Cómo resolver potencias: 30 ejercicios resueltos paso a paso

¿Te interesa aprender cómo resolver potencias de forma sencilla? Descubre aquí los métodos y ejercicios que te ayudarán a dominarlas.

Las potencias son una de las herramientas más importantes en matemáticas, ya que permiten expresar multiplicaciones repetidas de forma sencilla y resolver problemas con mayor rapidez.

Aquí aprenderás qué son las potencias, cuáles son sus propiedades o leyes de los exponentes y cómo aplicarlas correctamente mediante 30 ejercicios resueltos con ejemplos claros y explicados.

Muchos de estos procedimientos se relacionan con temas fundamentales como las fracciones y el MCM y MCD, especialmente cuando trabajamos con exponentes negativos o fraccionarios. Si ya dominas esos conceptos, avanzarás mucho más rápido.

Al finalizar, no solo sabrás aplicar cada propiedad, sino también evitar los errores más comunes al resolver potencias.

En Mate Paso a Paso encontrarás recursos gratuitos para aprender mejor. ¡Prueba tus soluciones con nuestra calculadora de potencias online!»

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Tabla de Contenidos

¿Qué son las Potencias?

Una potencia es una forma abreviada de escribir una multiplicación repetida del mismo número.

$a^n = a \times a \times a \times \cdots \times a$

(n veces)

Donde:

$a$ = Base (el número que se multiplica)
$n$ = Exponente (cuántas veces se multiplica)
$a^n$ = Potencia (el resultado)

Ejemplo: $2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32$

Cómo resolver potencias: Las 7 Propiedades Fundamentales

Producto de Potencias
(misma base)

$a^m \times a^n = a^{m+n}$

Ejemplo:
$2^3 \times 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = 128$

Cociente de Potencias
(misma base)

$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$

Ejemplo:
$\frac{5^7}{5^3} = 5^{7-3} = 5^4 = 625$

Potencia de
una Potencia

$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$

Ejemplo:
$(3^2)^3 = 3^{2 \times 3} = 3^6 = 729$

Potencia de
un Producto

$(a \times b)^n = a^n \times b^n$

Ejemplo:
$(2 \times 3)^4 = 2^4 \times 3^4 = 16 \times 81 = 1296$

Potencia de
un Cociente

$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$

Ejemplo:
$\left(\frac{4}{2}\right)^3 = \frac{4^3}{2^3} = \frac{64}{8} = 8$

Potencia con
Exponente Cero

$a^0 = 1$

Ejemplo:
$5^0 = 1$
$(-7)^0 = 1$
(donde $a \neq 0$)

Potencia con
Exponente Negativo

$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$

Ejemplo:
$2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} = 0.125$

30 Ejercicios de potencias Resueltos Paso a Paso

Ejercicio 1

Calcula $3^4$

💡 Solución:

Paso 1 Identificar base y exponente: Base = 3, Exponente = 4

Paso 2 Multiplicar la base 4 veces:
$3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3$

Paso 3 Calcular paso a paso:
$3 \times 3 = 9$
$9 \times 3 = 27$
$27 \times 3 = 81$

✅ RESPUESTA

$3^4 = 81$

Ejercicio 2

Calcula $5^3$

💡 Solución:

Paso 1 $5^3 = 5 \times 5 \times 5$

Paso 2 $5 \times 5 = 25$
$25 \times 5 = 125$

✅ RESPUESTA

$5^3 = 125$

Ejercicio 3

Calcula $2^6$

💡 Solución:

Paso 1 $2^6 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2$

Paso 2 $2 \times 2 = 4$
$4 \times 2 = 8$
$8 \times 2 = 16$
$16 \times 2 = 32$
$32 \times 2 = 64$

✅ RESPUESTA

$2^6 = 64$

Ejercicio 4

Calcula $10^4$

💡 Solución:

Paso 1 Regla especial de potencias de 10:
$10^n =$ 1 seguido de n ceros

Paso 2 $10^4 =$ 1 seguido de 4 ceros = 10,000

✅ RESPUESTA

$10^4 = 10,000$

Ejercicio 5

Calcula $(-2)^3$

💡 Solución:

Paso 1 Base negativa entre paréntesis:
$(-2)^3 = (-2) \times (-2) \times (-2)$

Paso 2 $(-2) \times (-2) = 4$ (negativo × negativo = positivo)
$4 \times (-2) = -8$ (positivo × negativo = negativo)

✅ RESPUESTA

$(-2)^3 = -8$

💡 RECUERDA: Exponente impar con base negativa → resultado negativo
Exponente par con base negativa → resultado positivo

Ejercicio 6

Calcula $(-3)^2$

💡 Solución:

Paso 1 $(-3)^2 = (-3) \times (-3)$

Paso 2 Negativo × negativo = positivo
$(-3) \times (-3) = 9$

✅ RESPUESTA

$(-3)^2 = 9$

Ejercicio 7

Calcula $4^0$

💡 Solución:

Paso 1 Aplicar propiedad del exponente cero:
Cualquier número (excepto 0) elevado a 0 es igual a 1

Paso 2 $4^0 = 1$

✅ RESPUESTA

$4^0 = 1$

Ejercicio 8

Calcula $7^1$

💡 Solución:

Paso 1 Regla: Cualquier número elevado a 1 es igual a sí mismo

Paso 2 $7^1 = 7$

✅ RESPUESTA

$7^1 = 7$

Ejercicio 9

Calcula $1^{100}$

💡 Solución:

Paso 1 Regla especial: 1 elevado a cualquier exponente es siempre 1

Paso 2 $1^{100} = 1 \times 1 \times 1 \times \cdots \times 1 = 1$

✅ RESPUESTA

$1^{100} = 1$

Ejercicio 10

Calcula $0^5$

💡 Solución:

Paso 1 Regla especial: 0 elevado a cualquier exponente positivo es 0

Paso 2 $0^5 = 0 \times 0 \times 0 \times 0 \times 0 = 0$

✅ RESPUESTA

$0^5 = 0$

Ejercicios con Propiedades (11-20)

Ejercicio 11

Simplifica $2^3 \times 2^4$

💡 Solución:

Paso 1 Aplicar Propiedad 1: Producto de potencias con misma base
$a^m \times a^n = a^{m+n}$

Paso 2 $2^3 \times 2^4 = 2^{3+4} = 2^7$

Paso 3 $2^7 = 128$

✅ RESPUESTA

$2^3 \times 2^4 = 2^7 = 128$

Ejercicio 12

Simplifica $\frac{5^7}{5^3}$

💡 Solución:

Paso 1 Aplicar Propiedad 2: Cociente de potencias con misma base
$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$

Paso 2 $\frac{5^7}{5^3} = 5^{7-3} = 5^4$

Paso 3 $5^4 = 625$

✅ RESPUESTA

$\frac{5^7}{5^3} = 5^4 = 625$

Ejercicio 13

Simplifica $(3^2)^3$

💡 Solución:

Paso 1 Aplicar Propiedad 3: Potencia de una potencia
$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$

Paso 2 $(3^2)^3 = 3^{2 \times 3} = 3^6$

Paso 3 $3^6 = 729$

✅ RESPUESTA

$(3^2)^3 = 3^6 = 729$

Ejercicio 14

Simplifica $(2 \times 3)^4$

💡 Solución:

Paso 1 Aplicar Propiedad 4: Potencia de un producto
$(a \times b)^n = a^n \times b^n$

Paso 2 $(2 \times 3)^4 = 2^4 \times 3^4$

Paso 3 $2^4 = 16$ y $3^4 = 81$
$16 \times 81 = 1,296$

✅ RESPUESTA

$(2 \times 3)^4 = 1,296$

Ejercicio 15

Simplifica $\left(\frac{6}{2}\right)^3$

💡 Solución:

Paso 1 Aplicar Propiedad 5: Potencia de un cociente
$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$

Paso 2 $\left(\frac{6}{2}\right)^3 = \frac{6^3}{2^3}$

Paso 3 $6^3 = 216$ y $2^3 = 8$
$\frac{216}{8} = 27$

✅ RESPUESTA

$\left(\frac{6}{2}\right)^3 = 27$

Ejercicio 16

Simplifica $3^{-2}$

💡 Solución:

Paso 1 Aplicar Propiedad 7: Exponente negativo
$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$

Paso 2 $3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$

✅ RESPUESTA

$3^{-2} = \frac{1}{9} \approx 0.111$

Ejercicio 17

Simplifica $2^5 \times 2^{-3}$

💡 Solución:

Paso 1 Aplicar Propiedad 1: Producto de potencias
$2^5 \times 2^{-3} = 2^{5+(-3)} = 2^{5-3} = 2^2$

Paso 2 $2^2 = 4$

✅ RESPUESTA

$2^5 \times 2^{-3} = 2^2 = 4$

Ejercicio 18

Simplifica $(5^3)^0$

💡 Solución:

Paso 1 Aplicar Propiedad 6: Exponente cero
Cualquier potencia elevada a 0 es 1

Paso 2 $(5^3)^0 = 1$

✅ RESPUESTA

$(5^3)^0 = 1$

Ejercicio 19

Simplifica $10^{-4}$

💡 Solución:

Paso 1 Aplicar Propiedad 7: Exponente negativo
$10^{-4} = \frac{1}{10^4}$

Paso 2 $10^4 = 10,000$
$\frac{1}{10,000} = 0.0001$

✅ RESPUESTA

$10^{-4} = 0.0001$

Ejercicio 20

Simplifica $\frac{2^3 \times 2^2}{2^4}$

💡 Solución:

Paso 1 Simplificar numerador (Propiedad 1):
$2^3 \times 2^2 = 2^{3+2} = 2^5$

Paso 2 Simplificar fracción (Propiedad 2):
$\frac{2^5}{2^4} = 2^{5-4} = 2^1 = 2$

✅ RESPUESTA

$\frac{2^3 \times 2^2}{2^4} = 2$

💡 IMPORTANTE: Cuando veas expresiones complejas con potencias, busca primero aplicar las propiedades para simplificar antes de calcular el resultado.

Ejercicios Aplicados (21-30)

Ejercicio 21

Expresa 3,500,000 en notación científica

💡 Solución:

Paso 1 Ubicar el punto decimal después del primer dígito:
3,500,000 = 3.5 × ?

Paso 2 Contar cuántos lugares movimos el punto:
De 3,500,000. a 3.5 = 6 lugares a la izquierda

Paso 3 Expresar como potencia de 10:
$3,500,000 = 3.5 \times 10^6$

✅ RESPUESTA

$3.5 \times 10^6$

Ejercicio 22

Expresa 0.00045 en notación científica

💡 Solución:

Paso 1 Ubicar el punto después del primer dígito no cero:
0.00045 = 4.5 × ?

Paso 2 Contar lugares (a la derecha = exponente negativo):
De 0.00045 a 4.5 = 4 lugares a la derecha

Paso 3 $0.00045 = 4.5 \times 10^{-4}$

✅ RESPUESTA

$4.5 \times 10^{-4}$

Ejercicio 23

Una bacteria se duplica cada hora. Si empiezas con 1 bacteria, ¿cuántas habrá después de 8 horas?

💡 Solución:

Paso 1 Identificar patrón de crecimiento:
Hora 0: 1 bacteria
Hora 1: 2 bacterias = $2^1$
Hora 2: 4 bacterias = $2^2$
Hora n: $2^n$ bacterias

Paso 2 Calcular para n = 8:
$2^8 = 256$ bacterias

✅ RESPUESTA

256 bacterias

Ejercicio 24

Un cuadrado tiene lado de 7 cm. Calcula su área usando potencias.

💡 Solución:

Paso 1 Fórmula del área:
Área = lado²

Paso 2 $\text{Área} = 7^2 = 49 \text{ cm}^2$

✅ RESPUESTA

$49 \text{ cm}^2$

Ejercicio 25

Un cubo tiene arista de 4 cm. Calcula su volumen usando potencias.

💡 Solución:

Paso 1 Fórmula del volumen:
Volumen = arista³

Paso 2 $\text{Volumen} = 4^3 = 64 \text{ cm}^3$

✅ RESPUESTA

$64 \text{ cm}^3$

Ejercicio 26

Simplifica: $\frac{2^2 \times 3^3}{2 \times 3^2}$

💡 Solución:

Paso 1 Separar por bases:
$\frac{2^2 \times 3^3}{2 \times 3^2} = \frac{2^2}{2^1} \times \frac{3^3}{3^2}$

Paso 2 Aplicar propiedad 2 a cada base:
$2^{2-1} \times 3^{3-2} = 2^1 \times 3^1$

Paso 3 $2 \times 3 = 6$

✅ RESPUESTA

Ejercicio 27

Resuelve: $2^x = 32$

💡 Solución:

Paso 1 Expresar 32 como potencia de 2:
$32 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^5$

Paso 2 Igualar exponentes:
$2^x = 2^5$
Por lo tanto: $x = 5$

✅ RESPUESTA

$x = 5$

Ejercicio 28

¿Qué es mayor: $2^{10}$ o $10^2$?

💡 Solución:

Paso 1 Calcular ambas potencias:
$2^{10} = 1,024$

Paso 2 $10^2 = 100$

Paso 3 Comparar: 1,024 > 100

✅ RESPUESTA

$2^{10}$ es mayor

Ejercicio 29

La distancia de la Tierra al Sol es aproximadamente $1.5 \times 10^8$ km. Expresa esto en forma decimal.

💡 Solución:

Paso 1 Identificar: $1.5 \times 10^8$

Paso 2 Calcular $10^8$: $10^8 = 100,000,000$

Paso 3 Multiplicar:
$1.5 \times 100,000,000 = 150,000,000$ km

✅ RESPUESTA

150,000,000 km

Ejercicio 30

Una inversión se duplica cada 5 años. Si inviertes $1000, ¿cuánto tendrás después de 15 años?

💡 Solución:

Paso 1 Identificar número de duplicaciones:
15 años ÷ 5 años = 3 duplicaciones

Paso 2 Fórmula:
Valor final = Valor inicial × $2^n$
donde $n$ = número de duplicaciones

Paso 3 Calcular:
$\$1,000 \times 2^3 = \$1,000 \times 8 = \$8,000$

✅ RESPUESTA

$8,000

Si deseas aplicar estas propiedades dentro de problemas más complejos, visita nuestro artículo sobre ecuaciones con fracciones .

Tabla de Referencia Rápida

n	$2^n$	$3^n$	$5^n$	$10^n$
1	2	3	5	10
2	4	9	25	100
3	8	27	125	1,000
4	16	81	625	10,000
5	32	243	3,125	100,000
6	64	729	15,625	1,000,000

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Propiedades de las potencias: Tabla de resumen

Cómo resolver potencias: tabla resumen de las propiedades o leyes de las potencias con ejemplos.

Preguntas frecuentes

Potencias: Propiedades y 20 Ejercicios Resueltos

¿Cómo se resuelven potencias con fracciones?

Elevas tanto el numerador como el denominador a ese exponente.

Fórmula: $\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}$

Ejemplo: $\left(\dfrac{3}{4}\right)^2 = \dfrac{9}{16}$

¿Qué significa un exponente negativo?

Significa calcular el inverso de la potencia con exponente positivo.

Fórmula: $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$

Ejemplo: $5^{-2} = \dfrac{1}{25} = 0.04$

¿Qué pasa cuando el exponente es cero?

Cualquier número (excepto cero) elevado a cero es 1.

Ejemplos: $7^0 = 1$, $100^0 = 1$, $(-5)^0 = 1$

¿Cuál es la diferencia entre potencia y multiplicación?

Multiplicación: $2 \times 3 = 6$ (2 sumado 3 veces)

Potencia: $2^3 = 8$ (2 multiplicado por sí mismo 3 veces)

Las potencias crecen mucho más rápido.

Errores comunes al resolver potencias

cómo resolver potencias: ejemplo del producto de potencias con la misma base donde se suman los exponentes

cómo resolver potencias: ejemplo de potencia con exponente cero donde el resultado es uno

cómo resolver potencias: propiedad del exponente negativo donde se invierte la base.

Ahora que ya conoces las propiedades y has trabajado estos 30 ejercicios de potencias resueltos, tienes una base sólida para aplicar las propiedades de las potencias con seguridad.

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