Funciones Cuadráticas
Todo lo que necesitas saber: definición, elementos, propiedades, ejemplos paso a paso y calculadora interactiva.
📋 ¿Qué aprenderás?
- ¿Qué es una función cuadrática? — Definición simple y formal
- Forma general y estándar — Las dos representaciones principales
- Elementos de la parábola — Vértice, eje de simetría, intersecciones
- Clasificación — Abre hacia arriba, hacia abajo y más
- Propiedades importantes — Dominio, rango, máximos y mínimos
- Cómo graficar una parábola — Método paso a paso
- Ejemplos visuales — Casos concretos con LaTeX
1. ¿Qué es una función cuadrática?
Imagina que lanzas una pelota al aire. ¿Notaste cómo sube, llega a un punto máximo y luego baja formando una curva suave? Esa trayectoria es exactamente la forma de una función cuadrática.
💡 Definición simple: Una función cuadrática es aquella en la que la variable \(x\) aparece elevada al cuadrado como término de mayor grado. Su gráfica siempre forma una curva en forma de «U» llamada parábola.
Las funciones cuadráticas están en todas partes en la vida real:
- ⚽ La trayectoria de un balón de fútbol
- 💧 El chorro de agua de una fuente
- 🏗️ El diseño de puentes colgantes
- 📡 La forma de las antenas parabólicas
- 💹 Modelos de ganancias y pérdidas en economía
2. Definición formal y forma general
📌 Forma general de la función cuadrática
Una función cuadrática siempre puede escribirse en la forma:
Coeficiente cuadrático
a ≠ 0 siempre
Coeficiente lineal
Puede ser 0
Término independiente
Intersección con eje \(y\)
⚠️ ¡Muy importante! El coeficiente \(a\) nunca puede ser cero. Si \(a = 0\), la función deja de ser cuadrática y se convierte en una función lineal \(f(x) = bx + c\).
📌 Forma vértice (o forma estándar)
Existe otra forma muy útil de escribir una función cuadrática, que nos muestra directamente el vértice de la parábola:
Mismo que en forma general. Determina apertura
Coordenada \(x\) del vértice
Coordenada \(y\) del vértice
3. Elementos de la parábola 🎯
Toda parábola tiene partes específicas que debes conocer. Estudia cada una:
Vértice
Es el punto más alto o más bajo de la parábola. Es el «punto de giro» de la curva.
Eje de simetría
Es la línea vertical imaginaria que divide la parábola en dos mitades exactamente iguales. Siempre pasa por el vértice.
Intersecciones con los ejes
Se obtiene evaluando \(x = 0\):
\[ f(0) = c \]El punto es \((0, c)\)
Se obtienen igualando \(f(x) = 0\):
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \]El Discriminante — clave para las raíces
La expresión \(\Delta = b^2 – 4ac\) determina cuántas raíces reales tiene la función:
2 raíces reales
La parábola corta al eje \(x\) en dos puntos
1 raíz real
La parábola toca al eje \(x\) en un punto (el vértice)
0 raíces reales
La parábola no corta al eje \(x\)
4. Clasificación de las parábolas 📊
💡 Truco para recordarlo: Piensa en la letra «a» de «arriba». Si \(a\) es positivo (mayor que cero), la parábola apunta hacia arriba (∪). Si \(a\) es negativo, apunta hacia abajo (∩).
5. Propiedades importantes
📊 Dominio
La función cuadrática está definida para todos los números reales.
\[ \text{Dom}(f) = (-\infty, +\infty) = \mathbb{R} \]📊 Rango o imagen
Depende del signo de \(a\) y del valor \(k\) del vértice:
Si \(a > 0\): \(\;\text{Ran}(f) = [k, +\infty)\)
Si \(a < 0\): \(\;\text{Ran}(f)=(-\infty, k]\)
📈 Máximos y mínimos
Si \(a > 0\): el vértice es un mínimo (punto más bajo).
Si \(a < 0\): el vértice es un máximo (punto más alto).
\[ \text{Valor extremo} = k = f(h) \]📉 Monotonía
Si \(a > 0\): decrece en \((-\infty, h)\) y crece en \((h, +\infty)\).
Si \(a < 0\): crece en \((-\infty, h)\) y decrece en \((h, +\infty)\).
6. ¿Cómo graficar una función cuadrática? 📝
Sigue estos pasos para graficar cualquier parábola de forma precisa:
Escribe la función en forma general \(f(x) = ax^2 + bx + c\) y anota los valores de cada coeficiente.
Si \(a > 0\) la parábola abre hacia arriba (∪). Si \(a < 0\) abre hacia abajo (∩).
Usa la fórmula \(h = -\frac{b}{2a}\) y luego calcula \(k = f(h)\).
Calcula el discriminante \(\Delta = b^2 – 4ac\) y aplica la fórmula cuadrática.
Evalúa \(f(0) = c\). El punto es \((0, c)\).
Dibuja la línea vertical \(x = h\), marca todos los puntos encontrados y traza la curva pasando por ellos simétricamente.
7. Ejemplos visuales de teoría 🔍
📌 Resumen:
Calculadora de Ecuaciones Cuadráticas
Funciones Cuadráticas — Ejemplos Resueltos
Nivel Básico
Identificación de elementos, evaluación y forma vértice
\[ f(x) = \underbrace{3}_{a}x^2 \underbrace{-\,5}_{b}x + \underbrace{2}_{c} \] Entonces: \(a = 3\), \(b = -5\), \(c = 2\).
Como \(a = 3 > 0\), la parábola abre hacia arriba (∪) y tiene un valor mínimo.
\[ f(0) = (0)^2 - 4(0) + 3 = 0 - 0 + 3 = 3 \] El punto \((0, 3)\) es la intersección con el eje \(y\).
\[ f(2) = (2)^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1 \] El punto \((2, -1)\) es el vértice (mínimo).
\[ f(5) = (5)^2 - 4(5) + 3 = 25 - 20 + 3 = 8 \] El punto \((5, 8)\) está en la parábola.
\(a = 2,\quad b = -12,\quad c = 10\)
\[ h = -\frac{b}{2a} = -\frac{-12}{2(2)} = \frac{12}{4} = 3 \]
\[ k = f(3) = 2(3)^2 - 12(3) + 10 = 18 - 36 + 10 = -8 \]
La intersección con el eje \(y\) ocurre cuando \(x = 0\). Sustituimos directamente.
\[ f(0) = -(0)^2 + 6(0) - 8 = 0 + 0 - 8 = -8 \]
Observa que \(c = -8\) y \(f(0) = -8\). El término independiente \(c\) siempre es la intersección con el eje \(y\).
\[ f(x) = 4\big(x-(-2)\big)^2 + (-9) \] Por lo tanto: \(a = 4\), \(h = -2\), \(k = -9\).
El vértice es \(V = (h, k) = (-2, -9)\).
Como \(a = 4 > 0\), abre hacia arriba ∪. El vértice \((-2, -9)\) es un mínimo.
Nivel Intermedio
Fórmula cuadrática, completar el cuadrado y análisis completo
\(a = 1,\quad b = -7,\quad c = 10\)
\[ \Delta = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4(1)(10) = 49 - 40 = 9 \] Como \(\Delta = 9 > 0\), hay dos raíces reales distintas.
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{7 \pm \sqrt{9}}{2(1)} = \frac{7 \pm 3}{2} \]
\[ x_1 = \frac{7+3}{2} = \frac{10}{2} = 5 \qquad x_2 = \frac{7-3}{2} = \frac{4}{2} = 2 \]
\[ \Delta = (-6)^2 - 4(1)(9) = 36 - 36 = 0 \] ¡El discriminante es exactamente cero! Esto significa una sola raíz (raíz doble).
\[ x = \frac{-(-6)}{2(1)} = \frac{6}{2} = 3 \] La parábola toca el eje \(x\) solo en \(x = 3\) (en el vértice).
\[ f(x) = (x^2 + 8x) + 5 \]
La mitad de \(8\) es \(4\), y \(4^2 = 16\). Suma y resta \(16\): \[ f(x) = (x^2 + 8x + 16) - 16 + 5 \]
\[ f(x) = (x + 4)^2 - 11 \]
\(a = -2,\; b = 4,\; c = 6\). Como \(a < 0\), abre hacia abajo (∩).
\[ h = -\frac{4}{2(-2)} = -\frac{4}{-4} = 1 \] \[ k = f(1) = -2(1)^2 + 4(1) + 6 = -2+4+6 = 8 \] Vértice: \(V = (1, 8)\) — es un máximo.
\[ \Delta = 4^2 - 4(-2)(6) = 16 + 48 = 64 \] \[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{64}}{2(-2)} = \frac{-4 \pm 8}{-4} \] \[ x_1 = \frac{-4+8}{-4} = \frac{4}{-4} = -1 \qquad x_2 = \frac{-4-8}{-4} = \frac{-12}{-4} = 3 \]
\(f(0) = 6\), punto \((0,6)\). Como \(a < 0\) y máximo en \(k=8\): \[\text{Dom}(f) = \mathbb{R}, \qquad \text{Ran}(f) = (-\infty,\, 8]\]
\[ \Delta = (2)^2 - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16 \] Como \(\Delta = -16 < 0\), no hay raíces reales.
\[ h = -\frac{2}{2} = -1 \quad;\quad k = f(-1) = 1 - 2 + 5 = 4 \] El vértice es \((-1, 4)\). Como \(a > 0\) y el mínimo es \(4 > 0\), la parábola nunca toca el eje \(x\).
Nivel Avanzado
Problemas de aplicación, construcción de funciones y optimización
Si las raíces son \(x_1=3\) y \(x_2=-5\): \[ f(x) = a(x - 3)(x + 5) \]
\[ f(1) = -24 \implies a(1-3)(1+5) = -24 \] \[ a(-2)(6) = -24 \implies -12a = -24 \implies a = 2 \]
\[ f(x) = 2(x-3)(x+5) = 2(x^2 + 5x - 3x - 15)\] \[= 2(x^2 + 2x - 15) \] \[ f(x) = 2x^2 + 4x - 30 \]
Sea \(x\) el ancho del rectángulo. El perímetro es \(2x + 2l = 40\), por lo que el largo es: \[ l = \frac{40 - 2x}{2} = 20 - x \]
\[ A(x) = x \cdot l = x(20-x) = 20x - x^2 = -x^2 + 20x \] Esta es una función cuadrática con \(a = -1 < 0\) (abre abajo), ¡tiene un máximo!
\[ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{20}{2(-1)} = -\frac{20}{-2} = 10 \text{ m} \] \[ A_{\max} = A(10) = -(10)^2 + 20(10) = -100 + 200 = 100 \text{ m}^2 \]
\[ f(x) = 3(x^2 - 4x) + 7 \]
La mitad de \((-4)\) es \(-2\), y \((-2)^2 = 4\): \[ f(x) = 3(x^2 - 4x + 4 - 4) + 7 = 3\big[(x-2)^2 - 4\big] + 7 \]
\[ f(x) = 3(x-2)^2 - 12 + 7 = 3(x-2)^2 - 5 \]
Como \(a = -5 < 0\), la parábola abre hacia abajo, así que sí existe un máximo.
\[ t_{max} = -\frac{b}{2a} = -\frac{20}{2(-5)} = -\frac{20}{-10} = 2 \text{ segundos} \]
\[ h(2) = -5(2)^2 + 20(2) + 2 = -20 + 40 + 2 = 22 \text{ metros} \]
Altura inicial: \(h(0) = 2\) m. La pelota fue lanzada desde 2 metros de altura.
Para que existan raíces reales, el discriminante debe ser \(\geq 0\): \[ \Delta = k^2 - 4(1)(9) \geq 0 \]
\[ k^2 - 36 \geq 0 \implies k^2 \geq 36 \implies |k| \geq 6 \]
\[ k \leq -6 \quad \text{o} \quad k \geq 6 \] Es decir: \(k \in (-\infty, -6] \cup [6, +\infty)\)
Casos Especiales de Funciones Cuadráticas
Parábola con vértice en el origen
📌 Definición: Cuando \(b = 0\) y \(c = 0\), la función tiene la forma \(f(x) = ax^2\) y su vértice está exactamente en el origen \((0, 0)\).
🔍 Características:
- El vértice es el punto \((0, 0)\)
- Es simétrica respecto al eje \(y\) (eje de simetría en \(x = 0\))
- La única raíz real es \(x = 0\) (raíz doble)
- El valor de \(|a|\) controla cuán "ancha" o "angosta" es la parábola
📊 Ejemplos concretos:
Parábola base, \(a=1\), abre ∪
Más angosta que base, \(a=3\)
Abre ∩, más amplia, \(a=-\frac{1}{2}\)
⚠️ Nota importante: Estas son las parábolas "madre". Cualquier otra función cuadrática es una transformación (traslación, reflexión, estiramiento) de \(f(x) = x^2\).
Función cuadrática sin término lineal (\(b = 0\))
📌 Definición: Cuando \(b = 0\), la función tiene la forma \(f(x) = ax^2 + c\). El eje de simetría siempre pasa por el origen \(x = 0\).
🔍 Características:
- El vértice siempre está en \((0, c)\)
- El eje de simetría es siempre \(x = 0\) (el eje \(y\))
- Las raíces (si existen) son simétricas respecto al eje \(y\): \(\pm\sqrt{-c/a}\)
- La función es par: \(f(-x) = f(x)\)
📊 Ejemplo resuelto:
Para \(f(x) = 2x^2 - 8\):
Parábola tangente al eje X — raíz doble
📌 Definición: Cuando el discriminante \(\Delta = b^2 - 4ac = 0\), la parábola es tangente al eje \(x\). Tiene una sola raíz real llamada raíz doble.
🔍 Características:
- El vértice de la parábola toca exactamente el eje \(x\)
- La raíz doble es \(x = -\frac{b}{2a}\) (coincide con la coordenada \(x\) del vértice)
- La función puede escribirse como \(f(x) = a(x - r)^2\) donde \(r\) es la raíz doble
- La parábola "apenas toca" el eje \(x\) sin cruzarlo
📊 Ejemplo resuelto:
Para \(f(x) = 4x^2 - 12x + 9\):
💡 Truco de reconocimiento: Si una función cuadrática es un cuadrado perfecto (como \((2x-3)^2\)), automáticamente tiene raíz doble.
Función cuadrática siempre positiva o siempre negativa
📌 Definición: Cuando \(\Delta < 0\), la parábola no corta el eje \(x\). Según el signo de \(a\), la función toma valores siempre positivos o siempre negativos.
🔍 Características:
- No tiene raíces reales (\(\Delta < 0\))
- Si \(a > 0\): \(f(x) > 0\) para todo \(x \in \mathbb{R}\) — siempre positiva
- Si \(a < 0\): \(f(x) < 0\) para todo \(x \in \mathbb{R}\) — siempre negativa
- El vértice es el punto "más cercano" al eje \(x\)
Ejemplo — siempre positiva:
\(f(x) = x^2 + 2x + 5\)
\[\Delta = 4 - 20 = -16 < 0\]Como \(a=1>0\): \(f(x) > 0\) ∀\(x\)
Ejemplo — siempre negativa:
\(f(x) = -x^2 + x - 3\)
\[\Delta = 1 - 12 = -11 < 0\]Como \(a=-1<0\): \(f(x) < 0\) ∀\(x\)
⚠️ Aplicación importante: Este caso es clave en inecuaciones cuadráticas. Si \(f(x) = ax^2+bx+c > 0\) para todo \(x\), la inecuación es siempre verdadera (o falsa si es negativa).
Funciones cuadráticas con coeficientes fraccionarios
📌 Definición: Las funciones cuadráticas pueden tener coeficientes que son fracciones. El comportamiento es idéntico, pero los cálculos requieren manejo de fracciones.
🔍 Características:
- Mismas propiedades que cualquier función cuadrática
- El discriminante puede ser un número no entero
- Las raíces pueden ser irracionales (con raíces cuadradas)
- Conviene multiplicar por el denominador común para simplificar
📊 Ejemplo resuelto:
Para \(f(x) = \frac{1}{2}x^2 - 3x + \frac{7}{2}\):
Relaciones entre coeficientes y raíces (Fórmulas de Vieta)
📌 Definición: Dada \(f(x) = ax^2 + bx + c\) con raíces \(x_1\) y \(x_2\), existen relaciones directas entre los coeficientes y las raíces sin necesidad de calcularlas.
Suma de raíces
\[ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \]La suma de las raíces es \(-b/a\)
Producto de raíces
\[ x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \]El producto de las raíces es \(c/a\)
🔍 Ejemplos concretos:
Para \(f(x) = x^2 - 7x + 10\) con raíces \(x_1=5\) y \(x_2=2\):
Uso práctico: Si conoces la suma y el producto, puedes construir la ecuación sin calcular raíces:
\[ x^2 - (\text{suma})x + (\text{producto}) = 0 \]💡 Nota importante: Las fórmulas de Vieta solo aplican cuando \(a = 1\) en la forma \(x^2 + px + q = 0\). Si \(a \neq 1\), debes dividir todo por \(a\) primero.
Errores Comunes en Funciones Cuadráticas
Aprende de los errores más frecuentes para no cometerlos en tus exámenes
Muchos estudiantes olvidan el signo negativo en la fórmula del vértice \(h = -\frac{b}{2a}\).
Para \(f(x) = x^2 - 6x + 5\):
(\(a=1, b=-6\))
¡Se olvidó el signo negativo delante!
Para \(f(x) = x^2 - 6x + 5\):
\[ h = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2(1)} = \frac{6}{2} = 3 \]El doble negativo da positivo: \(-(-6) = +6\).
Si \(a = 0\), la función deja de ser cuadrática. Este error aparece frecuentemente en problemas de construcción de funciones.
"La función \(f(x) = 0x^2 + 3x + 5\) es cuadrática"
Esto reduce a \(f(x) = 3x + 5\), que es lineal, no cuadrática.
Toda función cuadrática requiere \(a \neq 0\):
\[ f(x) = ax^2 + bx + c,\quad a \neq 0 \]Si \(a=0\) la función es lineal o constante.
El error más clásico en la fórmula cuadrática: calcular solo \(b^2\) y olvidar restar \(4ac\).
Para \(f(x) = 2x^2 - 4x - 6\):
\[\Delta = b^2 = (-4)^2 = 16\]Se omitió el término \(-4ac\) del discriminante.
Para \(f(x) = 2x^2 - 4x - 6\):
\[\Delta = b^2 - 4ac = 16 - 4(2)(-6) = 16 + 48 = 64\]Ojo: \(-4(2)(-6) = +48\), no \(-48\).
Calcular correctamente el numerador \(-b \pm \sqrt{\Delta}\) pero olvidar dividir todo entre \(2a\).
Para \(x^2 - 5x + 6 = 0\), \(\Delta=1\):
\[x = -(-5) \pm \sqrt{1} = 5 \pm 1\]Se olvidó el denominador \(2a = 2\).
Para \(x^2 - 5x + 6 = 0\), \(\Delta=1\):
\[x = \frac{5 \pm 1}{2} \Rightarrow x_1=3,\; x_2=2\]El denominador \(2a = 2(1) = 2\) es obligatorio.
Al completar el cuadrado se suma un valor dentro del paréntesis, pero se olvida restarlo afuera para mantener la igualdad.
Para \(f(x) = x^2 + 6x + 2\):
\[f(x) = (x^2 + 6x + 9) + 2 = (x+3)^2 + 2\]Se sumó 9 pero no se restó 9. La función cambió de valor.
Para \(f(x) = x^2 + 6x + 2\):
\[f(x) = (x^2+6x+9) - 9 + 2 = (x+3)^2 - 7\]Al sumar 9, se resta 9 inmediatamente. Vértice: \((-3, -7)\).
La forma vértice usa \((x - h)\), no \((x + h)\). Esto confunde el signo del vértice.
Para \(f(x) = (x+3)^2 - 5\):
"El vértice es \((3, -5)\)"
Error: confundieron \(+3\) por \(h=3\).
Para \(f(x) = (x+3)^2 - 5\):
\[(x+3)^2 = (x-(-3))^2 \Rightarrow h = -3\]El vértice es \(\mathbf{(-3, -5)}\). El signo de \(h\) se invierte.
El rango de una función cuadrática depende de si \(a > 0\) (mínimo) o \(a < 0\) (máximo), no es siempre \((-\infty, +\infty)\).
Para \(f(x) = -2(x-1)^2 + 8\):
"Rango = \(\mathbb{R}\)"
El rango nunca es \(\mathbb{R}\) en una cuadrática (solo el dominio lo es).
Para \(f(x) = -2(x-1)^2 + 8\):
\(a=-2 < 0\), máximo en \(k=8\):
\[\text{Ran}(f) = (-\infty,\, 8]\]Los valores de \(y\) nunca superan 8.
Un discriminante negativo significa que no hay raíces reales, pero la función cuadrática sí existe y tiene todos sus otros elementos.
Para \(f(x) = x^2 + x + 1\), \(\Delta = 1-4=-3\):
"Esta función no existe porque \(\Delta < 0\)"
La función existe perfectamente, solo no tiene raíces reales.
La función \(f(x) = x^2 + x + 1\):
- Sí existe para todo \(x \in \mathbb{R}\)
- Solo no tiene raíces reales (\(\Delta < 0\))
- Vértice: \(\left(-\frac{1}{2},\, \frac{3}{4}\right)\)
- Siempre positiva: \(f(x) > 0\) ∀\(x\)
Preguntas Frecuentes — Funciones Cuadráticas
📚 ¿Tienes más dudas? Revisa también nuestros Ejemplos Resueltos y la sección de Errores Comunes para dominar completamente las funciones cuadráticas.
