Toda proposición compuesta, según su tabla de verdad, cae en una de tres categorías: tautología (siempre verdadera), contradicción (siempre falsa) o contingencia (a veces verdadera, a veces falsa). En este artículo aprenderás a reconocer cada tipo, con ejemplos elaborados de varias proposiciones y variables.
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Tautología, contradicción y contingencia: cómo identificarlas con tablas de verdad + ejercicios resueltos
¿Qué es una tautología?
Una tautología es una proposición compuesta cuya columna final en la tabla de verdad es siempre verdadera — sin importar los valores de verdad de sus proposiciones simples. Es verdadera «por su propia estructura lógica», no por casualidad ni por el contenido de lo que afirma.
5 ejemplos de tautologías conocidas
| 1. p ∨ ¬p | Ley del tercio excluido — o se cumple p, o se cumple su negación, no hay tercera opción |
| 2. ¬(p ∧ ¬p) | Ley de no contradicción — p y ¬p nunca pueden ser verdaderas a la vez |
| 3. (p ∧ q) → p | Ley de simplificación — si dos cosas son ciertas juntas, cada una lo es por separado |
| 4. p → (p ∨ q) | Ley de adición — si p es cierto, «p o cualquier otra cosa» también lo es |
| 5. (p → q) ∨ (q → p) | Al menos uno de los dos condicionales (en cualquier dirección) siempre se cumple |
¿Qué es una contradicción?
Una contradicción (o proposición contradictoria) es exactamente lo opuesto: su columna final en la tabla de verdad es siempre falsa, sin importar los valores de sus proposiciones simples.
5 ejemplos de contradicciones
| 1. p ∧ ¬p | Afirmar y negar lo mismo a la vez — imposible que sea verdadero |
| 2. ¬(p → p) | Negar que algo se implique a sí mismo — p→p es siempre V, así que su negación es siempre F |
| 3. (p ↔ q) ∧ (p ↔ ¬q) | Exigir que p sea igual a q Y a la vez igual a ¬q — no puede cumplirse nunca |
| 4. (p ∧ ¬q) ∧ (¬p ∨ q) | La primera parte exige p verdadero y q falso; la segunda exige lo contrario — chocan siempre |
| 5. ¬p ∧ (p ∨ q) ∧ ¬q | Niega p, niega q, pero exige que al menos uno sea verdadero — imposible |
¿Qué es una contingencia?
Una contingencia es una proposición compuesta cuya columna final tiene una mezcla de V y F — depende de los valores de verdad de sus proposiciones simples. La gran mayoría de las proposiciones compuestas que usamos en la vida diaria y en matemáticas son contingencias, no tautologías ni contradicciones.
5 ejemplos de contingencias
| 1. p ∧ q | V solo si ambas lo son — mezcla de V y F en la tabla |
| 2. p → q | F solo en un caso, V en los otros tres — mezcla |
| 3. p ↔ q | V cuando coinciden, F cuando difieren — mezcla |
| 4. (p ∨ q) ∧ r | El resultado varía según p, q y r — mezcla |
| 5. ¬p ∨ (q ∧ r) | Combina negación, conjunción y disyunción — mezcla |
Diferencias entre tautología, contradicción y contingencia
Cómo identificar una tautología con una tabla de verdad
El método es directo: construye la tabla de verdad completa (con todas las 2ⁿ filas) y revisa la columna final. Si TODAS las filas dan V, es una tautología.
[p → (q → r)] ↔ [(p ∧ q) → r]
| p | q | r | p → (q → r) | (p ∧ q) → r | Bicondicional |
|---|---|---|---|---|---|
| V | V | V | V | V | V |
| V | V | F | F | F | V |
| V | F | V | V | V | V |
| V | F | F | V | V | V |
| F | V | V | V | V | V |
| F | V | F | V | V | V |
| F | F | V | V | V | V |
| F | F | F | V | V | V |
Las dos columnas intermedias (azul y magenta) son idénticas en cada fila — eso ya nos dice que las dos expresiones son equivalentes. Al unirlas con un bicondicional, la columna final da V en las 8 filas: es una tautología.
Cómo identificar una contradicción con una tabla de verdad
Mismo método, resultado opuesto: si la columna final da F en absolutamente todas las filas, es una contradicción.
(p ↔ q) ∧ (p ∧ ¬q)
| p | q | p ↔ q | p ∧ ¬q | (p↔q) ∧ (p∧¬q) |
|---|---|---|---|---|
| V | V | V | F | F |
| V | F | F | V | F |
| F | V | F | F | F |
| F | F | V | F | F |
En cada una de las 4 filas, al menos una de las dos columnas intermedias es F — así que la conjunción de ambas nunca puede ser V. Columna final: F en las 4 filas → contradicción.
Ejercicios resueltos: clasifica cada proposición
Ninguno de estos es el caso trivial de un libro de texto — todos combinan al menos dos bloques con paréntesis. Antes de ver la tabla, intenta predecir tú mismo si será tautología, contradicción o contingencia.
| p | q | p → q | p ∧ ¬q | (p → q) ∨ (p ∧ ¬q) |
|---|---|---|---|---|
| V | V | V | F | V |
| V | F | F | V | V |
| F | V | V | F | V |
| F | F | V | F | V |
Tiene sentido: p∧¬q es exactamente la negación de p→q, así que esta proposición tiene la forma «X ∨ ¬X» — el tercio excluido disfrazado.
| p | q | p ↔ q | p ↔ ¬q | (p ↔ q) ∧ (p ↔ ¬q) |
|---|---|---|---|---|
| V | V | V | F | F |
| V | F | F | V | F |
| F | V | F | V | F |
| F | F | V | F | F |
p no puede ser al mismo tiempo igual a q y diferente de q — las dos exigencias son incompatibles.
| p | q | r | p ∧ q | (p∧q) ∨ r |
|---|---|---|---|---|
| V | V | V | V | V |
| V | V | F | V | V |
| V | F | V | F | V |
| V | F | F | F | F |
| F | V | V | F | V |
| F | V | F | F | F |
| F | F | V | F | V |
| F | F | F | F | F |
| p | q | p → q | (p→q) → p | [(p→q)→p] → p |
|---|---|---|---|---|
| V | V | V | V | V |
| V | F | F | V | V |
| F | V | V | F | V |
| F | F | V | F | V |
Esta es la famosa ley de Peirce — no es nada intuitiva a simple vista (a diferencia de p∨¬p), pero la tabla de verdad demuestra sin ambigüedad que es una tautología.
| p | q | r | p ∨ q | p ∨ r | (p ∨ q) → (p ∨ r) |
|---|---|---|---|---|---|
| V | V | V | V | V | V |
| V | V | F | V | V | V |
| V | F | V | V | V | V |
| V | F | F | V | V | V |
| F | V | V | V | V | V |
| F | V | F | V | F | F |
| F | F | V | F | V | V |
| F | F | F | F | F | V |
Aunque casi todas las filas dan V, basta con UNA sola fila en F (p=F, q=V, r=F) para que sea una contingencia y no una tautología.
| p | q | r | p → q | r ∧ ¬r | (p → q) ∨ (r ∧ ¬r) |
|---|---|---|---|---|---|
| V | V | V | V | F | V |
| V | V | F | V | F | V |
| V | F | V | F | F | F |
| V | F | F | F | F | F |
| F | V | V | V | F | V |
| F | V | F | V | F | V |
| F | F | V | V | F | V |
| F | F | F | V | F | V |
La columna r∧¬r es una contradicción (siempre F), así que unirla con «∨» no cambia nada — el resultado final termina siendo exactamente igual a p→q. Este comportamiento (agregar «∨ contradicción» sin cambiar nada) es la ley de identidad que veremos en el próximo artículo.
Resumen del artículo
Errores comunes
Preguntas frecuentes
Su utilidad no está en el contenido, sino en la estructura: las tautologías son la base de las reglas de inferencia válidas (como el modus ponens que veremos en el artículo 6). Cuando una regla de razonamiento corresponde a una tautología, sabes que su conclusión siempre será correcta si las premisas lo son — eso es extremadamente valioso en matemáticas y programación.
No. Una proposición simple como «p» tiene tabla de verdad con una fila V y otra F — siempre es una contingencia por definición, porque su valor depende directamente de si p es verdadera o falsa en el mundo real. Las tautologías y contradicciones son siempre proposiciones compuestas, cuya estructura lógica fuerza el mismo resultado en todos los casos.
Íntimamente: dos proposiciones A y B son lógicamente equivalentes si y solo si A ↔ B es una tautología. Es exactamente lo que comprobamos en el ejemplo guiado de la ley de exportación de este artículo — al unir dos expresiones con un bicondicional y obtener una tautología, confirmamos que son equivalentes.
No, es imposible. Serían mutuamente excluyentes por definición: una exige que TODAS las filas sean V, la otra que TODAS sean F. Ninguna tabla de verdad puede cumplir ambas condiciones a la vez (a menos que la tabla estuviera vacía, lo cual no ocurre nunca con al menos una proposición simple).
El siguiente artículo desarrolla las equivalencias lógicas: las leyes formales (De Morgan, doble negación, identidad, distributiva, y más) que te permiten transformar y simplificar expresiones lógicas complejas sin tener que construir la tabla de verdad completa cada vez. Ya viste varios ejemplos de equivalencias «disfrazadas» en este artículo — ahora las vas a formalizar como leyes con nombre propio.
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