Aprende qué son las razones y proporciones, cómo se forman las proporciones, la propiedad fundamental de los productos cruzados y cómo encontrar valores desconocidos. Con colores visuales, fórmulas claras y 20 ejercicios resueltos paso a paso.
Razones y Proporciones — Guía completa con ejemplos resueltos
Guía de colores — cómo leer este artículo
En cada fórmula y ejercicio vas a ver colores. Cada color tiene un significado fijo. Apréndelos una vez y podrás leer cualquier ejercicio de un vistazo.
¿Qué es una razón? — Conceptos y definición
Una razón es simplemente comparar dos cantidades
Piensa en esto: tienes 3 naranjas y 5 manzanas. ¿Cuántas naranjas hay por cada manzana? Esa comparación es una razón.
Una razón te dice cuántas veces una cantidad contiene a la otra, o qué relación existe entre las dos.
En este ejemplo: la razón de naranjas a manzanas es 3 a 5. Se escribe como 3:5 o como la fracción \(\frac{\color{blue}{3}}{\color{orange}{5}}\).
El primer número (3) se llama antecedente. El segundo (5) se llama consecuente. El orden importa: 3:5 no es igual que 5:3.
Tipos de razón — geométrica y aritmética
Hay dos formas de comparar cantidades: dividiendo o restando
Cuando comparas dividiendo, obtienes una razón geométrica (la más usada). Cuando comparas restando, obtienes una razón aritmética.
En la vida cotidiana, cuando dices «tengo el doble que tú» o «la velocidad es de 60 km por hora» estás usando razones geométricas. Cuando dices «gano 500 más que tú» usas razón aritmética.
Ejemplo: \(\frac{\color{blue}{12}}{\color{orange}{4}} = \color{green}{3}\)
→ 12 es 3 veces más que 4
Es la más usada en matemáticas.
Ejemplo: \(\color{blue}{12} – \color{orange}{4} = \color{green}{8}\)
→ 12 tiene 8 más que 4
Aparece en problemas de diferencia.
¿Qué es una proporción? — Cuando dos razones son iguales
Una proporción es la igualdad entre dos razones
Si la razón 3:4 es igual a la razón 6:8, tienes una proporción. Estás diciendo que esas dos comparaciones son equivalentes.
Imagina que haces una receta: si usas 3 tazas de harina y 4 de agua, y luego quieres hacer el doble, usas 6 y 8. La relación entre los ingredientes es la misma. Eso es una proporción.
Una proporción tiene 4 términos. Los dos de los extremos se llaman extremos y los dos del centro se llaman medios.
Propiedad fundamental de las proporciones — productos cruzados
El producto de los extremos siempre es igual al producto de los medios
Esta es la regla más poderosa de las proporciones y la vas a usar en casi todos los ejercicios.
Si tienes una proporción a:b = c:d, entonces:
Extremos × extremos = Medios × medios
Dicho más claro: multiplicas el primero por el último, y el segundo por el tercero. Los dos resultados siempre son iguales si la proporción es verdadera.
Esta propiedad también se llama «multiplicación cruzada» porque las flechas forman una X.
Producto de extremos = Producto de medios ✓
Calculo el producto de extremos y el de medios. Si son iguales, la proporción es correcta.
Cómo encontrar el valor desconocido x
Si conoces tres términos de una proporción, puedes encontrar el cuarto
Cuando en una proporción uno de los cuatro términos es desconocido (x), usas la propiedad fundamental para despejarlo.
La clave es simple: multiplicas en cruz y despejas x.
Si tienes \(\frac{\color{blue}{a}}{\color{orange}{b}} = \frac{\color{blue}{c}}{\color{purple}{x}}\), entonces:
\[\color{blue}{a} \times \color{purple}{x} = \color{orange}{b} \times \color{blue}{c} \quad \Rightarrow \quad \color{purple}{x} = \frac{\color{orange}{b} \times \color{blue}{c}}{\color{blue}{a}}\]
Siempre divides el producto de los otros tres términos entre el que «acompaña» a x.
Aplico la propiedad fundamental: el producto de los extremos = el producto de los medios. El 3 y la x son extremos. El 4 y el 9 son medios. Entonces: 3 × x = 4 × 9. Despejo la x dividiendo entre 3.
Planteo la proporción: cantidad de libretas es proporcional al costo. Si 5 libretas → $8, entonces 15 libretas → $x.
Proporción directa — cuando ambas cantidades crecen juntas
Dos cantidades son directamente proporcionales cuando al multiplicar una, la otra se multiplica igual
Si compras el doble de kilos de arroz, pagas el doble. Si trabajas el triple de horas, ganas el triple. Eso es proporcionalidad directa.
La señal principal: existe una constante de proporcionalidad k que siempre es la misma. La razón entre las dos cantidades siempre vale k.
Si representas los pares de valores en una gráfica, obtendrás una línea recta que pasa por el origen.
| Dólares (x) | × k | Soles (y) |
|---|---|---|
| 1 | × 3,80 | 3,80 |
| 2 | × 3,80 | 7,60 |
| 5 | × 3,80 | 19,00 |
| 10 | × 3,80 | 38,00 |
| 20 | × 3,80 | 76,00 |
Proporción inversa — cuando una sube, la otra baja
Dos cantidades son inversamente proporcionales cuando al multiplicar una, la otra se divide en lo mismo
Si más trabajadores pintan una casa, tardan menos días. Si vas más rápido, tardas menos tiempo en llegar. Si divides el trabajo en más partes, cada parte es más pequeña. Eso es proporcionalidad inversa.
La señal: el producto de las dos cantidades siempre es constante (= k). No la razón, el producto.
Si x se multiplica por 2, y se divide entre 2. Si x se multiplica por 3, y se divide entre 3.
Si x×2 → y×2
Si x÷3 → y÷3
Ejemplo: precio y cantidad comprada
Si x×2 → y÷2
Si x÷3 → y×3
Ejemplo: velocidad y tiempo de viaje
¿Más obreros → más días o menos días? Menos días. Cuando una cantidad sube, la otra baja → es proporción inversa.
Razón vs Proporción — la diferencia en 30 segundos
Una razón compara dos cantidades. Una proporción dice que dos razones son iguales
La razón es una sola comparación: 3:4. Te dice qué relación hay entre dos números.
La proporción es una igualdad entre dos razones: 3:4 = 6:8. Te dice que dos pares de números guardan la misma relación.
Analogía: la razón es como decir «este café tiene el doble de azúcar que este otro». La proporción es decir «esta taza tiene el doble de azúcar que aquella, de la misma forma que esta otra taza tiene el doble que la otra».
\(\frac{\color{blue}{a}}{\color{orange}{b}}\) o a:b
Ejemplo: 3:4 (tres a cuatro)
Resultado: un número
\(\frac{\color{blue}{a}}{\color{orange}{b}} = \frac{\color{blue}{c}}{\color{orange}{d}}\)
Ejemplo: 3:4 = 6:8
Permite encontrar valores desconocidos
20 ejercicios resueltos — todos los tipos
E1–E12 ya están desarrollados en las secciones anteriores. Aquí continúan los 8 ejercicios restantes de nivel intermedio y avanzado.
Nivel intermedio y avanzado (E13 – E20)
Ambas suben juntas.
✓ DIRECTA
Una sube, la otra baja.
✓ INVERSA
Ambas suben juntas.
✓ DIRECTA
Sumo las partes de la razón: 2+3+5=10. El total se divide en 10 partes iguales. El primero recibe 2 partes, el segundo 3 y el tercero 5.
Socio 2: 3 × $400 = $1200
Socio 3: 5 × $400 = $2000
Resumen — Razones y Proporciones en un vistazo
Errores comunes al trabajar con razones y proporciones
= 12:8 (teniendo 8 niños y 12 niñas)
El primero es siempre el «de»
8 obreros → \(\frac{8}{4} \times 6 = 12\) días
¡Más obreros = más días!
8 × x = 24 → x = 3 días ✓
Más obreros = menos días
Calculan: x = 3 × 12 = 36
¡Sin dividir entre 4!
x = 36 ÷ 4 = 9 ✓
y calculan sin comprobar
Extremos: 3×21=63
Medios: 7×9=63 ✓
Preguntas frecuentes sobre razones y proporciones
Se escriben igual (a/b), pero significan cosas distintas. Una fracción representa una parte de un todo: \(\frac{3}{4}\) significa «3 de cada 4 partes». Una razón compara dos cantidades independientes: 3:4 puede significar «3 hombres por cada 4 mujeres» — no necesitan sumar nada.
La diferencia principal es conceptual: la fracción indica una parte del total, la razón es una comparación entre dos cosas que pueden ser completamente distintas.
Porque es una consecuencia directa de multiplicar ambos lados de la igualdad por el mismo número (el denominador del otro lado). Si \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\), multiplico ambos lados por \(b \times d\):
Hay un truco mental muy sencillo: imagina que multiplicas por 2 la primera cantidad y pregúntate qué le pasa a la segunda.
¿Si duplico X, la Y se divide a la mitad? → Proporción INVERSA
¿Si duplico X, la Y no cambia de forma constante? → No hay proporcionalidad simple
Constantemente. Algunos ejemplos cotidianos:
Cocina: escalar recetas para más o menos personas.
Mapas: interpretar escalas (1:100 000).
Economía: calcular tipos de cambio, precios por unidad.
Construcción: mezclar materiales en proporciones exactas.
Fotografía: mantener las proporciones al redimensionar imágenes.
Medicina: calcular dosis de medicamentos según el peso del paciente.
La regla de tres ES una proporción. Cuando aplicas la regla de tres, estás resolviendo una proporción donde uno de los cuatro términos es desconocido. La lógica es exactamente la misma.
La diferencia es solo el nombre: en primaria se llama «regla de tres», en secundaria se estudia como «proporción». El cálculo es idéntico: planteas la igualdad de dos razones y despejas el valor desconocido.
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