Las sucesiones y progresiones son herramientas matemáticas que nos permiten descubrir, comprender y predecir patrones numéricos. Una sucesión es un conjunto de números organizados siguiendo una regla específica, mientras que una progresión es un tipo especial de sucesión en la que existe una relación constante entre sus términos.
En este artículo aprenderás qué son las sucesiones y las progresiones, cómo identificar sus patrones, calcular cualquier término de forma sencilla y resolver ejercicios paso a paso.
Guía de colores — cómo leer este artículo
Cada color representa un concepto distinto. Apréndetelos una vez y podrás seguir cualquier ejercicio de un vistazo sin perderte.
¿Qué es una sucesión numérica?
Una sucesión es una lista ordenada de números que sigue un patrón
Mira esta lista: 2, 5, 8, 11, 14… ¿Ves el patrón? Cada número es 3 más que el anterior. Eso es una sucesión: números ordenados que obedecen una regla fija.
Lo importante es que el orden importa y que existe una regla que conecta cada número con el siguiente. No es una lista aleatoria — cada término tiene su lugar.
Los números de la lista se llaman términos. El lugar que ocupa cada uno se llama posición (n = 1, 2, 3, 4…). El primero es a₁, el segundo es a₂, y el término en la posición n es aₙ.
Divido cada término entre el anterior para ver si hay una relación constante: 6÷3=2, 12÷6=2, 24÷12=2. Cada término se multiplica por 2. Eso es la razón.
Elementos clave de una sucesión
Antes de aprender las fórmulas, debes dominar estos cuatro conceptos
Término (aₙ): cada uno de los números de la lista. El término en la posición n se llama aₙ.
Posición (n): el lugar que ocupa un término. n = 1 para el primero, n = 2 para el segundo, etc.
Primer término (a₁): el número con el que empieza la sucesión. Es el punto de partida.
Término general (aₙ): la fórmula que permite calcular cualquier término directamente, sin tener que escribir todos los anteriores. Con ella puedes saber el término 100 sin calcular los 99 anteriores.
Ejemplo: aₙ = 2n + 1
→ a₁ = 2(1)+1 = 3
→ a₂ = 2(2)+1 = 5
→ a₁₀ = 2(10)+1 = 21
¿Cuánto es el término 50? Solo sustituyes n=50 en la fórmula. Sin contar 49 términos.
Progresión aritmética — suma siempre lo mismo
Una progresión aritmética es una sucesión donde la diferencia entre términos consecutivos es siempre la misma
Mira: 5, 8, 11, 14, 17… La diferencia entre cada par de términos consecutivos es siempre 3: 8−5=3, 11−8=3, 14−11=3.
Esa diferencia constante se llama diferencia común y se representa con la letra d. Es la «firma» de toda progresión aritmética.
Si d > 0 la sucesión crece (términos cada vez mayores). Si d < 0 la sucesión decrece. Si d = 0 todos los términos son iguales.
Para verificar si una sucesión es aritmética, resta cada término al siguiente. Si todas las diferencias son iguales, es aritmética.
Calculo la diferencia entre cada par de términos consecutivos. Si todas son iguales, es aritmética.
Término general de la progresión aritmética
Con esta fórmula calculas cualquier término sin escribir todos los anteriores
En una progresión aritmética, el primer término es a₁. Para llegar al segundo, le sumas d una vez. Para el tercero, sumas d dos veces. Para el término n, sumas d exactamente (n−1) veces.
Eso da la fórmula: aₙ = a₁ + (n−1)·d
Para usarla solo necesitas tres datos: el primer término a₁, la diferencia común d y la posición n.
Identifico los datos: a₁ = 5, d = 3 (porque 8−5=3), n = 20. Sustituyo en la fórmula y calculo.
Tengo a₁ = 3, a₁₀ = 39 y n = 10. Sustituyo en la fórmula y despejo d.
Suma de los n primeros términos de una PA
Hay un truco genial para sumar todos los términos sin sumarlos uno por uno
Gauss, el matemático más famoso de la historia, descubrió esto de niño. Para sumar los números del 1 al 100, notó que si los emparejaba (1+100, 2+99, 3+98…) obtenía siempre 101, y había exactamente 50 pares. Total: 50 × 101 = 5050.
Ese mismo truco aplica a cualquier PA: sumas el primer y el último término, multiplicas por el número de términos y divides entre 2.
Si no conoces el último término, puedes usar el término general para encontrarlo primero.
Tengo a₁ = 2, d = 3 y n = 10. Primero encuentro a₁₀ con la fórmula del término general, luego aplico la suma.
Progresión geométrica — se multiplica siempre lo mismo
Una progresión geométrica es una sucesión donde cada término se obtiene multiplicando el anterior por un número fijo
Mira: 3, 6, 12, 24, 48… Cada término es el doble del anterior. Esa constante multiplicadora se llama razón común y se representa con la letra r. Es el equivalente de d en la aritmética, pero en lugar de sumar, multiplicas.
Para verificar si es geométrica, divide cada término entre el anterior. Si el cociente siempre es el mismo número, es geométrica.
Si r > 1 la sucesión crece. Si 0 < r < 1 la sucesión decrece (fracciones). Si r < 0 los términos alternan signo.
Término general de la progresión geométrica
Para llegar al término n multiplicas el primero por r exactamente (n−1) veces
En una PG, el primer término es a₁. Para llegar al segundo multiplicas por r una vez (r¹). Para el tercero, por r dos veces (r²). Para el término n, por r exactamente (n−1) veces.
Eso da: aₙ = a₁ · r^(n−1)
Nota la diferencia con la aritmética: en la PA sumabas (n−1)·d, en la PG multiplicas por r^(n−1).
Identifico: a₁ = 3, r = 6÷3 = 2, n = 8. Sustituyo en la fórmula.
Suma de los n primeros términos de una PG
La suma de una PG no se puede calcular simplemente con el truco de Gauss — necesita su propia fórmula
Para la PA, la fórmula era intuitiva (promediar el primero y el último). Para la PG es diferente: los términos crecen o decrecen de forma exponencial, así que la fórmula usa potencias de r.
Hay dos versiones: una para cuando r ≠ 1 (la normal) y otra para cuando r = 1 (todos los términos son iguales, trivial).
Identifico: a₁ = 2, r = 3, n = 6. Sustituyo en la fórmula.
Cada hora hay el doble de bacterias que la hora anterior. Es una PG con a₁ = 1 y r = 2. Quiero la suma total de las 8 horas.
PA vs PG — diferencias en un vistazo
| Característica | Progresión Aritmética | Progresión Geométrica |
|---|---|---|
| Operación entre términos | Suma / resta | Multiplicación / división |
| Constante | d = diferencia común | r = razón común |
| Cómo se calcula | d = a₂ − a₁ | r = a₂ ÷ a₁ |
| Término general | aₙ = a₁ + (n−1)·d | aₙ = a₁ · r^(n−1) |
| Suma n términos | Sₙ = n/2 · (a₁+aₙ) | Sₙ = a₁ · (rⁿ−1)/(r−1) |
| Crecimiento | Lineal (igual a igual) | Exponencial (cada vez más rápido) |
| Ejemplo | 2, 5, 8, 11… (d=3) | 2, 6, 18, 54… (r=3) |
20 ejercicios resueltos — nivel creciente
Los ejercicios E1–E12 ya están desarrollados en las secciones anteriores. Aquí continúan los 8 restantes.
Ejercicios E13 – E20 — intermedio y avanzado
Planteo la fórmula del término general para cada dato y resuelvo el sistema.
Los impares 1, 3, 5… 99 forman una PA con a₁=1, d=2, aₙ=99. Primero busco cuántos términos hay (n).
Diferencia constante
PA con d=3
Razón constante
PG con r=2
Diferencia constante
PA con d=−10
Cada año el capital se multiplica por 1,10 (el 100% + 10%). Es una PG con a₁=1000 y r=1,10. Quiero a₆ (después del año 5).
Son los términos que van entre el primero y el último para formar una PA completa. Tengo 5 términos: a₁=5, a₅=25. Necesito encontrar d.
Resumen — Sucesiones y Progresiones en un vistazo
Errores más comunes en sucesiones y progresiones
a₄ = 3 + 4×4 = 19 ✗
Usaron n en vez de (n−1)
Verifico: 3, 7, 11, 15 ✓
Calculan d = 6−3 = 3
¡Esto es una PG, no PA!
PG con r=2
a₄ = 2×3⁴ = 2×81 = 162 ✗
Debería ser 54
Secuencia: 2, 6, 18, 54 ✓
S₄ = 4/2 × (2+54) = 112 ✗
¡Usaron la fórmula PA!
Verifico: 2+6+18+54 = 80 ✓
Preguntas frecuentes sobre sucesiones y progresiones
No. Toda progresión es una sucesión, pero no toda sucesión es una progresión. Una progresión (aritmética o geométrica) es un tipo especial de sucesión donde la diferencia o la razón entre términos es constante.
Por ejemplo, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13… (Fibonacci) es una sucesión con patrón claro, pero no es ni aritmética ni geométrica porque ni la diferencia ni la razón son constantes.
Porque el primer término ya existe sin sumar ni multiplicar nada. Cuando n=1: (1−1)=0, así que a₁ = a₁ + 0·d = a₁. Correcto. Cuando n=2: (2−1)=1, así que a₂ = a₁ + 1·d. También correcto — le sumaste d una vez.
Si usaras n en vez de (n−1), a₁ = a₁ + 1·d, lo cual daría el segundo término, no el primero. Todo se desplazaría un lugar.
r negativa: sí puede serlo. Si r = −2, los términos alternan signo: 3, −6, 12, −24… Es una PG válida aunque los signos cambien.
r = 0: no puede ser 0. Si r = 0, desde el segundo término todos serían cero, y no podríamos calcular el cociente entre términos (divisiónente 0 no existe).
r = 1: puede ser 1. En ese caso todos los términos son iguales: 5, 5, 5, 5… y la suma es n·a₁.
PA: cualquier situación de crecimiento o ahorro constante. Sueldos que suben igual cada año, semanas de entrenamiento donde aumentas las repeticiones de forma fija, distancias recorridas en movimiento uniforme.
PG: interés compuesto bancario, crecimiento poblacional, propagación de virus, velocidad de procesadores (Ley de Moore), depreciación de un carro, escalas musicales (cada nota es una PG respecto a la anterior).
Sí, pero solo cuando la razón cumple |r| < 1 (entre −1 y 1, sin incluirlos). En ese caso los términos se hacen cada vez más pequeños y la suma converge a un valor finito.
La fórmula de la suma infinita es: S∞ = a₁ / (1−r). Por ejemplo, si a₁=1 y r=1/2: S∞ = 1/(1−1/2) = 2. La suma 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + … = 2 exactamente.
