos de 6; el 75% sacó 6 o más. \(Q_2 = 7\): la mitad de los alumnos sacó menos de 7 y la otra mitad sacó 7 o más. \(Q_3 = 9\): el 75% de los alumnos sacó menos de 9; solo el 25% superior llegó a 9 o más.
Resultados
\( Q_1 = 6 \qquad Q_2 = 7 \qquad Q_3 = 9 \)
Ejemplo resuelto — Cuartiles con posición entera
E2
Salarios — Cuartiles cuando la posición es entera
Los salarios mensuales (en cientos de €) de 8 empleados son: 12, 14, 15, 16, 18, 20, 22, 25. Calcula \(Q_1\), \(Q_2\) y \(Q_3\).
El 25% de los empleados cobra menos de 1.450 €. La mitad cobra menos de 1.700 €. El 25% mejor pagado cobra más de 2.100 €. Estos tres valores definen el perfil salarial del equipo con mucho más detalle que la media sola.
Los deciles son los nueve valores que dividen el conjunto de datos ordenados en diez partes iguales, cada una con el 10% de los datos. Se denominan \(D_1, D_2, \ldots, D_9\).
Relación con cuartiles y percentiles. \(D_1 = P_{10}\) (percentil 10), \(D_5 = Q_2 = Me\) (la mediana), \(D_9 = P_{90}\). Todas las medidas de posición son casos particulares de los percentiles.
Fórmula de los deciles
Posición del decil k (k = 1, 2, …, 9)
\[ L_k = \frac{k \cdot n}{10} \]
Misma lógica que los cuartiles: si \(L_k\) es entero se promedia con el siguiente; si es decimal se redondea hacia arriba.
Ejemplo resuelto
E3
Puntuaciones de test — Decil 3 y decil 7
Las puntuaciones de 20 estudiantes en un test están ordenadas: 42, 45, 48, 50, 52, 55, 57, 58, 60, 62, 63, 65, 67, 69, 71, 74, 76, 80, 85, 90. Calcula \(D_3\) y \(D_7\).
1
Datos ya ordenados, n = 20
Hay 20 datos. Los deciles cortan en posiciones múltiplos de 2.
\(D_3 = 56\): el 30% de los estudiantes obtuvo menos de 56 puntos y el 70% obtuvo más. \(D_7 = 70\): el 70% de los estudiantes obtuvo menos de 70 puntos y el 30% obtuvo más.
El intervalo entre \(D_3\) y \(D_7\) (de 56 a 70 puntos) concentra al 40% central de los estudiantes.
Los percentiles son los 99 valores que dividen el conjunto de datos ordenados en cien partes iguales. El percentil \(P_k\) indica el valor por debajo del cual se encuentra el \(k\%\) de los datos.
Son la medida de posición más precisa y la más utilizada en contextos reales: notas de exámenes de acceso, tablas de crecimiento infantil, rendimiento deportivo y pruebas estandarizadas.
Lectura correcta de un percentil. Si un estudiante está en el percentil 80 (\(P_{80}\)), eso significa que el 80% de los estudiantes obtuvo una puntuación inferior a la suya. No significa que haya sacado un 80% de la nota máxima.
Fórmula de los percentiles
Posición del percentil k (k = 1, 2, …, 99)
\[ L_k = \frac{k \cdot n}{100} \]
Si \(L_k\) es entero: \(P_k = \frac{x_{L_k} + x_{L_k+1}}{2}\)
Si \(L_k\) no es entero: \(P_k = x_{\lceil L_k \rceil}\) (siguiente entero hacia arriba)
Relación entre cuartiles, deciles y percentiles
Medida de posición
Equivalencia en percentiles
Porcentaje que deja por debajo
\(Q_1\)
\(P_{25}\)
25%
\(Q_2\) (mediana)
\(P_{50} = D_5\)
50%
\(Q_3\)
\(P_{75}\)
75%
\(D_1\)
\(P_{10}\)
10%
\(D_9\)
\(P_{90}\)
90%
\(P_k\)
— (caso general)
k%
Ejemplo resuelto
E4
Examen de acceso — Percentil 60 y percentil 90
En un examen de 50 candidatos (datos ordenados de menor a mayor), el dato en la posición 30 es 68 puntos y el de la posición 45 es 82 puntos. Calcula \(P_{60}\) y \(P_{90}\) e interprétalos.
Como es entero, se necesitan el dato en la posición 30 y el de la 31. El enunciado indica que \(x_{30} = 68\). Se necesitaría el dato 31, pero si tomamos solo el dato 30 como aproximación:
\[ P_{60} = x_{30} = 68 \text{ puntos (aproximación con dato en posición 30)} \]
\(P_{60} = 68\): el 60% de los candidatos obtuvo menos de 68 puntos. Un candidato con 68 puntos supera al 60% de los participantes.
\(P_{90} = 82\): el 90% de los candidatos obtuvo menos de 82 puntos. Solo el 10% superó esa marca. Estar por encima de 82 puntos indica un rendimiento muy alto.
El rango intercuartílico (también llamado recorrido intercuartílico o IQR por sus siglas en inglés) es la diferencia entre el tercer y el primer cuartil. Mide la amplitud del 50% central de los datos, descartando el 25% inferior y el 25% superior.
Rango intercuartílico
\[ RI = Q_3 – Q_1 \]
Cuanto mayor es el RI, más disperso está el 50% central de los datos. Cuanto menor, más concentrado.
El rango intercuartílico tiene una ventaja fundamental sobre el rango ordinario: es robusto ante los valores atípicos. Como no usa el máximo ni el mínimo, un dato extremo no lo afecta.
Detección de valores atípicos con el RI
Una de las aplicaciones más útiles del rango intercuartílico es identificar valores atípicos (outliers). Un dato se considera atípico si cae fuera de los siguientes límites:
Límites para detectar valores atípicos
\[
\text{Límite inferior} = Q_1 – 1{,}5 \times RI \qquad \text{Límite superior} = Q_3 + 1{,}5 \times RI
\]
Cualquier dato fuera de este intervalo \([Q_1 – 1{,}5\cdot RI,\; Q_3 + 1{,}5\cdot RI]\) se considera un valor atípico.
Ejemplo resuelto
E5
Salarios — RI y detección de valor atípico
Con los cuartiles del ejemplo anterior: \(Q_1 = 14{,}5\), \(Q_3 = 21\) (cientos de €). Calcula el RI y determina si el salario de 35 cientos de € es un valor atípico.
1
Calcular el rango intercuartílico
\[ RI = Q_3 – Q_1 = 21 – 14{,}5 = 6{,}5 \text{ (cientos de €)} \]
\[ 35 > 30{,}75 \quad \Rightarrow \quad \text{El salario de 3.500 € es un valor atípico} \]
Interpretación
El intervalo normal de salarios va de 475 € a 3.075 €. Un salario de 3.500 € supera el límite superior y se considera atípicamente alto respecto al resto del equipo. Probablemente corresponde a un directivo o a alguien con un perfil muy diferente al grupo.
Resultados
\( RI = 6{,}5 \quad \text{Límites: } [4{,}75;\; 30{,}75] \quad \text{35 es atípico} \)
El diagrama de caja
¿Qué es el diagrama de caja?
El diagrama de caja (también llamado diagrama de caja y bigotes o boxplot) es la representación gráfica de los cuartiles y el rango intercuartílico. Permite visualizar de un solo vistazo la distribución de los datos, su simetría y la presencia de valores atípicos.
Estructura de un diagrama de caja
Los cinco elementos del diagrama de caja
Elemento
Valor
Qué representa
Bigote izquierdo
Desde el mínimo hasta \(Q_1\)
El 25% inferior de los datos
Lado izquierdo de la caja
\(Q_1\)
25% de los datos queda por debajo
Línea interior
\(Q_2\) (mediana)
50% de los datos queda a cada lado
Lado derecho de la caja
\(Q_3\)
75% de los datos queda por debajo
Bigote derecho
Desde \(Q_3\) hasta el máximo no atípico
El 25% superior (sin atípicos)
Puntos aislados
Fuera de \(Q_1-1{,}5\cdot RI\) o \(Q_3+1{,}5\cdot RI\)
Valores atípicos
Ejemplo resuelto — Construir un diagrama de caja
E6
Notas — Datos completos del diagrama de caja
Para el conjunto de notas del ejemplo E1 (3, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 10) con \(Q_1=6\), \(Q_2=7\), \(Q_3=9\), determina todos los elementos del diagrama de caja y detecta posibles valores atípicos.
El mínimo es 3 y está dentro del límite inferior (3 > 1,5). El máximo es 10 y está dentro del límite superior (10 < 13,5). No hay valores atípicos.
Bigote izquierdo: de 3 a 6 · Caja: de 6 a 9 · Bigote derecho: de 9 a 10
4
Resumen de los cinco valores del diagrama
Elemento
Valor
Mínimo (no atípico)
3
\(Q_1\)
6
\(Q_2\) — Mediana
7
\(Q_3\)
9
Máximo (no atípico)
10
Interpretación
La distribución de notas es ligeramente asimétrica hacia la izquierda: la caja (del 6 al 9) está desplazada hacia la parte alta. El bigote derecho es corto (del 9 al 10), lo que indica que el 25% superior de alumnos está muy concentrado en notas altas. No hay valores atípicos, lo que indica un grupo bastante homogéneo en su distribución.
Los cinco valores del diagrama de caja
\( \{3,\; 6,\; 7,\; 9,\; 10\} \)
Resumen de todas las fórmulas
Posición cuartil k
\( L_k = \frac{k\cdot n}{4} \)
Posición decil k
\( L_k = \frac{k\cdot n}{10} \)
Posición percentil k
\( L_k = \frac{k\cdot n}{100} \)
Si \(L_k\) es entero
\( M_k = \frac{x_{L_k}+x_{L_k+1}}{2} \)
Si \(L_k\) no es entero
\( M_k = x_{\lceil L_k \rceil} \)
Rango intercuartílico
\( RI = Q_3 – Q_1 \)
Límite inferior atípicos
\( Q_1 – 1{,}5\cdot RI \)
Límite superior atípicos
\( Q_3 + 1{,}5\cdot RI \)
!
Errores comunes
Estos son los tres errores que los estudiantes cometen con más frecuencia al calcular las medidas de posición.
ERROR 1
No ordenar los datos antes de calcular
Incorrecto
Datos: 7,3,9,5,1 \(L_1=1{,}25\), \(Q_1=x_2=3\)
Calculan la posición y toman el dato directamente de la lista desordenada, obteniendo un resultado incorrecto.
Correcto
Ordenar: 1,3,5,7,9 \(L_1=1{,}25\), \(Q_1=x_2=3\)
Primero se ordena, luego se calcula la posición y se lee el dato en esa posición del conjunto ordenado.
En este caso el resultado coincide, pero en general no coincidirá. Ordenar siempre es obligatorio.
ERROR 2
Confundir el percentil con el porcentaje de aciertos
Incorrecto
«Estoy en el percentil 80, saqué un 80%»
Confunden la posición relativa dentro del grupo con la calificación obtenida. Son conceptos completamente distintos.
Correcto
«Percentil 80 = supero al 80% del grupo»
El percentil indica posición relativa: el 80% del grupo obtuvo una puntuación inferior a la mía. No dice nada sobre la nota en sí.
Un estudiante puede estar en el percentil 80 con solo 45 puntos sobre 100, si el examen fue muy difícil y la mayoría sacó menos.
ERROR 3
No aplicar la media cuando la posición es un entero
Incorrecto
\(L_1=2\) (entero) \(Q_1 = x_2 = 14\)
Cuando la posición es un número entero, solo toman el dato en esa posición, olvidando promediar con el siguiente.
Cuando la posición es entera, el cuartil se sitúa entre ese dato y el siguiente, y se calcula su media.
Regla: posición decimal → redondear arriba y tomar ese dato. Posición entera → media de ese dato y el siguiente.
?
Preguntas frecuentes
Q
¿El segundo cuartil es siempre igual a la mediana?
▼
Sí, siempre. \(Q_2\) divide los datos en dos mitades iguales, y eso es exactamente lo que hace la mediana. Son el mismo valor con distinto nombre.
De la misma forma, \(Q_2 = D_5 = P_{50}\). Los tres nombres hacen referencia al mismo concepto: el valor que deja el 50% de los datos por debajo.
En un diagrama de caja, la línea central de la caja representa al mismo tiempo la mediana, el segundo cuartil, el quinto decil y el percentil 50.
Q
¿Cuántos datos debo tener mínimo para calcular percentiles con sentido?
▼
En teoría, la fórmula funciona con cualquier número de datos. Sin embargo, en la práctica se necesitan al menos 100 datos para que los percentiles tengan sentido estadístico real, ya que cada percentil debería representar al menos el 1% del total.
Con conjuntos pequeños (20 o 30 datos), los cuartiles y los deciles son útiles, pero calcular percentiles como \(P_{95}\) tiene poca representatividad: solo habría 1 o 2 datos por encima de ese límite.
En el ámbito académico de secundaria y bachillerato, los ejercicios suelen pedir cuartiles y algún decil o percentil concreto, aunque el conjunto tenga pocos datos. Es un ejercicio de procedimiento, no de interpretación estadística profunda.
Q
¿Por qué el diagrama de caja usa 1,5 veces el RI para detectar atípicos y no otro valor?
▼
El factor 1,5 fue propuesto por el estadístico John Tukey en 1977 como una regla práctica. No tiene una justificación matemática exacta, sino empírica: con ese factor, en una distribución normal perfecta, solo el 0,7% de los datos quedaría fuera de los límites (considerados atípicos por este criterio).
A veces se usa el factor 3 en lugar de 1,5 para identificar valores extremos (los más alejados), mientras que con 1,5 se detectan los valores moderadamente atípicos.
El factor 1,5 es una convención ampliamente aceptada, no una ley matemática. En algunos contextos específicos se usan otros factores según la naturaleza de los datos.
Q
¿Qué información aporta la forma de la caja en un diagrama de caja y bigotes?
▼
La forma de la caja y los bigotes revela la simetría o asimetría de la distribución:
Distribución simétrica: la línea de la mediana está centrada dentro de la caja, y los dos bigotes tienen longitudes similares.
Asimetría positiva (hacia la derecha): la mediana está más cerca del lado izquierdo de la caja y el bigote derecho es más largo. Indica que hay pocos datos muy altos que «tiran» la distribución.
Asimetría negativa (hacia la izquierda): la mediana está más cerca del lado derecho y el bigote izquierdo es más largo. Indica pocos datos muy bajos.
El diagrama de caja es especialmente útil para comparar dos o más grupos: basta dibujarlos uno al lado del otro para ver diferencias en mediana, dispersión y simetría de un solo vistazo.
Q
¿Las medidas de posición cambian si añado o multiplico una constante a todos los datos?
▼
Sí, y de la misma forma que la mediana y la media:
Si sumas una constante k a todos los datos: todos los cuartiles, deciles y percentiles aumentan en k. \[ Q_1′ = Q_1 + k \qquad Q_3′ = Q_3 + k \qquad RI’ = RI \]
El rango intercuartílico no cambia, porque es una diferencia y la constante se cancela.
Si multiplicas todos los datos por una constante k > 0: todos los cuartiles se multiplican por k, y el RI también se multiplica por k. \[ Q_1′ = k\cdot Q_1 \qquad RI’ = k\cdot RI \]
Estas propiedades son útiles para cambiar de unidades (por ejemplo, de euros a céntimos, o de metros a centímetros) sin recalcular todo desde cero.
