Los sistemas de ecuaciones 3×3 aparecen en diferentes problemas matemáticos y pueden resolverse mediante distintos métodos, como eliminación, sustitución o reducción. Aunque al principio pueden parecer más complicados que los sistemas 2×2, siguiendo un procedimiento ordenado es posible resolverlos de manera sencilla.
En este artículo aprenderás cómo resolver sistemas de ecuaciones 3×3 paso a paso, cómo organizar las ecuaciones, eliminar incógnitas y comprobar que los valores encontrados corresponden a la solución del sistema.
Álgebra — Sistemas de ecuaciones lineales
Método de reducción en sistemas de ecuaciones 3×3: guía completa + 10 ejercicios
¿En qué consiste el método de reducción en sistemas de ecuaciones 3×3?
Un sistema 3×3 tiene tres ecuaciones y tres incógnitas (x, y, z). El método de reducción —también llamado eliminación— consiste en sumar o restar ecuaciones (multiplicadas por un número si hace falta) para que una variable se cancele. Como tienes tres ecuaciones, aplicas esa idea dos veces: eliminas la misma variable entre un par de ecuaciones y luego entre otro par, y así obtienes un sistema 2×2 más sencillo. A cada ecuación la llamamos siempre igual: Ecuación 1, Ecuación 2 y Ecuación 3.
{
1x + y + z = 9
2x − y + z = 3
3x + y − z = 1
Círculo índigo 1 = Ecuación 1
Círculo magenta 2 = Ecuación 2
Círculo ámbar 3 = Ecuación 3
x en azul
y en verde
z en morado
La idea clave: la variable z aparece con signo +z en la Ecuación 1 y con signo −z en la Ecuación 3. Si las sumas, z desaparece por completo y te queda una ecuación solo con x e y. Ese es el corazón del método: fabricar ecuaciones más pequeñas, una variable a la vez.
¿Cuándo conviene usar el método de reducción?
Úsalo cuando
Alguna variable ya tiene coeficientes iguales u opuestos en dos ecuaciones, o cuando los coeficientes son múltiplos sencillos entre sí (por ejemplo 1, 2 y 4).
Considera otro método si
Todos los coeficientes son distintos entre sí y sin relación simple — ahí la eliminación de Gauss (matriz escalonada) puede ser más ordenada para sistemas grandes.
💡
Ventaja de este método: no necesitas despejar nada al inicio — trabajas directamente con las ecuaciones tal como están, sumando y restando. Es el método más natural cuando pasas de resolver sistemas 2×2 a sistemas 3×3.
Método en 6 pasos
1
Elige la variable a eliminar
Mira los tres coeficientes de x, y, z y elige la que sea más fácil de cancelar (coeficientes iguales, opuestos o múltiplos simples).2
Combina Ecuación 1 y Ecuación 2
Multiplica si hace falta para igualar los coeficientes de esa variable, luego suma o resta para eliminarla. Obtienes la Ecuación A, con solo dos incógnitas.3
Combina Ecuación 1 y Ecuación 3
Repite el mismo proceso eliminando la misma variable del paso 2. Obtienes la Ecuación B, también con dos incógnitas.4
Resuelve el sistema 2×2
Las ecuaciones A y B forman un sistema más pequeño; resuélvelo por reducción, igualación o sustitución.5
Sustituye para hallar la tercera variable
Toma cualquiera de las ecuaciones originales y reemplaza los dos valores que ya conoces.6
Verifica
Sustituye los tres valores en las tres ecuaciones originales.Ejemplo guiado
{
1x + y + z = 9
2x − y + z = 3
3x + y − z = 1
Elegimos eliminar x porque su coeficiente ya es +1 en las tres ecuaciones — no hace falta multiplicar nada. La eliminamos dos veces: primero entre la Ecuación 1 y la 2, luego entre la Ecuación 1 y la 3.
Eliminamos x restando Ecuación 1 − Ecuación 2
Ecuación 1x + y + z = 9
− Ecuación 2x − y + z = 3
Resultado0x + 2y + 0z = 6
Ecuación A 2y = 6
Eliminamos x restando Ecuación 1 − Ecuación 3
Ecuación 1x + y + z = 9
− Ecuación 3x + y − z = 1
Resultado0x + 0y + 2z = 8
Ecuación B 2z = 8
Aquí también se cancela la y por coincidencia (ambas ecuaciones tienen +y), así que B ya queda con una sola incógnita.
| ¿Qué hacemos? | Nos queda |
|---|---|
| De A: el 2 pasa dividiendo | y = 3 |
| De B: el 2 pasa dividiendo | z = 4 |
| Sustituimos y = 3, z = 4 en la Ecuación 1 | x + 3 + 4 = 9 → x = 2 |
Verificación — Ecuación 1
| Ecuación original | x + y + z = 9 |
| Sustituimos x=2, y=3, z=4 | 2 + 3 + 4 = 9 |
| Comparamos | ✓ Se cumple |
Verificación — Ecuación 2
| Ecuación original | x − y + z = 3 |
| Sustituimos x=2, y=3, z=4 | 2 − 3 + 4 = 3 |
| Comparamos | ✓ Se cumple |
Verificación — Ecuación 3
| Ecuación original | x + y − z = 1 |
| Sustituimos x=2, y=3, z=4 | 2 + 3 − 4 = 1 |
| Comparamos | ✓ Se cumple |
La verificación consiste en tomar la solución y reemplazarla en las tres ecuaciones tal como estaban al principio. Si las tres igualdades resultan verdaderas, la solución es correcta.
Solución
x = 2, y = 3, z = 4
10 ejercicios resueltos con el método de reducción
Nivel básico
E1
Reducción
Resuelve el sistema
{
1x + y + z = 6
22x − y + z = 3
3x + 2y − z = 2
Elegimos eliminar z: su coeficiente ya es +1 en las tres ecuaciones, así que no hace falta multiplicar nada.
Eliminamos z restando Ecuación 1 − Ecuación 2
Ecuación 1x + y + z = 6
− Ecuación 22x − y + z = 3
Resultado−x + 2y + 0z = 3
Ecuación A −x + 2y = 3
Eliminamos z sumando Ecuación 1 + Ecuación 3
Ecuación 1x + y + z = 6
+ Ecuación 3x + 2y − z = 2
Resultado2x + 3y + 0z = 8
Ecuación B 2x + 3y = 8
| ¿Qué hacemos? | Nos queda |
|---|---|
| De A despejamos x: pasa restando y cambia de signo | x = 2y − 3 |
| Sustituimos en B: 2(2y−3) + 3y = 8 | 4y − 6 + 3y = 8 |
| Sumamos términos semejantes y despejamos: el 7 pasa dividiendo | 7y = 14 → y = 2 |
| Sustituimos y por 2 en x = 2y − 3 | x = 4 − 3 = 1 |
| Sustituimos x=1, y=2 en la Ecuación 1 | 1 + 2 + z = 6 → z = 3 |
Verificación — Ecuación 1
| Ecuación original | x + y + z = 6 |
| Sustituimos x=1, y=2, z=3 | 1 + 2 + 3 = 6 |
| Comparamos | ✓ Se cumple |
Verificación — Ecuación 2
| Ecuación original | 2x − y + z = 3 |
| Sustituimos x=1, y=2, z=3 | 2 − 2 + 3 = 3 |
| Comparamos | ✓ Se cumple |
Verificación — Ecuación 3
| Ecuación original | x + 2y − z = 2 |
| Sustituimos x=1, y=2, z=3 | 1 + 4 − 3 = 2 |
| Comparamos | ✓ Se cumple |
Solución
x = 1, y = 2, z = 3
E2
Reducción
Resuelve el sistema
{
1x + 2y + z = 7
22x − y + z = 6
3x + y − 2z = −3
Elegimos eliminar z: sus coeficientes son 1, 1 y −2. Entre la Ecuación 1 y la 2 ya se cancela sola; para la Ecuación 3 necesitamos multiplicar primero.
Eliminamos z restando Ecuación 1 − Ecuación 2
Ecuación 1x + 2y + z = 7
− Ecuación 22x − y + z = 6
Resultado−x + 3y + 0z = 1
Ecuación A −x + 3y = 1
Multiplicamos la Ecuación 1 completa por 2, para que su z (ahora 2z) se pueda cancelar con la −2z de la Ecuación 3
Originalx + 2y + z = 7
× 2 → Resultado2x + 4y + 2z = 14
Eliminamos z sumando (Ecuación 1 × 2) + Ecuación 3
Ecuación 1 × 22x + 4y + 2z = 14
+ Ecuación 3x + y − 2z = −3
Resultado3x + 5y + 0z = 11
Ecuación B 3x + 5y = 11
| ¿Qué hacemos? | Nos queda |
|---|---|
| De A despejamos x: pasa sumando y cambia de signo | x = 3y − 1 |
| Sustituimos en B: 3(3y−1) + 5y = 11 | 9y − 3 + 5y = 11 |
| Sumamos términos semejantes y despejamos: el 14 pasa dividiendo | 14y = 14 → y = 1 |
| Sustituimos y por 1 en x = 3y − 1 | x = 3 − 1 = 2 |
| Sustituimos x=2, y=1 en la Ecuación 1 | 2 + 2 + z = 7 → z = 3 |
Verificación — Ecuación 1
| Ecuación original | x + 2y + z = 7 |
| Sustituimos x=2, y=1, z=3 | 2 + 2 + 3 = 7 |
| Comparamos | ✓ Se cumple |
Verificación — Ecuación 2
| Ecuación original | 2x − y + z = 6 |
| Sustituimos x=2, y=1, z=3 | 4 − 1 + 3 = 6 |
| Comparamos | ✓ Se cumple |
Verificación — Ecuación 3
| Ecuación original | x + y − 2z = −3 |
| Sustituimos x=2, y=1, z=3 | 2 + 1 − 6 = −3 |
| Comparamos | ✓ Se cumple |
Solución
x = 2, y = 1, z = 3
E3
Reducción
Resuelve el sistema
{
1x + y + z = 6
22x − y + z = 5
3x + 3y − z = 8
Elegimos eliminar z: su coeficiente ya es +1 en las tres ecuaciones, así que no hace falta multiplicar nada.
Eliminamos z restando Ecuación 1 − Ecuación 2
Ecuación 1x + y + z = 6
− Ecuación 22x − y + z = 5
Resultado−x + 2y + 0z = 1
Ecuación A −x + 2y = 1
Eliminamos z sumando Ecuación 1 + Ecuación 3
Ecuación 1x + y + z = 6
+ Ecuación 3x + 3y − z = 8
Resultado2x + 4y + 0z = 14
Ecuación B 2x + 4y = 14
| ¿Qué hacemos? | Nos queda |
|---|---|
| Simplificamos B dividiendo entre 2 | x + 2y = 7 |
| De A despejamos x: pasa sumando y cambia de signo | x = 2y − 1 |
| Sustituimos en B simplificada: (2y−1) + 2y = 7 | 4y − 1 = 7 |
| Despejamos: el 1 pasa sumando y el 4 pasa dividiendo | 4y = 8 → y = 2 |
| Sustituimos y por 2 en x = 2y − 1 | x = 4 − 1 = 3 |
| Sustituimos x=3, y=2 en la Ecuación 1 | 3 + 2 + z = 6 → z = 1 |
Verificación — Ecuación 1
| Ecuación original | x + y + z = 6 |
| Sustituimos x=3, y=2, z=1 | 3 + 2 + 1 = 6 |
| Comparamos | ✓ Se cumple |
Verificación — Ecuación 2
| Ecuación original | 2x − y + z = 5 |
| Sustituimos x=3, y=2, z=1 | 6 − 2 + 1 = 5 |
| Comparamos | ✓ Se cumple |
Verificación — Ecuación 3
| Ecuación original | x + 3y − z = 8 |
| Sustituimos x=3, y=2, z=1 | 3 + 6 − 1 = 8 |
| Comparamos | ✓ Se cumple |
Solución
x = 3, y = 2, z = 1
Nivel intermedio — resultado en fracción
E4
Reducción — fracción
Resuelve el sistema
{
12x + y + z = 8
24x − y + 2z = 13
32x + 3y − z = 6
Elegimos eliminar y: en la Ecuación 1 y 2 sus coeficientes ya son opuestos (+1 y −1). Para combinarla con la Ecuación 3 vamos a necesitar multiplicar.
Eliminamos y sumando Ecuación 1 + Ecuación 2
Ecuación 12x + y + z = 8
+ Ecuación 24x − y + 2z = 13
Resultado6x + 0y + 3z = 21
Ecuación A 6x + 3z = 21
| ¿Qué hacemos? | Nos queda |
|---|---|
| Simplificamos A dividiendo entre 3 | 2x + z = 7 |
Multiplicamos la Ecuación 1 completa por 3, para igualar el coeficiente de y con la Ecuación 3
Original2x + y + z = 8
× 3 → Resultado6x + 3y + 3z = 24
Eliminamos y restando (Ecuación 1 × 3) − Ecuación 3
Ecuación 1 × 36x + 3y + 3z = 24
− Ecuación 32x + 3y − z = 6
Resultado4x + 0y + 4z = 18
Ecuación B 4x + 4z = 18
| ¿Qué hacemos? | Nos queda |
|---|---|
| Simplificamos B dividiendo entre 2 | 2x + 2z = 9 |
| De A despejamos z: el 2x pasa restando | z = 7 − 2x |
| Sustituimos en B: 2x + 2(7−2x) = 9 | 2x + 14 − 4x = 9 |
| Despejamos: el 14 pasa restando y el −2 pasa dividiendo | −2x = −5 → x = 5/2 |
| Sustituimos x=5/2 en z = 7 − 2x | z = 7 − 5 = 2 |
| Sustituimos x=5/2, z=2 en la Ecuación 1 | 5 + y + 2 = 8 → y = 1 |
Verificación — Ecuación 1
| Ecuación original | 2x + y + z = 8 |
| Sustituimos x=5/2, y=1, z=2 | 5 + 1 + 2 = 8 |
| Comparamos | ✓ Se cumple |
Verificación — Ecuación 2
| Ecuación original | 4x − y + 2z = 13 |
| Sustituimos x=5/2, y=1, z=2 | 10 − 1 + 4 = 13 |
| Comparamos | ✓ Se cumple |
Verificación — Ecuación 3
| Ecuación original | 2x + 3y − z = 6 |
| Sustituimos x=5/2, y=1, z=2 | 5 + 3 − 2 = 6 |
| Comparamos | ✓ Se cumple |
Solución
x = 5/2, y = 1, z = 2
Problemas aplicados
E5
Aplicado — números 🔢
La suma de tres números es 12. El segundo es el doble del primero. El tercero es el triple del primero. ¿Cuáles son?
Defino: x = primer número, y = segundo número, z = tercer número.
{
1x + y + z = 12
2−2x + y = 0
3−3x + z = 0
Elegimos eliminar z entre la Ecuación 1 y la 3: su coeficiente ya es +1 en ambas.
Eliminamos z restando Ecuación 1 − Ecuación 3
Ecuación 1x + y + z = 12
− Ecuación 3−3x + 0y + z = 0
Resultado4x + y + 0z = 12
Ecuación A 4x + y = 12
La Ecuación 2 ya no tiene z (−2x + y = 0), así que la usamos directamente como Ecuación B, sin necesidad de eliminar nada.
Eliminamos y restando Ecuación A − Ecuación B
Ecuación A4x + y = 12
− Ecuación B−2x + y = 0
Resultado6x + 0y = 12
| ¿Qué hacemos? | Nos queda |
|---|---|
| Despejamos 6x = 12: el 6 pasa dividiendo | x = 2 |
| Sustituimos x=2 en −2x + y = 0 | −4 + y = 0 → y = 4 |
| Sustituimos x=2 en −3x + z = 0 | −6 + z = 0 → z = 6 |
Verificación — Ecuación 1
| Ecuación original | x + y + z = 12 |
| Sustituimos x=2, y=4, z=6 | 2 + 4 + 6 = 12 |
| Comparamos | ✓ Se cumple |
Verificación — Ecuación 2
| Ecuación original | y = 2x |
| Sustituimos x=2, y=4 | 4 = 2(2) |
| Comparamos | ✓ Se cumple |
Verificación — Ecuación 3
| Ecuación original | z = 3x |
| Sustituimos x=2, z=6 | 6 = 3(2) |
| Comparamos | ✓ Se cumple |
Respuesta
Los números son 2, 4 y 6
E6
Aplicado — monedas 🪙
Juan tiene 30 monedas entre monedas de $1, $5 y $10. Tiene el doble de monedas de $1 que de $10. El valor total es $135. ¿Cuántas monedas tiene de cada tipo?
Defino: x = monedas de $1, y = monedas de $5, z = monedas de $10.
{
1x + y + z = 30
2x + 5y + 10z = 135
3x − 2z = 0
Elegimos eliminar x entre la Ecuación 1 y la 2: su coeficiente ya es +1 en ambas.
Eliminamos x restando Ecuación 2 − Ecuación 1
Ecuación 2x + 5y + 10z = 135
− Ecuación 1x + y + z = 30
Resultado0x + 4y + 9z = 105
Ecuación A 4y + 9z = 105
Formamos Ecuación B sustituyendo la Ecuación 3 dentro de la Ecuación 1
Ecuación 3x − 2z = 0 → x = 2z
Ecuación 1x + y + z = 30
Sustituimos x2z + y + z = 30
Ecuación B y + 3z = 30
| ¿Qué hacemos? | Nos queda |
|---|---|
| De B despejamos y: el 3z pasa restando | y = 30 − 3z |
| Sustituimos en A: 4(30−3z) + 9z = 105 | 120 − 12z + 9z = 105 |
| Despejamos: el 120 pasa restando y el −3 pasa dividiendo | −3z = −15 → z = 5 |
| Sustituimos z=5 en y = 30 − 3z | y = 30 − 15 = 15 |
| Sustituimos z=5 en x = 2z | x = 10 |
Verificación — Ecuación 1
| Ecuación original | x + y + z = 30 |
| Sustituimos x=10, y=15, z=5 | 10 + 15 + 5 = 30 |
| Comparamos | ✓ Se cumple |
Verificación — Ecuación 2
| Ecuación original | x + 5y + 10z = 135 |
| Sustituimos x=10, y=15, z=5 | 10 + 75 + 50 = 135 |
| Comparamos | ✓ Se cumple |
Verificación — Ecuación 3
| Ecuación original | x = 2z |
| Sustituimos x=10, z=5 | 10 = 2(5) |
| Comparamos | ✓ Se cumple |
Respuesta
10 monedas de $1 · 15 de $5 · 5 de $10
E7
Aplicado — edades 👨👩👧
La suma de las edades de tres hermanos es 45 años. El mayor tiene el doble de edad que el menor. El mediano tiene 5 años menos que el mayor. ¿Qué edad tiene cada uno?
Defino: x = edad del mayor, y = edad del mediano, z = edad del menor.
{
1x + y + z = 45
2x − 2z = 0
3x − y = 5
Elegimos eliminar x: su coeficiente ya es +1 en las tres ecuaciones, así que no hace falta multiplicar nada.
Eliminamos x restando Ecuación 1 − Ecuación 2
Ecuación 1x + y + z = 45
− Ecuación 2x + 0y − 2z = 0
Resultado0x + y + 3z = 45
Ecuación A y + 3z = 45
Eliminamos x restando Ecuación 1 − Ecuación 3
Ecuación 1x + y + z = 45
− Ecuación 3x − y + 0z = 5
Resultado0x + 2y + z = 40
Ecuación B 2y + z = 40
| ¿Qué hacemos? | Nos queda |
|---|---|
| De A despejamos y: el 3z pasa restando | y = 45 − 3z |
| Sustituimos en B: 2(45−3z) + z = 40 | 90 − 6z + z = 40 |
| Despejamos: el 90 pasa restando y el −5 pasa dividiendo | −5z = −50 → z = 10 |
| Sustituimos z=10 en y = 45 − 3z | y = 45 − 30 = 15 |
| Sustituimos z=10 en x − 2z = 0 | x = 2(10) = 20 |
Verificación — Ecuación 1
| Ecuación original | x + y + z = 45 |
| Sustituimos x=20, y=15, z=10 | 20 + 15 + 10 = 45 |
| Comparamos | ✓ Se cumple |
Verificación — Ecuación 2
| Ecuación original | x = 2z |
| Sustituimos x=20, z=10 | 20 = 2(10) |
| Comparamos | ✓ Se cumple |
Verificación — Ecuación 3
| Ecuación original | x − y = 5 |
| Sustituimos x=20, y=15 | 20 − 15 = 5 |
| Comparamos | ✓ Se cumple |
Respuesta
Mayor: 20 años · Mediano: 15 años · Menor: 10 años
E8
Aplicado — tienda 🍎
Una frutería vendió 50 frutas entre manzanas, peras y naranjas. Vendió el doble de manzanas que de peras. La manzana cuesta $1, la pera $2 y la naranja $1,50. El total recaudado fue $70. ¿Cuántas de cada una?
Defino: x = manzanas, y = peras, z = naranjas.
{
1x + y + z = 50
2x − 2y = 0
3x + 2y + 1,5z = 70
Multiplicamos la Ecuación 3 completa por 2, para eliminar el decimal de 1,5z
Originalx + 2y + 1,5z = 70
× 2 → Resultado2x + 4y + 3z = 140
Elegimos eliminar z entre la Ecuación 1 y la Ecuación 3 (ya multiplicada): sus coeficientes son 1 y 3.
Multiplicamos la Ecuación 1 completa por 3, para igualar el coeficiente de z
Originalx + y + z = 50
× 3 → Resultado3x + 3y + 3z = 150
Eliminamos z restando (Ecuación 1 × 3) − (Ecuación 3 × 2)
Ecuación 1 × 33x + 3y + 3z = 150
− Ecuación 3 × 22x + 4y + 3z = 140
Resultadox − y + 0z = 10
Ecuación A x − y = 10
La Ecuación 2 ya no tiene z (x − 2y = 0), así que la usamos directamente como Ecuación B.
Eliminamos x restando Ecuación A − Ecuación B
Ecuación Ax − y = 10
− Ecuación Bx − 2y = 0
Resultado0x + y = 10
| ¿Qué hacemos? | Nos queda |
|---|---|
| De y = 10, ya tenemos el valor de y directamente | y = 10 |
| Sustituimos y=10 en x − 2y = 0 | x = 2(10) = 20 |
| Sustituimos x=20, y=10 en la Ecuación 1 | 20 + 10 + z = 50 → z = 20 |
Verificación — Ecuación 1
| Ecuación original | x + y + z = 50 |
| Sustituimos x=20, y=10, z=20 | 20 + 10 + 20 = 50 |
| Comparamos | ✓ Se cumple |
Verificación — Ecuación 2
| Ecuación original | x = 2y |
| Sustituimos x=20, y=10 | 20 = 2(10) |
| Comparamos | ✓ Se cumple |
Verificación — Ecuación 3
| Ecuación original | x + 2y + 1,5z = 70 |
| Sustituimos x=20, y=10, z=20 | 20 + 20 + 30 = 70 |
| Comparamos | ✓ Se cumple |
Respuesta
20 manzanas · 10 peras · 20 naranjas
Resumen — el método en una sola idea
1. Elige
La variable más fácil de eliminar
2. Elimina dos veces
Ecuación 1&2 → A · Ecuación 1&3 → B
3. Resuelve el 2×2
A y B forman un sistema con dos incógnitas
4. Sustituye
En cualquier ecuación original para hallar la tercera variable
Al multiplicar
El factor multiplica a TODA la ecuación, no a un solo término
Siempre
Verifica en las TRES ecuaciones originales
Casos especiales: sin solución e infinitas soluciones
El método de reducción también te avisa cuando un sistema 3×3 no tiene solución única — al combinar ecuaciones, todas las variables se cancelan a la vez.
E9
Sin solución
Resuelve el sistema
{
1x + y + z = 6
22x + 2y + 2z = 10
3x − y + z = 2
Multiplicamos la Ecuación 1 completa por 2, para poder compararla directamente con la Ecuación 2
Originalx + y + z = 6
× 2 → Resultado2x + 2y + 2z = 12
Restamos (Ecuación 1 × 2) − Ecuación 2
Ecuación 1 × 22x + 2y + 2z = 12
− Ecuación 22x + 2y + 2z = 10
Resultado0x + 0y + 0z = 2
0 = 2 (igualdad FALSA)
La Ecuación 2 es el doble de la Ecuación 1 en su lado izquierdo, pero no en su resultado (debería dar 12 y da 10). Eso significa que los dos planos son paralelos: nunca se cruzan. No hace falta seguir con la Ecuación 3 — el sistema ya es inconsistente.
Respuesta
Sin solución (sistema inconsistente)
E10
Infinitas soluciones
Resuelve el sistema
{
1x + y + z = 6
22x + 2y + 2z = 12
3x − y + z = 2
Multiplicamos la Ecuación 1 completa por 2, para poder compararla directamente con la Ecuación 2
Originalx + y + z = 6
× 2 → Resultado2x + 2y + 2z = 12
Restamos (Ecuación 1 × 2) − Ecuación 2
Ecuación 1 × 22x + 2y + 2z = 12
− Ecuación 22x + 2y + 2z = 12
Resultado0x + 0y + 0z = 0
0 = 0 (igualdad VERDADERA — la Ecuación 2 es redundante)
Como la Ecuación 2 no aporta información nueva, resolvemos con Ecuación 1 y Ecuación 3, eliminando x
Ecuación 1x + y + z = 6
− Ecuación 3x − y + z = 2
Resultado0x + 2y + 0z = 4
2y = 4 → y = 2
| ¿Qué hacemos? | Nos queda |
|---|---|
| Sustituimos y=2 en la Ecuación 1: x + 2 + z = 6 | x + z = 4 |
La Ecuación 2 es exactamente el doble de la Ecuación 1: no aporta información nueva. Nos quedan solo dos ecuaciones independientes para tres incógnitas, así que z queda libre: puede valer cualquier número real t, y entonces x = 4 − t, con y = 2 siempre. Hay infinitas soluciones, todas sobre una misma recta.
Respuesta
Infinitas soluciones: (x, y, z) = (4 − t, 2, t), t ∈ ℝ
Ventajas y desventajas del método de reducción
Ventajas
No requiere despejar variables antes de empezar. Funciona muy bien cuando algún coeficiente ya es 1 o los coeficientes son múltiplos sencillos entre ecuaciones.
Desventajas
Con coeficientes grandes o poco relacionados, los factores de multiplicación pueden crecer y complicar las cuentas — ahí la eliminación de Gauss con matrices es más sistemática.
Errores comunes
ERROR 1
Errores de signo al sumar o restar ecuaciones
Incorrecto
De x−y+z=3 y x+y−z=1, sumar y obtener 2x+2y=4
Al sumar −y+y y z−z olvidaron que se cancelan; no se suman como si fueran positivos.
Correcto
2x = 4
−y+y y z−z se cancelan porque son opuestos; solo suma lo que realmente queda.
Antes de sumar, verifica qué variable realmente tiene signos opuestos en las dos ecuaciones.
ERROR 2
Eliminar variables distintas en los dos pares de ecuaciones
Incorrecto
Eliminar z entre Ec.1 y Ec.2, pero eliminar y entre Ec.1 y Ec.3
Las Ecuaciones A y B resultantes no comparten las mismas dos incógnitas y no se pueden combinar.
Correcto
Eliminar SIEMPRE la misma variable en ambos pares
Así las Ecuaciones A y B quedan con las mismas dos incógnitas y forman un sistema 2×2 resoluble.
Decide qué variable eliminar ANTES de empezar, y mantenla fija en los dos pasos.
ERROR 3
Multiplicar solo un término al escalar una ecuación
Incorrecto
De x+2y+z=7, multiplicar por 2 y obtener 2x+2y+2z=14
Multiplicaron x y z, pero dejaron 2y sin multiplicar (debía quedar 4y).
Correcto
2x+4y+2z=14
El factor multiplica a TODOS los términos, incluido el lado derecho de la igualdad.
Escribe el factor delante de la ecuación completa entre paréntesis antes de distribuirlo.
ERROR 4
No verificar la solución en las tres ecuaciones
Incorrecto
Verificar solo en la ecuación usada para hallar la última variable
Un error en el paso de eliminación puede pasar desapercibido si no revisas TODAS las ecuaciones originales.
Correcto
Sustituir en las TRES ecuaciones originales
Solo si las tres se cumplen, la solución es correcta.
Con tres incógnitas hay más pasos y más oportunidades de error — la verificación completa es indispensable.
Preguntas frecuentes
Q
¿Qué variable conviene eliminar primero en un sistema 3×3?
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La que tenga coeficientes iguales, opuestos, o múltiplos simples en al menos dos de las tres ecuaciones. Si una variable ya tiene coeficiente 1 en todas, esa suele ser la mejor opción porque evita multiplicar.
Antes de empezar, escanea los tres coeficientes de x, y, z en las tres ecuaciones y elige la combinación que requiera menos multiplicaciones.
Q
¿Por qué tengo que eliminar la misma variable dos veces?
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Porque necesitas reducir un sistema de 3 incógnitas a uno de 2. Si eliminas la misma variable entre Ecuación 1&2 y entre Ecuación 1&3, obtienes dos ecuaciones nuevas que solo tienen las otras dos incógnitas — exactamente un sistema 2×2 que ya sabes resolver.
Si eliminas variables distintas en cada combinación, las ecuaciones resultantes no van a compartir las mismas dos incógnitas y no podrás combinarlas.
Q
¿La reducción siempre da el mismo resultado que sustitución o eliminación de Gauss?
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Sí, siempre. Son distintos caminos hacia la misma solución (cuando el sistema tiene una única solución). La elección del método no cambia la respuesta, solo qué tan cómodo es el camino según los coeficientes que tenga tu sistema.
Puedes resolver el sistema 2×2 intermedio (Ecuaciones A y B) con cualquier método que prefieras: reducción, igualación o sustitución.
Q
¿Cómo reconozco un sistema 3×3 sin solución o con infinitas soluciones?
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Ocurre cuando, al combinar dos ecuaciones, las tres variables se cancelan a la vez. Si lo que queda es una igualdad falsa (como 0 = 2), el sistema no tiene solución. Si lo que queda es una igualdad verdadera (como 0 = 0), esa ecuación era redundante y sobran variables libres, lo que da infinitas soluciones.
Estos casos representan planos paralelos (sin solución) o planos que se cortan en una misma recta o coinciden (infinitas soluciones).
Q
¿Qué hago si después de eliminar me quedan coeficientes con fracciones o decimales?
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Si aparece un decimal (como 0,04 o 1,5), multiplica toda esa ecuación por 10, 100, o el número que haga falta para volverla entera antes de seguir combinando — así evitas arrastrar decimales en cada paso. Las fracciones en el resultado final (como x = 5/2) son perfectamente válidas y no indican ningún error.
Siempre puedes comprobar una solución fraccionaria sustituyéndola en las tres ecuaciones originales, igual que con soluciones enteras.
📌 Domina primero los sistemas 2×2
Sistemas de Ecuaciones 2×2 (3 Métodos)
La guía base: sustitución, igualación y reducción con dos incógnitas, antes de sumar la tercera variable.
Prerrequisito
Método de Sustitución (con calculadora de Cramer 3×3)
Incluye una calculadora de Regla de Cramer para 3×3, ideal para comprobar los resultados de tu sistema.
Herramienta
Método de Igualación
Despejar y comparar expresiones: la misma idea que luego usarás para reducir un sistema 3×3 a uno 2×2.
Prerrequisito
Calculadora de Ecuaciones
Resuelve sistemas por sustitución, eliminación y Regla de Cramer, con pasos detallados y verificación.
Herramienta
18 Problemas de Ecuaciones
Practica a traducir enunciados a ecuaciones, la base para plantear correctamente un sistema 3×3.
Práctica
Ecuaciones con Fracciones
Repasa el despeje con fracciones, útil cuando los coeficientes del sistema 3×3 no son enteros.
Prerrequisito
🌐 Herramientas de cálculo
