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El tamaño de una matriz (antes de sumar o restar)
Para sumar o restar dos matrices, ambas deben tener exactamente el mismo tamaño — el mismo número de filas Y el mismo número de columnas. No importa qué números contengan, solo importa su tamaño (m×n).
✓ Ambas son 2×3 — SÍ se pueden sumar
✗ 2×3 y 3×2 son distintas — NO se pueden sumar (ver Casos especiales)
Este requisito viene de cómo funciona la operación: se combina cada elemento de A con el elemento que está en exactamente la misma posición en B. Si las matrices tienen tamaños distintos, algunos elementos de una no tienen «pareja» en la otra, y la operación no está definida.
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Suma de matrices
Para sumar dos matrices del mismo tamaño, sumas cada elemento con el elemento que ocupa la misma posición en la otra matriz. El resultado es una nueva matriz del mismo tamaño. En los ejemplos de aquí en adelante, cada posición tiene su propio color: el elemento de A y el elemento de B que están en el mismo color son los que se combinan, y el resultado aparece en ese mismo color.
Matriz de operaciones
3 + 1−1 + 25 + (−3)
0 + 64 + (−2)2 + 1
💡
Recuerda: sumar con la matriz nula (todo ceros) no cambia nada — A + 0 = A. Por eso la matriz nula es el «elemento neutro» de la suma, tal como el número 0 en la suma de números normales.
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Resta de matrices
La resta funciona igual que la suma, pero restando cada elemento en vez de sumarlo: A − B significa restar, posición por posición, el elemento de B al elemento de A. También puedes pensarlo como A + (−B), donde −B es la matriz B con todos sus signos cambiados.
Matriz de operaciones
3 − 1−1 − 25 − (−3)
0 − 64 − (−2)2 − 1
⚠️
Importante: la resta de matrices no es conmutativa. A − B y B − A dan resultados distintos (de hecho, uno es exactamente el opuesto del otro): B − A = −(A − B).
×k
Multiplicación de una matriz por un escalar
Un escalar es simplemente un número (por ejemplo 3, −2, ½). Multiplicar una matriz por un escalar significa multiplicar cada uno de sus elementos por ese número. A diferencia de la suma y la resta, aquí no hay ninguna restricción de tamaño — funciona con matrices de cualquier tamaño.
Matriz de operaciones (3 × C)
3 × 23 × (−1)
3 × 03 × 5
3 × 43 × (−3)
Cuando el escalar es −1, obtienes la matriz opuesta de A, escrita −A: simplemente se le cambia el signo a todos los elementos.
Matriz de operaciones (−1 × D)
−1 × 4−1 × (−2)−1 × 7
−1 × 1−1 × 0−1 × (−5)
💡
Conexión con la resta: A − B es lo mismo que A + (−1)B. Por eso, si sabes sumar matrices y multiplicar por un escalar, ya sabes restar matrices — son la misma idea combinada.
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Propiedades de estas operaciones
Estas propiedades se cumplen para cualquier matriz del tamaño correspondiente (A, B, C) y cualquier escalar (k, m):
| Propiedad | Enunciado | Se lee |
|---|
| Conmutativa (suma) | El orden de la suma no altera el resultado | A + B = B + A |
| Asociativa (suma) | No importa cómo agrupes tres sumandos | (A+B)+C = A+(B+C) |
| Elemento neutro | Sumar la matriz nula no cambia nada | A + 0 = A |
| Elemento opuesto | Toda matriz sumada con su opuesta da la nula | A + (−A) = 0 |
| Distributiva I | El escalar se reparte entre una suma de matrices | k(A+B) = kA + kB |
| Distributiva II | Una suma de escalares se reparte sobre la matriz | (k+m)A = kA + mA |
| Asociativa (escalar) | Dos escalares se pueden multiplicar antes | k(mA) = (km)A |
| Neutro escalar | Multiplicar por 1 no cambia la matriz | 1 · A = A |
Ambos lados dan exactamente [[6,8],[10,12]]. Esto no es casualidad: como cada posición se suma de forma independiente, y la suma de números normales ya es conmutativa (5+1 es igual que 1+5), la suma de matrices hereda esa misma propiedad.
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15 ejercicios resueltos
✓ Ambas son 2×2 — se pueden sumar
Matriz de operaciones
✓ Ambas son 3×2 — se pueden sumar
Matriz de operaciones
1 + 34 + 1
2 + (−2)−3 + 6
0 + 45 + (−1)
✓ Ambas son 2×3 — se pueden restar
Matriz de operaciones
8 − 23 − 7−2 − 4
1 − (−3)−5 − 06 − 1
E4
Escalar positivo
Calcula 5D, siendo D una matriz diagonal
Matriz de operaciones (5 × D)
5 × 45 × 05 × 0
5 × 05 × (−2)5 × 0
5 × 05 × 05 × 7
Nota que 5D sigue siendo diagonal — multiplicar una matriz diagonal por un escalar siempre da otra matriz diagonal.
E5
Matriz opuesta
Halla −A (la matriz opuesta de A)
Matriz de operaciones (−1 × A)
−1 × 6−1 × (−3)−1 × 2
−1 × (−1)−1 × 5−1 × (−4)
Matriz de operaciones (2A − 3B)
2(2) − 3(1)2(1) − 3(−2)
2(0) − 3(4)2(−3) − 3(1)
Cuando hay escalares antes de sumar o restar, cada elemento se multiplica primero por su escalar, y solo después se combinan las dos matrices posición por posición.
E7
Caso especial
¿Se puede calcular A + B?
✗ A es 2×3 y B es 3×3 — tamaños distintos
A tiene 2 filas y B tiene 3 filas: la tercera fila de B no tiene con qué combinarse en A. Por eso la suma no está definida para estas dos matrices — ni siquiera se intenta calcular.
Respuesta
No se puede sumar: los tamaños no coinciden
✓ Ambas son 3×3 — se pueden restar
Matriz de operaciones
5 − 22 − (−3)−1 − 4
3 − 10 − 54 − (−2)
−2 − 36 − 01 − (−1)
E9
Escalar en fracción
Calcula ½C
Matriz de operaciones (½ × C)
½ × 8½ × (−4)
½ × 6½ × 10
½ × 2½ × (−6)
El escalar no tiene que ser un número entero — funciona exactamente igual con fracciones o decimales, multiplicando cada elemento uno por uno.
E10
Verificar propiedad
Comprueba que B − A = −(A − B)
Matriz de operaciones (A − B)
Matriz de operaciones (B − A)
B − A dio exactamente el opuesto de A − B (cada elemento cambió de signo) — la propiedad B − A = −(A − B) se cumple.
Respuesta
Se verifica: B − A = −(A − B) = [[4,−4],[−5,8]]
✓ Ambas son 3×3 — se pueden sumar
Matriz de operaciones
2 + 1−1 + 34 + (−2)
3 + 05 + (−4)0 + 5
−2 + 31 + 26 + (−1)
✓ Ambas son 2×2 — se pueden restar
Matriz de operaciones
E13
Escalar negativo
Calcula −2E
Matriz de operaciones (−2 × E)
−2 × 3−2 × (−5)−2 × 2
−2 × 0−2 × 4−2 × (−1)
A diferencia de −1, un escalar negativo distinto de −1 (como −2) no solo cambia el signo: también cambia la magnitud de cada elemento.
Matriz de operaciones (3A + B)
3(1) + 53(2) + (−1)
3(−3) + 23(4) + 0
E15
Verificar propiedad
Comprueba que 2(A+B) = 2A + 2B
Lado izquierdo: matriz de operaciones (A + B)
Multiplicamos por el escalar 2
Lado derecho: calculamos 2A y 2B por separado
Matriz de operaciones (2A + 2B)
2 + 86 + 0
4 + (−4)−2 + 10
Ambos lados dan exactamente [[10,6],[0,8]] — la propiedad distributiva k(A+B) = kA + kB queda verificada numéricamente.
Respuesta
Se verifica: 2(A+B) = 2A + 2B = [[10,6],[0,8]]
!
Errores comunes
ERROR 1
Sumar o restar matrices de tamaños distintos
Incorrecto
Sumar una 2×3 con una 3×2 «acomodando» los números
Si los tamaños no coinciden exactamente, la operación no existe — no hay forma de «acomodar» nada.
Correcto
Verificar tamaños ANTES de sumar
Si no coinciden, la respuesta es «no se puede», no un intento forzado.
Escribe el tamaño de cada matriz antes de empezar cualquier suma o resta.
ERROR 2
Multiplicar solo algunos elementos por el escalar
Incorrecto
De [[4,0,0],[0,-2,0]], multiplicar por 5 y obtener [[20,0,0],[0,-2,0]]
Dejaron el −2 sin multiplicar — el 0 también «se multiplica» (sigue siendo 0), pero cada número distinto de cero debe cambiar.
Correcto
[[20,0,0],[0,−10,0]]
El escalar multiplica a CADA elemento, sin excepción, incluidos los que están en cero.
Recorre la matriz posición por posición para no saltarte ningún elemento.
ERROR 3
No distribuir el signo negativo al restar
Incorrecto
5 − (−3) = 2
Trataron el −(−3) como si fuera −3, olvidando que restar un negativo es sumar.
Correcto
5 − (−3) = 5 + 3 = 8
Restar un número negativo equivale a sumar su valor positivo.
Cuando el elemento de B ya es negativo, escribe la resta con paréntesis explícitos antes de simplificar.
ERROR 4
Pensar que la resta de matrices es conmutativa
Incorrecto
«A − B es lo mismo que B − A»
Igual que con números (5−2 ≠ 2−5), el orden en la resta de matrices sí importa.
Correcto
B − A = −(A − B)
Son matrices opuestas entre sí, no iguales.
Respeta siempre el orden en el que está escrita la resta — nunca la inviertas «para que sea más fácil».
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Preguntas frecuentes
Q
¿Puedo sumar una matriz 2×3 con una 3×2?
▼
No. Para sumar o restar, ambas matrices deben tener EXACTAMENTE el mismo número de filas y el mismo número de columnas. 2×3 y 3×2 no cumplen esa condición, aunque tengan la misma cantidad total de elementos (6 en ambos casos).
Si quieres relacionar una matriz 2×3 con una 3×2, primero tendrías que transponer una de las dos para igualar los tamaños.
Q
¿La resta de matrices es conmutativa?
▼
No. A − B y B − A dan resultados distintos en general — de hecho, son matrices opuestas entre sí: B − A = −(A − B). Solo la SUMA de matrices es conmutativa, no la resta.
Esto es exactamente igual que con números normales: 7−3=4, pero 3−7=−4.
Q
¿Hay alguna restricción de tamaño para multiplicar una matriz por un escalar?
▼
No, ninguna. Puedes multiplicar cualquier matriz —fila, columna, cuadrada, rectangular, del tamaño que sea— por cualquier número. A diferencia de la suma y la resta, esta operación no depende de que haya otra matriz con la que «emparejar» tamaños.
Esa es justamente la diferencia clave entre la multiplicación por escalar y las otras dos operaciones de este artículo.
Q
¿Qué es la «matriz opuesta» y para qué sirve?
▼
La matriz opuesta de A (escrita −A) es el resultado de multiplicar A por el escalar −1: cambia el signo de todos sus elementos. Sirve, entre otras cosas, para definir la resta de matrices (A − B = A + (−B)) y para verificar la propiedad del elemento opuesto: A + (−A) siempre da la matriz nula.
Es el equivalente matricial de pasar de un número positivo a su versión negativa, como de 5 a −5.
Q
¿Estas operaciones sirven para resolver sistemas de ecuaciones?
▼
Indirectamente sí. La suma, resta y multiplicación por escalar son la base para operar con las filas de una matriz aumentada al resolver sistemas por Gauss-Jordan (multiplicar una fila por un número, o sumarla a otra). También son necesarias para verificar soluciones y para trabajar con matrices de coeficientes antes de aplicar métodos como reducción o la regla de Cramer.
La multiplicación de una matriz por otra matriz (distinta de un simple número) es un paso más avanzado, que no se cubre en este artículo introductorio.
