Cada día tomamos decisiones basadas en posibilidades, aunque muchas veces no lo notemos. Desde predecir el clima hasta calcular las probabilidades de ganar un juego, la probabilidad está presente en nuestra vida diaria. En este artículo descubrirás cómo funciona la probabilidad simple, aprenderás su fórmula y resolverás ejercicios paso a paso de manera clara y sencilla.
¿Qué tan probable es que ocurra algo?
La probabilidad es la rama de las matemáticas que estudia el azar y la incertidumbre. Nos permite calcular con exactitud qué tan posible es que un evento suceda, desde el lanzamiento de una moneda hasta los pronósticos del tiempo.
¿Qué es la probabilidad?
La probabilidad es un número que mide la posibilidad de que ocurra un evento. Siempre está entre 0 y 1 (o entre 0% y 100%).
Definición clásica (Laplace): La probabilidad de un evento A es el cociente entre el número de casos favorables y el número de casos posibles, siempre que todos los resultados sean igualmente probables.
Fórmula de Laplace
P(A)
=
Número de casos favorables
Número de casos posibles (total)
siempre que todos los casos sean igualmente probables
También escrita como: \( P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} \)
Escala de probabilidad: el resultado siempre está entre 0 y 1.
Escala de probabilidad
0
Imposible
0,25
Poco
probable
probable
0,5
Igual de
probable
probable
0,75
Muy
probable
probable
1
Seguro
P = 0 → Imposible
P = 0,5 → Equiprobable
P = 1 → Seguro
Conceptos fundamentales
🌐 Espacio muestral (Ω)
Conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio.
Dado: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Moneda: Ω = {cara, cruz}
Dado: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Moneda: Ω = {cara, cruz}
🎯 Suceso o evento (A)
Cualquier subconjunto del espacio muestral. Es el resultado que nos interesa estudiar.
Sacar par: A = {2, 4, 6}
Cara en moneda: A = {cara}
Sacar par: A = {2, 4, 6}
Cara en moneda: A = {cara}
✅ Casos favorables n(A)
Número de resultados del espacio muestral que pertenecen al suceso que nos interesa.
Sacar par: n(A) = 3 (hay tres pares)
Sacar par: n(A) = 3 (hay tres pares)
🔢 Casos totales n(Ω)
Número total de resultados posibles del experimento. Es el tamaño del espacio muestral.
Dado: n(Ω) = 6
Baraja: n(Ω) = 40 o 52
Dado: n(Ω) = 6
Baraja: n(Ω) = 40 o 52
🔁 Experimento aleatorio
Proceso cuyo resultado no se puede predecir con certeza antes de realizarlo, aunque se conocen todos los posibles.
Lanzar dado, extraer carta
Lanzar dado, extraer carta
🚫 Suceso complementario Ā
Suceso que ocurre cuando A no ocurre. Su probabilidad suma 1 con la de A.
\( P(\bar{A}) = 1 – P(A) \)
\( P(\bar{A}) = 1 – P(A) \)
Tipos de sucesos
| Tipo de suceso | Definición | Probabilidad | Ejemplo |
|---|---|---|---|
| Seguro (Ω) | Siempre ocurre, incluye todos los resultados | \( P = 1 \) | Sacar un número del 1 al 6 con un dado |
| Imposible (∅) | Nunca puede ocurrir | \( P = 0 \) | Sacar un 7 con un dado de 6 caras |
| Elemental | Tiene un solo resultado posible | \( P = \frac{1}{n(\Omega)} \) | Sacar exactamente el número 3 |
| Compuesto | Tiene más de un resultado favorable | \( P = \frac{n(A)}{n(\Omega)} \) | Sacar un número par {2,4,6} |
| Complementario (Ā) | Lo contrario del suceso A | \( P = 1 – P(A) \) | No sacar par = sacar impar |
Propiedades básicas de la probabilidad
Propiedad 1 — Acotación: La probabilidad siempre está entre 0 y 1.
\[ 0 \leq P(A) \leq 1 \]
\[ 0 \leq P(A) \leq 1 \]
Propiedad 2 — Certeza: La probabilidad del espacio muestral completo es 1.
\[ P(\Omega) = 1 \]
\[ P(\Omega) = 1 \]
Propiedad 3 — Imposibilidad: La probabilidad del suceso vacío es 0.
\[ P(\emptyset) = 0 \]
\[ P(\emptyset) = 0 \]
Propiedad 4 — Complementario: La probabilidad del complementario vale 1 menos la probabilidad del suceso.
\[ P(\bar{A}) = 1 – P(A) \]
\[ P(\bar{A}) = 1 – P(A) \]
Propiedad 5 — Adición (sucesos incompatibles): Si A y B no pueden ocurrir a la vez, la probabilidad de que ocurra A o B es la suma de sus probabilidades individuales.
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) \quad \text{si } A \cap B = \emptyset \]
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) \quad \text{si } A \cap B = \emptyset \]
💡
Nota importante: Si los sucesos A y B no son incompatibles (pueden ocurrir a la vez), se usa la regla general de adición: \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) \). Esto se verá en probabilidad avanzada.
Pasos para calcular una probabilidad
1
Identificar el experimento aleatorio
¿Qué se está haciendo? (lanzar dado, extraer carta, elegir persona…)
2
Escribir el espacio muestral Ω
Listar todos los resultados posibles y contar: n(Ω).
3
Definir el suceso A
¿Qué resultados favorecen el evento que buscamos? Contar: n(A).
4
Aplicar la fórmula de Laplace
\[ P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} \]
5
Expresar el resultado
Como fracción, decimal y porcentaje. Verificar que está entre 0 y 1.
Ejemplo rápido
¿Cuál es la probabilidad de sacar un número mayor que 4 al lanzar un dado?
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} → n(Ω) = 6
A = {5, 6} → n(A) = 2
\[ P(A) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \approx 0{,}33 = 33\% \]
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} → n(Ω) = 6
A = {5, 6} → n(A) = 2
\[ P(A) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \approx 0{,}33 = 33\% \]
6. Resumen — Lo que debes recordar
Fórmula principal
\( P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} \)
Rango
\( 0 \leq P(A) \leq 1 \)
Complementario
\( P(\bar{A}) = 1 – P(A) \)
Sucesos incompatibles
\( P(A\cup B) = P(A)+P(B) \)
Suceso seguro
\( P(\Omega) = 1 \)
Suceso imposible
\( P(\emptyset) = 0 \)
Ejemplos resueltos paso a paso
E1
🎲 Dado · Nivel básico
Se lanza un dado de 6 caras. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par?
1
Espacio muestral
\[ \Omega = \{1,2,3,4,5,6\} \quad n(\Omega)=6 \]2
Suceso A = obtener par
\[ A = \{2,4,6\} \quad n(A)=3 \]3
Aplicar fórmula
\[ P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 0{,}5 = 50\% \]✅ Verificación — complementario
\[ P(\text{impar}) = 1 – P(\text{par}) = 1 – \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \quad✅ \]
Resultado
\( P(\text{par}) = \frac{1}{2} = 50\% \)
E2
🪙 Moneda · Nivel básico
Se lanza una moneda al aire. ¿Cuál es la probabilidad de obtener cara?
1
Espacio muestral
\[ \Omega = \{\text{cara},\text{cruz}\} \quad n(\Omega)=2 \]2
Suceso A = cara
\[ A = \{\text{cara}\} \quad n(A)=1 \]3
Fórmula
\[ P(A) = \frac{1}{2} = 0{,}5 = 50\% \]Resultado
\( P(\text{cara}) = \frac{1}{2} = 50\% \)
E3
🃏 Baraja · Nivel intermedio
De una baraja española de 40 cartas se extrae una al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que sea un as?
1
Espacio muestral
40 cartas en total → n(Ω) = 402
Suceso A = sacar un as
Hay 4 ases (uno por palo) → n(A) = 43
Fórmula
\[ P(A) = \frac{4}{40} = \frac{1}{10} = 0{,}1 = 10\% \]✅ Verificación
\[ P(\text{no as}) = 1 – \frac{1}{10} = \frac{9}{10} = 90\% \quad✅ \]
Resultado
\( P(\text{as}) = \frac{1}{10} = 10\% \)
E4
🎰 Dado · Complementario
Se lanza un dado. ¿Cuál es la probabilidad de NO sacar un 6?
1
Calcular primero P(sacar 6)
\[ P(6) = \frac{1}{6} \]2
Usar el complementario
\[ P(\overline{A}) = 1 – P(A) \]3
Calcular
\[ P(\text{no }6) = 1 – \frac{1}{6} = \frac{5}{6} \approx 0{,}833 = 83{,}3\% \]Resultado
\( P(\text{no }6) = \frac{5}{6} \approx 83{,}3\% \)
E5
🎒 Bolsa · Sucesos incompatibles
Una bolsa contiene 5 bolas rojas, 3 azules y 2 verdes. Se extrae una al azar. ¿Cuál es la probabilidad de sacar roja o azul?
1
Espacio muestral
Total de bolas: 5+3+2 = 10 → n(Ω) = 102
P(roja) y P(azul) — son incompatibles (no puede ser roja Y azul a la vez)
\[ P(\text{roja}) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \qquad P(\text{azul}) = \frac{3}{10} \]3
Regla de la adición para incompatibles
\[ P(\text{roja} \cup \text{azul}) = \frac{5}{10} + \frac{3}{10} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5} = 80\% \]Resultado
\( P(\text{roja o azul}) = \frac{4}{5} = 80\% \)
E6
👥 Grupo de personas · Nivel intermedio
En un grupo de 30 estudiantes, 12 practican fútbol, 8 practican básquet y 10 no practican ningún deporte. Si se elige un estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que practique algún deporte?
1
Total
n(Ω) = 30 estudiantes2
Casos favorables — que practique algún deporte
12 (fútbol) + 8 (básquet) = 20 estudiantes → n(A) = 203
Fórmula
\[ P(A) = \frac{20}{30} = \frac{2}{3} \approx 0{,}667 = 66{,}7\% \]4
Complementario — que NO practique
\[ P(\bar{A}) = \frac{10}{30} = \frac{1}{3} \approx 33{,}3\% \quad✅ \]Resultado
\( P(\text{deporte}) = \frac{2}{3} \approx 66{,}7\% \)
No, nunca. La probabilidad siempre está en el intervalo [0, 1]. Si obtienes un resultado negativo o mayor que 1, hay un error en el cálculo.
💡
Regla rápida: si tu resultado no está entre 0% y 100%, vuelve a revisar si confundiste los casos favorables con los totales, o si sumaste probabilidades incorrectamente.
Aprende Probabilidad de forma visual e interactiva
Antes de continuar con los ejercicios, puedes utilizar nuestra calculadora educativa para comprender cómo funciona la probabilidad paso a paso, visualizar resultados y practicar de manera más dinámica.
Calculadora de Probabilidades
MATE PASO A PASO
PROBABILIDADES
Práctica sin límites. Elige un modelo físico para crear dinámicamente un problema con identificación matemática aislada de parámetros antes de su resolución.
1. Elige la Naturaleza del Experimento
⚄ ⚀
Espacio de Dados
◎ ◎
Lanzamientos Sucesivos
♠ ♥
Muestreo de Naipes
⎊
Sectores de Ruleta
○ ●
Urna Probabilística
⋃ ⋂
Teorema de Eventos
📝 Cuadro A: Problema de Azar Generado
Cargando enunciado analítico...
📘 Cuadro B: Identificación Previa de Parámetros
Espacio Muestral Total ($\Omega$)
Genera un problema para aislar el universo de posibilidades totales.
N_posibles = ?
Evento Probable Solicitado ($A$)
Genera un problema para aislar the condición del evento.
N_favorables = ?
⚡ Cuadro C: Demostración Matemática y Visual Síncrona
Simulador Físico en Tiempo Real
Mesa lista para la acción.
💬 Consultas del Teorema Actual
Pregúntame cualquier duda sobre el ejercicio actual.
20 Ejercicios de Probabilidad
🟢 NIVEL 1 — Básico · Fórmula directa
01
🎲 Dado · Suceso elemental
Se lanza un dado de seis caras. ¿Cuál es la probabilidad de obtener el número 5?
1
Identificar el experimento y el espacio muestral
El experimento es lanzar un dado de 6 caras. Todos los resultados son igualmente posibles.
\[ \Omega = \{1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6\} \quad \Rightarrow \quad n(\Omega) = 6 \]
2
Definir el suceso A
El suceso A es "obtener el 5". Solo hay un resultado que satisface esta condición.
\[ A = \{5\} \quad \Rightarrow \quad n(A) = 1 \]
3
Aplicar la fórmula de Laplace
\[ P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{1}{6} \]
4
Expresar el resultado en fracción, decimal y porcentaje
\[ P(A) = \frac{1}{6} \approx 0{,}1\overline{6} \approx 16{,}7\% \]
✅ Verificación
Las 6 caras son igualmente probables, cada una con P = 1/6. La suma de todas: \( 6 \times \frac{1}{6} = 1 \quad ✅ \)
Solución final
\( P(\text{sacar 5}) = \frac{1}{6} \approx 16{,}7\% \)
02
🪙 Moneda · Complementario
Se lanza una moneda al aire. ¿Cuál es la probabilidad de obtener cruz? ¿Y de NO obtener cruz?
1
Espacio muestral
Una moneda solo puede caer de dos formas: cara o cruz.
\[ \Omega = \{\text{cara},\,\text{cruz}\} \quad \Rightarrow \quad n(\Omega) = 2 \]
2
Suceso A = obtener cruz
\[ A = \{\text{cruz}\} \quad \Rightarrow \quad n(A) = 1 \]
3
Calcular P(A)
\[ P(\text{cruz}) = \frac{1}{2} = 0{,}5 = 50\% \]
4
Calcular el complementario P(Ā) = no obtener cruz
El suceso contrario es "obtener cara". Usamos la propiedad del complementario.
\[ P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} = 50\% \]
✅ Verificación
\[ P(\text{cruz}) + P(\text{cara}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 \quad ✅ \]
Solución final
\( P(\text{cruz}) = \frac{1}{2} = 50\% \qquad P(\text{no cruz}) = \frac{1}{2} = 50\% \)
03
🎒 Bolsa de bolas · Fracción simplificada
Una bolsa contiene 4 bolas rojas y 6 bolas azules. Se extrae una bola al azar. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bola roja?
1
Total de bolas en la bolsa
\[ n(\Omega) = 4\,(\text{rojas}) + 6\,(\text{azules}) = 10 \text{ bolas} \]
2
Suceso A = sacar bola roja
\[ A = \{\text{bola roja}\} \quad \Rightarrow \quad n(A) = 4 \]
3
Aplicar la fórmula y simplificar
\[ P(A) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} \]
4
Resultado completo
\[ P(\text{roja}) = \frac{2}{5} = 0{,}4 = 40\% \]
✅ Verificación con el complementario
\[ P(\text{azul}) = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} = 60\% \quad \Rightarrow \quad 40\% + 60\% = 100\% \quad ✅ \]
Solución final
\( P(\text{roja}) = \frac{2}{5} = 40\% \)
04
🎲 Dado · Suceso compuesto
Se lanza un dado. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número mayor que 4?
1
Espacio muestral completo
\[ \Omega = \{1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6\} \quad \Rightarrow \quad n(\Omega) = 6 \]
2
Suceso A = número mayor que 4
Los números mayores que 4 son el 5 y el 6.
\[ A = \{5,\,6\} \quad \Rightarrow \quad n(A) = 2 \]
3
Calcular la probabilidad
\[ P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \]
4
Expresar el resultado
\[ P(\text{mayor que 4}) = \frac{1}{3} \approx 0{,}333 = 33{,}3\% \]
✅ Verificación con el complementario
Números menores o iguales que 4: {1,2,3,4} → P = 4/6 = 2/3 \[ \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1 \quad ✅ \]
Solución final
\( P(\text{mayor que 4}) = \frac{1}{3} \approx 33{,}3\% \)
05
☔ Dato dado · Usar complementario
La probabilidad de que llueva mañana es 0,35. ¿Cuál es la probabilidad de que NO llueva?
1
Dato que nos dan
\[ P(\text{lluvia}) = 0{,}35 \]
2
Identificar el suceso complementario
El complementario de "lluvia" es "no lluvia". Los dos sucesos cubren todas las posibilidades, por lo que sus probabilidades suman 1.
\[ P(\text{lluvia}) + P(\overline{\text{lluvia}}) = 1 \]
3
Aplicar la fórmula del complementario
\[ P(\overline{A}) = 1 - P(A) \]
4
Calcular
\[ P(\text{no lluvia}) = 1 - 0{,}35 = 0{,}65 = 65\% \]
✅ Verificación
\[ 0{,}35 + 0{,}65 = 1{,}00 \quad ✅ \]
Solución final
\( P(\text{no lluvia}) = 0{,}65 = 65\% \)
🔵 NIVEL 2 — Elemental · Baraja, grupos y sucesos incompatibles
06
🃏 Baraja española · 40 cartas
De una baraja española de 40 cartas se saca una al azar. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una figura (sota, caballo o rey)?
1
Espacio muestral
La baraja española tiene 40 cartas (4 palos × 10 cartas cada uno).
\[ n(\Omega) = 40 \]
2
Contar las figuras
Hay 3 figuras por palo (sota, caballo, rey) y 4 palos (oros, copas, espadas, bastos).
\[ n(A) = 3 \times 4 = 12 \text{ figuras} \]
3
Aplicar la fórmula
\[ P(A) = \frac{12}{40} = \frac{3}{10} \]
4
Resultado
\[ P(\text{figura}) = \frac{3}{10} = 0{,}3 = 30\% \]
✅ Verificación
\[ P(\text{no figura}) = \frac{28}{40} = \frac{7}{10} = 70\% \qquad 30\% + 70\% = 100\% \quad ✅ \]
Solución final
\( P(\text{figura}) = \frac{3}{10} = 30\% \)
07
👥 Grupo de personas · Datos tabulados
En un grupo de 30 estudiantes: 12 practican fútbol, 8 practican básquet y 10 no practican ningún deporte. Si se elige un estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que practique algún deporte?
1
Organizar los datos
| Deporte | Nº de estudiantes |
|---|---|
| Fútbol | 12 |
| Básquet | 8 |
| Ninguno | 10 |
| Total | 30 |
\[ n(\Omega) = 30 \]
2
Suceso A = "practica algún deporte"
Son los estudiantes de fútbol más los de básquet. Como los grupos no se solapan, se suman directamente.
\[ n(A) = 12 + 8 = 20 \text{ estudiantes} \]
3
Calcular la probabilidad
\[ P(A) = \frac{20}{30} = \frac{2}{3} \approx 0{,}667 \]
4
Complementario: P(ningún deporte)
\[ P(\overline{A}) = \frac{10}{30} = \frac{1}{3} \approx 33{,}3\% \quad \Rightarrow \quad P(A) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \approx 66{,}7\% \]
✅ Verificación
\[ \frac{2}{3} + \frac{1}{3} = 1 \quad ✅ \]
Solución final
\( P(\text{deporte}) = \frac{2}{3} \approx 66{,}7\% \)
08
🎲 Dado · Sucesos incompatibles y adición
Se lanza un dado. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par O un número menor que 3?
1
Espacio muestral y definir los dos sucesos
\[ \Omega=\{1,2,3,4,5,6\} \quad A=\text{par}=\{2,4,6\} \quad B=\text{menor que }3=\{1,2\} \]
2
¿Son incompatibles? — Buscar la intersección
El 2 pertenece a los dos conjuntos, por lo que A y B NO son incompatibles.
\[ A \cap B = \{2\} \quad \Rightarrow \quad n(A \cap B) = 1 \]
3
Aplicar la regla general de adición
Como no son incompatibles, usamos: \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \)
\[ P(A\cup B) = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} - \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \]
4
Verificar listando la unión directamente
\[ A \cup B = \{1,2,4,6\} \quad n=4 \quad \Rightarrow \quad P = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \approx 66{,}7\% \quad ✅ \]
💡
El 2 es par Y menor que 3. Si sumáramos directamente 3/6 + 2/6 contaríamos el 2 dos veces, obteniendo 5/6 en lugar de 4/6. Por eso restamos la intersección.
Solución final
\( P(\text{par o menor que 3}) = \frac{2}{3} \approx 66{,}7\% \)
09
🎒 Bolsa · Sucesos incompatibles correctos
Una bolsa tiene 5 bolas rojas, 3 azules y 2 verdes. Se extrae una bola. ¿Cuál es la probabilidad de sacar roja o azul?
1
Total de bolas y probabilidades individuales
\[ n(\Omega)=10 \quad P(\text{roja})=\frac{5}{10} \quad P(\text{azul})=\frac{3}{10} \]
2
¿Son incompatibles? Sí: una bola no puede ser roja Y azul a la vez
\[ A \cap B = \emptyset \quad \Rightarrow \quad P(A \cap B) = 0 \]
3
Aplicar la adición para sucesos incompatibles
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{5}{10} + \frac{3}{10} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5} \]
4
Resultado
\[ P(\text{roja o azul}) = \frac{4}{5} = 0{,}8 = 80\% \]
✅ Verificación directa
Bolas rojas o azules: 5+3 = 8 de 10 totales → \( \frac{8}{10} = 80\% \quad ✅ \)
Solución final
\( P(\text{roja o azul}) = \frac{4}{5} = 80\% \)
10
📊 Probabilidades dadas · Operar con fracciones
P(A) = 2/5 y P(B) = 1/3. Los sucesos A y B son incompatibles. Calcula P(A ∪ B) y P(complementario de A ∪ B).
1
Datos del problema
\[ P(A)=\frac{2}{5} \quad P(B)=\frac{1}{3} \quad A \cap B = \emptyset \]
2
Calcular P(A ∪ B) — suma de incompatibles
Necesitamos el mínimo común múltiplo de 5 y 3, que es 15.
\[ P(A \cup B) = \frac{2}{5} + \frac{1}{3} = \frac{6}{15} + \frac{5}{15} = \frac{11}{15} \]
3
Calcular el complementario de (A ∪ B)
\[ P\!\left(\overline{A \cup B}\right) = 1 - P(A \cup B) = 1 - \frac{11}{15} = \frac{4}{15} \]
4
Resultado completo
\[ P(A\cup B) = \frac{11}{15} \approx 73{,}3\% \qquad P\!\left(\overline{A\cup B}\right) = \frac{4}{15} \approx 26{,}7\% \]
✅ Verificación
\[ \frac{11}{15} + \frac{4}{15} = \frac{15}{15} = 1 \quad ✅ \]
Solución final
\( P(A \cup B) = \frac{11}{15} \approx 73{,}3\% \qquad P\!\left(\overline{A \cup B}\right) = \frac{4}{15} \approx 26{,}7\% \)
🟡 NIVEL 3 — Intermedio · Dos experimentos y espacio producto
11
🪙🪙 Dos monedas · Espacio producto
Se lanzan dos monedas a la vez. ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente una cara?
1
Construir el espacio muestral completo (C=cara, X=cruz)
Con dos monedas hay \(2^2 = 4\) resultados posibles.
\[ \Omega = \{CC,\;CX,\;XC,\;XX\} \quad \Rightarrow \quad n(\Omega)=4 \]
2
Suceso A = exactamente una cara
Los casos favorables son: cara en la primera y cruz en la segunda (CX), o cruz en la primera y cara en la segunda (XC).
\[ A = \{CX,\;XC\} \quad \Rightarrow \quad n(A)=2 \]
3
Calcular la probabilidad
\[ P(A) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 50\% \]
4
Tabla completa del espacio muestral
| Resultado | Caras | ¿Favorece A? |
|---|---|---|
| CC | 2 | No |
| CX | 1 | Sí ✓ |
| XC | 1 | Sí ✓ |
| XX | 0 | No |
\[ P(\text{exactamente 1 cara}) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 50\% \]
Solución final
\( P(\text{exactamente 1 cara}) = \frac{1}{2} = 50\% \)
12
🎲🎲 Dos dados · Suma igual a 7
Se lanzan dos dados. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de las dos caras sea igual a 7?
1
Espacio muestral — dos dados
Cada dado tiene 6 caras, luego hay \(6 \times 6 = 36\) pares ordenados posibles.
\[ n(\Omega) = 6 \times 6 = 36 \]
2
Listar los casos cuya suma es 7
| Dado 1 | Dado 2 | Suma |
|---|---|---|
| 1 | 6 | 7 ✓ |
| 2 | 5 | 7 ✓ |
| 3 | 4 | 7 ✓ |
| 4 | 3 | 7 ✓ |
| 5 | 2 | 7 ✓ |
| 6 | 1 | 7 ✓ |
\[ A = \{(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)\} \quad \Rightarrow \quad n(A)=6 \]
3
Aplicar la fórmula
\[ P(\text{suma}=7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \approx 16{,}7\% \]
💡La suma 7 es la más probable al lanzar dos dados, pues tiene 6 combinaciones favorables, más que cualquier otra suma.
Solución final
\( P(\text{suma} = 7) = \frac{1}{6} \approx 16{,}7\% \)
13
🎒 Bolsa · Sin reposición · Dos extracciones
Una urna contiene 6 bolas numeradas del 1 al 6. Se extraen dos bolas sin reposición. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos sean pares?
1
Espacio muestral — sin reposición y ordenado
La primera bola tiene 6 opciones; la segunda, solo 5 (la primera no se devuelve).
\[ n(\Omega) = 6 \times 5 = 30 \text{ pares ordenados} \]
2
Casos favorables — las dos bolas pares
Las bolas pares son: {2, 4, 6} → 3 bolas.La primera puede ser cualquiera de las 3 pares; la segunda, una de las 2 pares restantes.
\[ n(A) = 3 \times 2 = 6 \text{ pares ordenados favorables} \]
3
Probabilidad
\[ P(A) = \frac{6}{30} = \frac{1}{5} \]
4
Resultado alternativo usando probabilidades condicionales
\[ P(A) = \frac{3}{6} \times \frac{2}{5} = \frac{1}{2} \times \frac{2}{5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} = 20\% \quad ✅ \]
Solución final
\( P(\text{dos pares}) = \frac{1}{5} = 20\% \)
14
🎲🎲 Dos dados · Suma mayor que 9
Se lanzan dos dados. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea estrictamente mayor que 9?
1
Espacio muestral
\[ n(\Omega) = 6 \times 6 = 36 \]
2
Listar todos los pares con suma mayor que 9 (es decir, suma 10, 11 o 12)
| Suma | Pares favorables | Cantidad |
|---|---|---|
| 10 | (4,6),(5,5),(6,4) | 3 |
| 11 | (5,6),(6,5) | 2 |
| 12 | (6,6) | 1 |
\[ n(A) = 3 + 2 + 1 = 6 \]
3
Calcular la probabilidad
\[ P(\text{suma}>9) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \approx 16{,}7\% \]
Solución final
\( P(\text{suma} > 9) = \frac{1}{6} \approx 16{,}7\% \)
15
💡 Bombillas · Sin reposición condicional
Una caja contiene 5 bombillas buenas y 3 defectuosas. Se saca una y, si es buena, no se devuelve. ¿Cuál es la probabilidad de que la segunda también sea buena?
1
Situación inicial
\[ \text{Caja inicial: } 5\,\text{buenas} + 3\,\text{defectuosas} = 8\,\text{bombillas} \]
2
Condición — la primera fue buena y NO se devuelve
Tras sacar una buena, la caja queda con 4 buenas y 3 defectuosas (7 bombillas en total).
\[ \text{Caja tras 1ª extracción: } 4\,\text{buenas} + 3\,\text{defectuosas} = 7\,\text{bombillas} \]
3
Probabilidad de que la 2ª sea buena dado que la 1ª fue buena
\[ P(\text{2ª buena} \mid \text{1ª buena}) = \frac{4}{7} \]
4
Resultado
\[ P(\text{2ª buena}\mid\text{1ª buena}) = \frac{4}{7} \approx 0{,}571 = 57{,}1\% \]
💡Este es un ejemplo de probabilidad condicionada: el resultado del primer experimento modifica el espacio muestral del segundo. Sin reposición, el total disminuye.
Solución final
\( P(\text{2ª buena} \mid \text{1ª buena}) = \frac{4}{7} \approx 57{,}1\% \)
🔴 NIVEL 4 — Avanzado · Regla general, probabilidad total y multiplicación
16
🃏 Baraja 52 · Dos extracciones sin reposición
Se extraen 2 cartas de una baraja de 52 sin reposición. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos sean ases?
1
Situación inicial
La baraja tiene 52 cartas, de las cuales 4 son ases (uno por palo).
\[ n(\Omega)=52 \quad \text{Ases: }4 \]
2
Probabilidad de que la 1ª carta sea un as
\[ P(\text{1º as}) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13} \]
3
Probabilidad condicional: 2ª as DADO que la 1ª fue as
Sin reposición: ahora quedan 51 cartas y solo 3 ases.
\[ P(\text{2º as}\mid\text{1º as}) = \frac{3}{51} = \frac{1}{17} \]
4
Multiplicar las probabilidades (regla de la multiplicación)
\[ P(\text{dos ases}) = \frac{1}{13} \times \frac{1}{17} = \frac{1}{221} \approx 0{,}0045 = 0{,}45\% \]
✅ Verificación alternativa (combinatoria)
\[ P = \frac{\binom{4}{2}}{\binom{52}{2}} = \frac{6}{1326} = \frac{1}{221} \quad ✅ \]
Solución final
\( P(\text{dos ases}) = \frac{1}{221} \approx 0{,}45\% \)
17
📊 Regla general de adición · No incompatibles
P(A) = 0,4; P(B) = 0,5; P(A ∩ B) = 0,2. Los sucesos NO son incompatibles. Calcula P(A ∪ B) y P(solo A, no B).
1
Datos
\[ P(A)=0{,}4 \quad P(B)=0{,}5 \quad P(A\cap B)=0{,}2 \]
2
Calcular P(A ∪ B) con la regla general de adición
Como A y B pueden ocurrir a la vez, no se pueden sumar directamente. Hay que restar la intersección para no contarla dos veces.
\[ P(A\cup B) = P(A)+P(B)-P(A\cap B) = 0{,}4+0{,}5-0{,}2 \]
\[ P(A\cup B) = 0{,}7 = 70\% \]
3
Calcular P(solo A, no B) = P(A) − P(A ∩ B)
La probabilidad de A que no comparte con B es la parte exclusiva de A.
\[ P(A \setminus B) = P(A) - P(A\cap B) = 0{,}4 - 0{,}2 = 0{,}2 = 20\% \]
✅ Verificación mediante el diagrama de Venn
Solo A: 0,2 · Solo B: 0,3 · A∩B: 0,2 · Ninguno: 0,3 → \( 0{,}2+0{,}3+0{,}2+0{,}3 = 1 \quad ✅ \)
Solución final
\( P(A \cup B) = 0{,}7 = 70\% \qquad P(\text{solo }A) = 0{,}2 = 20\% \)
18
🎒 Urna · Tres extracciones sin reposición
Una urna tiene 4 bolas rojas y 6 azules. Se extraen 3 bolas sin reposición. ¿Cuál es la probabilidad de que las tres sean azules?
1
Situación inicial
\[ \text{Urna: } 4\,\text{rojas} + 6\,\text{azules} = 10\,\text{bolas} \]
2
Probabilidad de cada extracción (sin reposición, se va reduciendo)
| Extracción | Azules en urna | Total en urna | P(azul) |
|---|---|---|---|
| 1ª | 6 | 10 | \(\frac{6}{10}\) |
| 2ª | 5 | 9 | \(\frac{5}{9}\) |
| 3ª | 4 | 8 | \(\frac{4}{8}\) |
3
Multiplicar las tres probabilidades (regla de la multiplicación)
\[ P(\text{3 azules}) = \frac{6}{10} \times \frac{5}{9} \times \frac{4}{8} = \frac{6 \times 5 \times 4}{10 \times 9 \times 8} = \frac{120}{720} \]
4
Simplificar y obtener el resultado
\[ \frac{120}{720} = \frac{1}{6} \approx 0{,}1\overline{6} = 16{,}7\% \]
Solución final
\( P(\text{3 azules}) = \frac{1}{6} \approx 16{,}7\% \)
19
🏢 Empresa · Probabilidad total
En una empresa el 60% son hombres y el 40% mujeres. El 30% de los hombres y el 20% de las mujeres usan transporte público. Si se elige un empleado al azar, ¿cuál es la probabilidad de que use transporte público?
1
Organizar todos los datos del problema
| Grupo | P(grupo) | P(transporte | grupo) |
|---|---|---|
| Hombres (H) | 0,60 | 0,30 |
| Mujeres (M) | 0,40 | 0,20 |
2
Aplicar el Teorema de la Probabilidad Total
\[ P(T) = P(T\mid H)\cdot P(H) + P(T\mid M)\cdot P(M) \]
3
Sustituir los datos y calcular cada parte
\[ P(T) = 0{,}30 \times 0{,}60 + 0{,}20 \times 0{,}40 = 0{,}18 + 0{,}08 \]
4
Resultado final
\[ P(\text{transporte público}) = 0{,}26 = 26\% \]
💡El Teorema de la Probabilidad Total se usa cuando el suceso puede llegar por distintos caminos (hombres o mujeres). Se pondera cada probabilidad condicional por la probabilidad del grupo.
Solución final
\( P(\text{transporte público}) = 0{,}26 = 26\% \)
20
🎲 Problema completo · Combina varias propiedades
Se lanza un dado. Sea A = "número par" y B = "número mayor que 3". Calcula P(A), P(B), P(A ∩ B), P(A ∪ B) y verifica con el complementario.
1
Definir espacio muestral y los dos sucesos
\[ \Omega=\{1,2,3,4,5,6\} \quad A=\{2,4,6\} \quad B=\{4,5,6\} \]
2
Calcular P(A) y P(B)
\[ P(A)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2} \qquad P(B)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2} \]
3
Calcular la intersección A ∩ B (par Y mayor que 3)
Los números que son pares y mayores que 3: el 4 y el 6.
\[ A\cap B = \{4,6\} \quad n(A\cap B)=2 \quad \Rightarrow \quad P(A\cap B)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3} \]
4
Calcular la unión A ∪ B (par O mayor que 3)
\[ A\cup B=\{2,4,5,6\} \quad n=4 \quad P(A\cup B)=\frac{4}{6}=\frac{2}{3} \]
5
Verificar con la regla general de adición
\[ P(A\cup B) = P(A)+P(B)-P(A\cap B) = \frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3} = 1-\frac{1}{3} = \frac{2}{3} \quad ✅ \]
✅ Verificación con el complementario
Complementario de (A ∪ B): números que son impares Y menores o iguales a 3 → {1, 3} → \( \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \)
\[ \frac{2}{3} + \frac{1}{3} = 1 \quad ✅ \]
\[ \frac{2}{3} + \frac{1}{3} = 1 \quad ✅ \]
Resumen completo
\( P(A)=\frac{1}{2} \quad P(B)=\frac{1}{2} \quad P(A\cap B)=\frac{1}{3} \quad P(A\cup B)=\frac{2}{3} \)
Errores comunes al calcular probabilidades
Estos son los cuatro errores que cometen con más frecuencia los estudiantes. Conocerlos es el primer paso para evitarlos.
ERROR #1
Confundir casos favorables con casos totales
❌ Lo incorrecto
P(par) = 3
Solo cuentan los casos favorables y olvidan dividir entre el total.
✅ Lo correcto
P(par) = 3/6 = 1/2
La probabilidad ES una fracción: favorables ÷ totales.
💡 La probabilidad SIEMPRE es una fracción (o decimal) entre 0 y 1. Si te sale un número entero mayor que 1, algo está mal.
ERROR #2
Sumar probabilidades cuando los sucesos NO son incompatibles
❌ Lo incorrecto
P(par o >3) = 3/6 + 3/6 = 1
Suman P(par) y P(mayor que 3) sin restar la intersección. ¡Pero el 4 y el 6 son a la vez pares Y mayores que 3!
✅ Lo correcto
P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)
Par∪mayor3 = {2,4,6}∪{4,5,6} = {2,4,5,6} → 4/6 = 2/3
💡 Antes de sumar probabilidades, pregúntate: ¿Pueden ocurrir a la vez? Si la respuesta es sí, debes restar la intersección.
ERROR #3
Olvidar que con reposición y sin reposición son cálculos distintos
❌ Lo incorrecto
P(2 rojas) = 4/10 × 4/10
Usan el mismo denominador en la segunda extracción, como si hubiera reposición, pero el enunciado dice "sin reposición".
✅ Lo correcto
P(2 rojas) = 4/10 × 3/9
Sin reposición: tras sacar la primera bola roja quedan 3 rojas de 9 en total.
💡 Lee siempre el enunciado con atención. "Sin reposición" significa que el total disminuye en cada extracción.
ERROR #4
Confundir el complementario: restar del número de casos, no de 1
❌ Lo incorrecto
P(no 3) = 6 − 1 = 5
Restan los casos favorables de los totales y olvidan dividir. Obtienen un número que no es probabilidad.
✅ Lo correcto
P(no 3) = 1 − 1/6 = 5/6
El complementario siempre se calcula como 1 menos la probabilidad del suceso original.
💡 La fórmula del complementario es P(Ā) = 1 − P(A). Siempre resta de 1, nunca del número de casos.
Preguntas frecuentes sobre probabilidad
🤔
¿La probabilidad puede ser mayor que 1 o menor que 0?
▼
No, nunca. La probabilidad siempre está en el intervalo [0, 1]. Si obtienes un resultado negativo o mayor que 1, hay un error en el cálculo.
💡
Regla rápida: si tu resultado no está entre 0% y 100%, vuelve a revisar si confundiste los casos favorables con los totales, o si sumaste probabilidades incorrectamente.
🎲
¿Qué diferencia hay entre sucesos independientes e incompatibles?
▼
Sucesos incompatibles: no pueden ocurrir a la vez. Por ejemplo, sacar cara Y cruz en el mismo lanzamiento es imposible. P(A ∩ B) = 0.
Sucesos independientes: el resultado de uno no afecta al otro. Por ejemplo, lanzar un dado y una moneda: lo que salga en el dado no influye en la moneda.
⚠️
Cuidado: dos sucesos pueden ser incompatibles pero no independientes. Si son incompatibles con probabilidades positivas, siempre son dependientes (saber que ocurrió uno implica que el otro no ocurrió).
🔢
¿Cómo sé si debo usar probabilidad con o sin reposición?
▼
Lee el enunciado con atención y busca estas palabras clave:
- Con reposición / con devolución: el objeto vuelve antes de la siguiente extracción. El total no cambia.
- Sin reposición / sin devolución: el objeto NO vuelve. El total disminuye en 1 en cada paso.
- Si el enunciado no aclara nada (por ejemplo, "se extraen 2 cartas"), generalmente es sin reposición.
🎯
Forma de detectarlo: si en el enunciado se menciona "se devuelve" o "se vuelve a introducir", es CON reposición. Si dice "se guarda" o no dice nada, es SIN reposición.
📊
¿En qué se diferencia la probabilidad teórica de la frecuencia relativa?
▼
Probabilidad teórica: se calcula con la fórmula de Laplace, sin necesidad de hacer el experimento. Requiere que todos los resultados sean igualmente probables.
\[ P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} \]
Frecuencia relativa: se obtiene después de realizar el experimento muchas veces. Es el cociente entre las veces que ocurrió A y el número total de repeticiones.
\[ f_r(A) = \frac{\text{veces que ocurrió A}}{\text{total de repeticiones}} \]
📈
La Ley de los Grandes Números dice que cuanto más repites el experimento, más se acerca la frecuencia relativa a la probabilidad teórica.
🏅
¿Cuál es la diferencia entre probabilidad y estadística?
▼
Son dos caras de la misma moneda, pero con direcciones opuestas:
- Probabilidad → del modelo a los datos: conocemos cómo funciona el experimento (un dado justo, por ejemplo) y predecimos qué resultados obtendremos.
- Estadística → de los datos al modelo: tenemos datos reales y queremos extraer conclusiones sobre la población que los generó.
🔬
Ejemplo: la probabilidad dice "si lanzas un dado 600 veces, esperas obtener unos 100 cincos". La estadística dice "lancé un dado 600 veces y salieron 150 cincos, ¿el dado está trucado?".
Artículos Relacionados & Recursos
Explora más temas de matemáticas en Mate Paso a Paso y practica con herramientas externas.
Artículos de nuestro blog
Aritmética básica
Leer artículo →
Ejercicios con Fracciones paso a paso
Domina las operaciones con fracciones, la base fundamental para representar y calcular probabilidades.
Cálculo y Álgebra
Leer artículo →
Funciones Matemáticas: Guía Completa
Comprende dominios, rangos y gráficas, conceptos clave para analizar funciones.
Expresiones Algebraicas
Leer artículo →
Polinomios y Operaciones Resueltas
Aprende la estructura algebraica básica útil para desarrollar problemas.
Sistemas de Ecuaciones
Leer artículo →
Funciones Cuadráticas y Parábolas
Aprende sobre el vértice y el comportamiento de curvas cuadráticas.
Álgebra elemental
Leer artículo →
Ecuaciones de Primer Grado sencillas
Aprende a despejar variables rápidamente.
Aritmética y Números
Leer artículo →
MCM y MCD con Ejercicios Prácticos
Aprende a encontrar múltiplos comunes, una herramienta útil para organizar conjuntos de dato.
Recurso externo recomendado
