Método de Igualación en Sistemas 2x2 Paso a Paso

El método de igualación en sistemas de ecuaciones 2×2 es una técnica que permite encontrar los valores desconocidos de un sistema formado por dos ecuaciones con dos incógnitas. Su idea principal consiste en despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones y luego igualar las expresiones obtenidas.

Este método de igualación resulta especialmente útil cuando las ecuaciones pueden despejarse con facilidad y permite resolver el sistema de manera ordenada, reduciendo el problema a una sola ecuación con una incógnita. Una vez encontrada una de las variables, se sustituye su valor para determinar la otra.

Álgebra básica — Sistemas de ecuaciones

Tabla de Contenidos

Método de igualación en sistemas de ecuaciones 2×2: guía completa + 20 ejercicios

⚖
¿En qué consiste el método de igualación?

Es una de las tres técnicas para resolver sistemas de ecuaciones 2×2. Consiste en despejar la misma variable en las dos ecuaciones, y como ambas expresiones valen lo mismo, se igualan entre sí. A cada ecuación la llamamos siempre igual: Ecuación 1 y Ecuación 2.

{

1x + y = 5

22x − y = 1

Círculo turquesa 1 = Ecuación 1 Círculo magenta 2 = Ecuación 2 x en azul y en verde

La idea clave: si y = 5 − x, y también y = 2x − 1, entonces esos dos «algo» son iguales entre sí: 5 − x = 2x − 1.

🎯
¿Cuándo conviene usar el método de igualación?

Úsalo cuando

Es fácil despejar la misma variable en las dos ecuaciones, o cuando ya están parcialmente despejadas.

Considera otro método si

El despeje genera fracciones grandes — ahí reducción o sustitución pueden ser más rápidos.

💡

Ventaja de este método: es muy ordenado y visual — ver las dos expresiones «= x» o «= y» una junto a la otra ayuda a entender por qué son iguales.

📋
Método en 5 pasos

Despeja la misma variable en ambas

Elige x o y, y despéjala en las dos ecuaciones por separado.

Iguala las dos expresiones

Como ambas son iguales a la misma variable, son iguales entre sí.

Resuelve la nueva ecuación

Queda una ecuación con una sola incógnita.

Sustituye

El valor hallado, en cualquiera de las dos expresiones del paso 1.

Verifica

En las dos ecuaciones originales.

Ejemplo guiado

{

1x = 2y + 1

2x = y + 4

¿Qué hacemos?	Nos queda
Las dos ecuaciones ya tienen x despejada, no hace falta despejar nada	x = 2y+1 \| x = y+4
Igualamos 2y + 1 con y + 4, porque ambas valen x	2y + 1 = y + 4
Pasamos la y del lado derecho restando, y el 1 pasa restando también	2y − y = 4 − 1
Sumamos términos semejantes en cada lado	y = 3
Sustituimos y por 3 en x = y + 4	x = 3 + 4 = 7

Verificación — Ecuación 1

Ecuación original	x = 2y + 1
Sustituimos x = 7, y = 3	7 = 2(3) + 1
Comparamos	✓ Se cumple

Verificación — Ecuación 2

Ecuación original	x = y + 4
Sustituimos x = 7, y = 3	7 = 3 + 4
Comparamos	✓ Se cumple

La verificación consiste en tomar la solución y reemplazarla en las ecuaciones tal como estaban al principio. Si las dos igualdades resultan verdaderas, la solución es correcta.

Solución

x = 7, y = 3

Calculadora de Sistemas de Ecuaciones - Método de igualación en sistemas de ecuaciones 2x2

Sistemas de Ecuaciones

matepasoapaso.com · Sustitución · Igualación · Reducción · Cramer · Gráfica

CALCULADORA COMPLETA

Resuelve sistemas de 2 ecuaciones con 2 incógnitas por 3 métodos diferentes. Ingresa los coeficientes y selecciona el método. La calculadora identifica si el sistema es compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible.

INGRESA EL SISTEMA — ax + by = c

x y =

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MÉTODO DE RESOLUCIÓN

Resolución de sistemas de 3 ecuaciones con 3 incógnitas usando la Regla de Cramer. Se calculan los determinantes de la matriz del sistema y de las matrices modificadas.

SISTEMA 3×3 — ax + by + cz = d

x y z =

Repaso teórico completo: definición, clasificación y métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales con demostraciones y fórmulas clave.

Definición y clasificación de sistemas▼

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones que deben satisfacerse simultáneamente.

Forma general: $ a_1 x + b_1 y = c_1 $ y $ a_2 x + b_2 y = c_2 $

Clasificación según sus soluciones:

Compatible determinado (SCD): una solución única. Las rectas se cortan en un punto. $ \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} $
Compatible indeterminado (SCI): infinitas soluciones. Las rectas son coincidentes. $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} $
Incompatible (SI): sin solución. Las rectas son paralelas. $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} $

Método de Sustitución▼

Pasos:

Despejar una incógnita de una ecuación: $ y = \frac{c_1 - a_1 x}{b_1} $
Sustituir esa expresión en la otra ecuación, obteniendo una ecuación con una sola incógnita.
Resolver la ecuación resultante.
Sustituir el valor encontrado para obtener la otra incógnita.
Verificar en ambas ecuaciones.

Cuándo usarlo: Cuando algún coeficiente es 1 o la despejada es sencilla.

Método de Igualación▼

Pasos:

Despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones.
Igualar las dos expresiones obtenidas.
Resolver la ecuación resultante.
Sustituir para hallar la otra incógnita.

Si despejamos x: $ x = \frac{c_1 - b_1 y}{a_1} = \frac{c_2 - b_2 y}{a_2} $

Método de Reducción (Gauss)▼

Pasos:

Multiplicar cada ecuación por un factor que haga que los coeficientes de una incógnita sean opuestos.
Sumar ambas ecuaciones para eliminar esa incógnita.
Resolver la ecuación con una variable.
Sustituir para hallar la otra.

Si multiplicamos E1 por $a_2$ y E2 por $-a_1$, al sumar se elimina x:

$ (a_2 b_1 - a_1 b_2)\,y = a_2 c_1 - a_1 c_2 $

Regla de Cramer▼

Usa determinantes para resolver sistemas. Para 2×2:

\[ D = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} = a_1 b_2 - a_2 b_1 \]

\[ x = \frac{D_x}{D} \qquad y = \frac{D_y}{D} \]

Si $D = 0$: sistema incompatible o indeterminado.

Interpretación geométrica▼

Cada ecuación lineal representa una recta en el plano cartesiano:

SCD: dos rectas que se intersectan en un punto → pendientes distintas.
SCI: dos rectas que son la misma (coincidentes) → misma pendiente, mismo intercepto.
SI: dos rectas paralelas → misma pendiente, distinto intercepto.

Forma pendiente-intercepto: $ y = mx + b $ donde $ m = -\frac{a}{b} $ y $ b = \frac{c}{b} $

Ejemplos clásicos de los tres tipos de sistemas. Haz clic en cualquiera para cargarlo en la calculadora automáticamente.

COMPATIBLE DETERMINADO (una solución)

Ejemplo 1

2x + 3y = 8
5x − y = 1

Ejemplo 2

x + y = 5
2x − y = 1

Ejemplo 3

3x + 2y = 7
x − 4y = 0

Ejemplo 4

4x − 3y = 5
2x + y = 3

COMPATIBLE INDETERMINADO (infinitas soluciones)

Ejemplo 5

x + 2y = 4
2x + 4y = 8

Ejemplo 6

2x − y = 3
4x − 2y = 6

INCOMPATIBLE (sin solución)

Ejemplo 7

x + 2y = 3
x + 2y = 5

Ejemplo 8

2x + 4y = 6
x + 2y = 5

Ejercicios resueltos de sistemas de ecuaciones paso a paso: Método de igualación.

✏
20 ejercicios resueltos con el método de igualación

Nivel básico

Igualación

Resuelve el sistema

{

1x + y = 5

22x − y = 1

¿Qué hacemos?	Nos queda
Despejamos y en la Ecuación 1: la x pasa restando	y = 5 − x
Despejamos y en la Ecuación 2: el 2x pasa restando y el signo se invierte	y = 2x − 1
Igualamos las dos expresiones de y	5 − x = 2x − 1
Pasamos las x a un lado y los números al otro	5 + 1 = 2x + x
Sumamos y despejamos: el 3 pasa dividiendo	6 = 3x → x = 2
Sustituimos x por 2 en y = 5 − x	y = 5 − 2 = 3

Verificación — Ecuación 1

Ecuación original	x + y = 5
Sustituimos x = 2, y = 3	2 + 3 = 5
Comparamos	✓ Se cumple

Verificación — Ecuación 2

Ecuación original	2x − y = 1
Sustituimos x = 2, y = 3	4 − 3 = 1
Comparamos	✓ Se cumple

Solución

x = 2, y = 3

Igualación

Resuelve el sistema

{

12x + y = 10

2x − y = 2

¿Qué hacemos?	Nos queda
Despejamos y en la Ecuación 1	y = 10 − 2x
Despejamos y en la Ecuación 2: la x pasa restando y el signo se invierte	y = x − 2
Igualamos las dos expresiones de y	10 − 2x = x − 2
Pasamos las x a un lado y los números al otro	10 + 2 = x + 2x
Sumamos y despejamos: el 3 pasa dividiendo	12 = 3x → x = 4
Sustituimos x por 4 en y = x − 2	y = 4 − 2 = 2

Verificación — Ecuación 1

Ecuación original	2x + y = 10
Sustituimos x = 4, y = 2	8 + 2 = 10
Comparamos	✓ Se cumple

Verificación — Ecuación 2

Ecuación original	x − y = 2
Sustituimos x = 4, y = 2	4 − 2 = 2
Comparamos	✓ Se cumple

Solución

x = 4, y = 2

Igualación

Resuelve el sistema

{

13x − y = 7

2x + y = 5

¿Qué hacemos?	Nos queda
Despejamos y en la Ecuación 1: el 3x pasa restando y el signo se invierte	y = 3x − 7
Despejamos y en la Ecuación 2	y = 5 − x
Igualamos las dos expresiones de y	3x − 7 = 5 − x
Pasamos las x a un lado y los números al otro	3x + x = 5 + 7
Sumamos y despejamos: el 4 pasa dividiendo	4x = 12 → x = 3
Sustituimos x por 3 en y = 5 − x	y = 5 − 3 = 2

Verificación — Ecuación 1

Ecuación original	3x − y = 7
Sustituimos x = 3, y = 2	9 − 2 = 7
Comparamos	✓ Se cumple

Verificación — Ecuación 2

Ecuación original	x + y = 5
Sustituimos x = 3, y = 2	3 + 2 = 5
Comparamos	✓ Se cumple

Solución

x = 3, y = 2

Igualación

Resuelve el sistema

{

15x + y = 19

22x − y = 2

¿Qué hacemos?	Nos queda
Despejamos y en la Ecuación 1	y = 19 − 5x
Despejamos y en la Ecuación 2	y = 2x − 2
Igualamos las dos expresiones de y	19 − 5x = 2x − 2
Pasamos las x a un lado y los números al otro	19 + 2 = 2x + 5x
Sumamos y despejamos: el 7 pasa dividiendo	21 = 7x → x = 3
Sustituimos x por 3 en y = 2x − 2	y = 6 − 2 = 4

Verificación — Ecuación 1

Ecuación original	5x + y = 19
Sustituimos x = 3, y = 4	15 + 4 = 19
Comparamos	✓ Se cumple

Verificación — Ecuación 2

Ecuación original	2x − y = 2
Sustituimos x = 3, y = 4	6 − 4 = 2
Comparamos	✓ Se cumple

Solución

x = 3, y = 4

Igualación — ya despejadas

Resuelve el sistema

{

1y = 3x − 2

2y = −x + 6

¿Qué hacemos?	Nos queda
Las dos ecuaciones ya tienen y despejada, no hace falta despejar nada	y = 3x−2 \| y = −x+6
Igualamos las dos expresiones de y	3x − 2 = −x + 6
Pasamos las x a un lado y los números al otro	3x + x = 6 + 2
Sumamos y despejamos: el 4 pasa dividiendo	4x = 8 → x = 2
Sustituimos x por 2 en y = 3x − 2	y = 6 − 2 = 4

Verificación — Ecuación 1

Ecuación original	y = 3x − 2
Sustituimos x = 2, y = 4	4 = 6 − 2
Comparamos	✓ Se cumple

Verificación — Ecuación 2

Ecuación original	y = −x + 6
Sustituimos x = 2, y = 4	4 = −2 + 6
Comparamos	✓ Se cumple

Solución

x = 2, y = 4

Nivel intermedio — resultados en fracción

Igualación — fracción intermedia

Resuelve el sistema

{

12x + 3y = 13

2x − y = 1

¿Qué hacemos?	Nos queda
Despejamos x en la Ecuación 1: el 3y pasa restando y el 2 pasa dividiendo a todo	x = (13 − 3y) ÷ 2
Despejamos x en la Ecuación 2: la y pasa sumando	x = 1 + y
Igualamos las dos expresiones de x	(13 − 3y)÷2 = 1 + y
El 2 que divide pasa multiplicando a todo el lado derecho	13 − 3y = 2 + 2y
Pasamos las y a un lado y los números al otro	13 − 2 = 2y + 3y
Sumamos y despejamos: el 5 pasa dividiendo	11 = 5y → y = 11/5
Sustituimos y por 11/5 en x = 1 + y	x = 1 + 11/5 = 16/5

Verificación — Ecuación 1

Ecuación original	2x + 3y = 13
Sustituimos x = 16/5, y = 11/5	32/5 + 33/5 = 65/5
Comparamos	65/5 = 13 ✓ Se cumple

Verificación — Ecuación 2

Ecuación original	x − y = 1
Sustituimos x = 16/5, y = 11/5	16/5 − 11/5 = 5/5
Comparamos	5/5 = 1 ✓ Se cumple

Solución

x = 16/5, y = 11/5

Igualación — fracción

Resuelve el sistema

{

14x − 2y = 10

23x + y = 11

¿Qué hacemos?	Nos queda
Despejamos y en la Ecuación 1: el 4x pasa restando y el −2 pasa dividiendo	y = 2x − 5
Despejamos y en la Ecuación 2: el 3x pasa restando	y = 11 − 3x
Igualamos las dos expresiones de y	2x − 5 = 11 − 3x
Pasamos las x a un lado y los números al otro	2x + 3x = 11 + 5
Sumamos y despejamos: el 5 pasa dividiendo	5x = 16 → x = 16/5
Sustituimos x por 16/5 en y = 11 − 3x	y = 55/5 − 48/5 = 7/5

Verificación — Ecuación 1

Ecuación original	4x − 2y = 10
Sustituimos x = 16/5, y = 7/5	64/5 − 14/5 = 50/5
Comparamos	50/5 = 10 ✓ Se cumple

Verificación — Ecuación 2

Ecuación original	3x + y = 11
Sustituimos x = 16/5, y = 7/5	48/5 + 7/5 = 55/5
Comparamos	55/5 = 11 ✓ Se cumple

Solución

x = 16/5, y = 7/5

Igualación — fracción

Resuelve el sistema

{

13x − 2y = 8

2x + 4y = 14

¿Qué hacemos?	Nos queda
Despejamos x en la Ecuación 1: el 2y pasa sumando y el 3 pasa dividiendo a todo	x = (8 + 2y) ÷ 3
Despejamos x en la Ecuación 2: el 4y pasa restando	x = 14 − 4y
Igualamos las dos expresiones de x	(8 + 2y)÷3 = 14 − 4y
El 3 que divide pasa multiplicando a todo el lado derecho	8 + 2y = 42 − 12y
Pasamos las y a un lado y los números al otro	2y + 12y = 42 − 8
Sumamos y despejamos: el 14 pasa dividiendo	14y = 34 → y = 17/7
Sustituimos y por 17/7 en x = 14 − 4y	x = 98/7 − 68/7 = 30/7

Verificación — Ecuación 1

Ecuación original	3x − 2y = 8
Sustituimos x = 30/7, y = 17/7	90/7 − 34/7 = 56/7
Comparamos	56/7 = 8 ✓ Se cumple

Verificación — Ecuación 2

Ecuación original	x + 4y = 14
Sustituimos x = 30/7, y = 17/7	30/7 + 68/7 = 98/7
Comparamos	98/7 = 14 ✓ Se cumple

Solución

x = 30/7, y = 17/7

Igualación — despejando x

Resuelve el sistema

{

1x + 2y = 8

23x − y = 3

¿Qué hacemos?	Nos queda
Despejamos x en la Ecuación 1: el 2y pasa restando	x = 8 − 2y
Despejamos x en la Ecuación 2: la y pasa sumando y el 3 pasa dividiendo	x = (3 + y) ÷ 3
Igualamos las dos expresiones de x	8 − 2y = (3 + y)÷3
El 3 pasa multiplicando a todo el lado izquierdo	24 − 6y = 3 + y
Pasamos las y a un lado y los números al otro	24 − 3 = y + 6y
Sumamos y despejamos: el 7 pasa dividiendo	21 = 7y → y = 3
Sustituimos y por 3 en x = 8 − 2y	x = 8 − 6 = 2

Verificación — Ecuación 1

Ecuación original	x + 2y = 8
Sustituimos x = 2, y = 3	2 + 6 = 8
Comparamos	✓ Se cumple

Verificación — Ecuación 2

Ecuación original	3x − y = 3
Sustituimos x = 2, y = 3	6 − 3 = 3
Comparamos	✓ Se cumple

Solución

x = 2, y = 3

Problemas aplicados

E10

Aplicado — números 🔢

La diferencia entre dos números es 4. El doble del primero más el segundo es 17. ¿Cuáles son?

Defino: x = primer número, y = segundo número.

{

1x − y = 4

22x + y = 17

¿Qué hacemos?	Nos queda
Despejamos x en la Ecuación 1: la y pasa sumando	x = 4 + y
Despejamos x en la Ecuación 2: la y pasa restando y el 2 pasa dividiendo	x = (17 − y) ÷ 2
Igualamos las dos expresiones de x	4 + y = (17 − y)÷2
El 2 pasa multiplicando a todo el lado izquierdo	8 + 2y = 17 − y
Pasamos las y a un lado y los números al otro	2y + y = 17 − 8
Sumamos y despejamos: el 3 pasa dividiendo	3y = 9 → y = 3
Sustituimos y por 3 en x = 4 + y	x = 4 + 3 = 7

Verificación — Ecuación 1

Ecuación original	x − y = 4
Sustituimos x = 7, y = 3	7 − 3 = 4
Comparamos	✓ Se cumple

Verificación — Ecuación 2

Ecuación original	2x + y = 17
Sustituimos x = 7, y = 3	14 + 3 = 17
Comparamos	✓ Se cumple

Respuesta

Los números son 7 y 3

E11

Aplicado — monedas 🪙

Juan tiene 15 monedas entre monedas de $1 y de $5, con un valor total de $51. ¿Cuántas monedas tiene de cada tipo?

Defino: x = monedas de $1, y = monedas de $5.

{

1x + y = 15

2x + 5y = 51

¿Qué hacemos?	Nos queda
Despejamos x en la Ecuación 1	x = 15 − y
Despejamos x en la Ecuación 2	x = 51 − 5y
Igualamos las dos expresiones de x	15 − y = 51 − 5y
Pasamos las y a un lado y los números al otro	5y − y = 51 − 15
Sumamos y despejamos: el 4 pasa dividiendo	4y = 36 → y = 9
Sustituimos y por 9 en x = 15 − y	x = 15 − 9 = 6

Verificación — Ecuación 1

Ecuación original	x + y = 15
Sustituimos x = 6, y = 9	6 + 9 = 15
Comparamos	✓ Se cumple

Verificación — Ecuación 2

Ecuación original	x + 5y = 51
Sustituimos x = 6, y = 9	6 + 45 = 51
Comparamos	✓ Se cumple

Respuesta

6 monedas de $1 y 9 monedas de $5

E12

Aplicado — mezclas ☕

Se mezcla café de $6/kg con café de $10/kg para obtener 8 kg de mezcla a $8/kg. ¿Cuántos kg de cada tipo?

Defino: x = kg del café de $6, y = kg del café de $10.

{

1x + y = 8

26x + 10y = 64

¿Qué hacemos?	Nos queda
Despejamos x en la Ecuación 1	x = 8 − y
Despejamos x en la Ecuación 2: el 10y pasa restando y el 6 pasa dividiendo	x = (64 − 10y) ÷ 6
Igualamos las dos expresiones de x	8 − y = (64 − 10y)÷6
El 6 pasa multiplicando a todo el lado izquierdo	48 − 6y = 64 − 10y
Pasamos las y a un lado y los números al otro	10y − 6y = 64 − 48
Sumamos y despejamos: el 4 pasa dividiendo	4y = 16 → y = 4
Sustituimos y por 4 en x = 8 − y	x = 8 − 4 = 4

Verificación — Ecuación 1

Ecuación original	x + y = 8
Sustituimos x = 4, y = 4	4 + 4 = 8
Comparamos	✓ Se cumple

Verificación — Ecuación 2

Ecuación original	6x + 10y = 64
Sustituimos x = 4, y = 4	24 + 40 = 64
Comparamos	✓ Se cumple

Respuesta

4 kg a $6/kg y 4 kg a $10/kg

E13

Aplicado — edades 👨‍👦

La suma de las edades de un padre y su hijo es 40. La diferencia de sus edades es 10. ¿Edades de cada uno?

Defino: x = edad del padre, y = edad del hijo.

{

1x + y = 40

2x − y = 10

¿Qué hacemos?	Nos queda
Despejamos x en la Ecuación 1	x = 40 − y
Despejamos x en la Ecuación 2	x = 10 + y
Igualamos las dos expresiones de x	40 − y = 10 + y
Pasamos las y a un lado y los números al otro	40 − 10 = y + y
Sumamos y despejamos: el 2 pasa dividiendo	30 = 2y → y = 15
Sustituimos y por 15 en x = 10 + y	x = 10 + 15 = 25

Verificación — Ecuación 1

Ecuación original	x + y = 40
Sustituimos x = 25, y = 15	25 + 15 = 40
Comparamos	✓ Se cumple

Verificación — Ecuación 2

Ecuación original	x − y = 10
Sustituimos x = 25, y = 15	25 − 15 = 10
Comparamos	✓ Se cumple

Respuesta

Padre: 25 años · Hijo: 15 años

E14

Aplicado — geometría 📐

El perímetro de un rectángulo es 30 cm. El largo es 3 cm más que el ancho. ¿Dimensiones?

Defino: x = largo, y = ancho.

{

12x + 2y = 30

2x = y + 3

¿Qué hacemos?	Nos queda
Despejamos x en la Ecuación 1: el 2y pasa restando y el 2 pasa dividiendo a todo	x = (30 − 2y) ÷ 2
La Ecuación 2 ya tiene x despejada	x = y + 3
Igualamos las dos expresiones de x	(30 − 2y)÷2 = y + 3
El 2 pasa multiplicando a todo el lado derecho	30 − 2y = 2y + 6
Pasamos las y a un lado y los números al otro	30 − 6 = 2y + 2y
Sumamos y despejamos: el 4 pasa dividiendo	24 = 4y → y = 6
Sustituimos y por 6 en x = y + 3	x = 6 + 3 = 9

Verificación — Ecuación 1

Ecuación original	2x + 2y = 30
Sustituimos x = 9, y = 6	18 + 12 = 30
Comparamos	✓ Se cumple

Verificación — Ecuación 2

Ecuación original	x = y + 3
Sustituimos x = 9, y = 6	9 = 6 + 3
Comparamos	✓ Se cumple

Respuesta

Largo: 9 cm · Ancho: 6 cm

E15

Aplicado — boletos 🎟️

Entrada de adulto $3, de niño $2. Se vendieron 100 entradas por $240. ¿Cuántas de cada tipo?

Defino: x = adultos, y = niños.

{

1x + y = 100

23x + 2y = 240

¿Qué hacemos?	Nos queda
Despejamos x en la Ecuación 1	x = 100 − y
Despejamos x en la Ecuación 2: el 2y pasa restando y el 3 pasa dividiendo	x = (240 − 2y) ÷ 3
Igualamos las dos expresiones de x	100 − y = (240 − 2y)÷3
El 3 pasa multiplicando a todo el lado izquierdo	300 − 3y = 240 − 2y
Pasamos las y a un lado y los números al otro	300 − 240 = 3y − 2y
Simplificamos ambos lados	60 = y → y = 60
Sustituimos y por 60 en x = 100 − y	x = 100 − 60 = 40

Verificación — Ecuación 1

Ecuación original	x + y = 100
Sustituimos x = 40, y = 60	40 + 60 = 100
Comparamos	✓ Se cumple

Verificación — Ecuación 2

Ecuación original	3x + 2y = 240
Sustituimos x = 40, y = 60	120 + 120 = 240
Comparamos	✓ Se cumple

Respuesta

40 adultos y 60 niños

E16

Aplicado — inversión 💰

$5000 invertidos en dos cuentas: una al 4% y otra al 6% anual. Interés total: $260. ¿Cuánto en cada una?

Defino: x = monto al 4%, y = monto al 6%.

{

1x + y = 5000

20,04x + 0,06y = 260

¿Qué hacemos?	Nos queda
Despejamos x en la Ecuación 1	x = 5000 − y
Despejamos x en la Ecuación 2: el 0,06y pasa restando y el 0,04 pasa dividiendo	x = (260 − 0,06y) ÷ 0,04
Igualamos las dos expresiones de x	5000 − y = (260 − 0,06y)÷0,04
El 0,04 pasa multiplicando a todo el lado izquierdo	200 − 0,04y = 260 − 0,06y
Pasamos las y a un lado y los números al otro	0,06y − 0,04y = 260 − 200
Sumamos y despejamos: el 0,02 pasa dividiendo	0,02y = 60 → y = 3000
Sustituimos y por 3000 en x = 5000 − y	x = 5000 − 3000 = 2000

Verificación — Ecuación 1

Ecuación original	x + y = 5000
Sustituimos x = 2000, y = 3000	2000 + 3000 = 5000
Comparamos	✓ Se cumple

Verificación — Ecuación 2

Ecuación original	0,04x + 0,06y = 260
Sustituimos x = 2000, y = 3000	80 + 180 = 260
Comparamos	✓ Se cumple

Respuesta

$2000 al 4% · $3000 al 6%

E17

Aplicado — velocidad 🚤

Una lancha a favor de la corriente alcanza 15 km/h efectivos, y en contra 5 km/h. ¿Velocidad de la lancha y de la corriente?

Defino: x = velocidad lancha, y = velocidad corriente.

{

1x + y = 15

2x − y = 5

¿Qué hacemos?	Nos queda
Despejamos x en la Ecuación 1	x = 15 − y
Despejamos x en la Ecuación 2	x = 5 + y
Igualamos las dos expresiones de x	15 − y = 5 + y
Pasamos las y a un lado y los números al otro	15 − 5 = y + y
Sumamos y despejamos: el 2 pasa dividiendo	10 = 2y → y = 5
Sustituimos y por 5 en x = 5 + y	x = 5 + 5 = 10

Verificación — Ecuación 1

Ecuación original	x + y = 15
Sustituimos x = 10, y = 5	10 + 5 = 15
Comparamos	✓ Se cumple

Verificación — Ecuación 2

Ecuación original	x − y = 5
Sustituimos x = 10, y = 5	10 − 5 = 5
Comparamos	✓ Se cumple

Respuesta

Lancha: 10 km/h · Corriente: 5 km/h

E18

Aplicado — compras 🛒

4 cuadernos y 3 lápices cuestan $29. Un cuaderno cuesta $2 más que un lápiz. ¿Precio de cada uno?

Defino: x = precio del cuaderno, y = precio del lápiz.

{

14x + 3y = 29

2x = y + 2

¿Qué hacemos?	Nos queda
Despejamos x en la Ecuación 1: el 3y pasa restando y el 4 pasa dividiendo a todo	x = (29 − 3y) ÷ 4
La Ecuación 2 ya tiene x despejada	x = y + 2
Igualamos las dos expresiones de x	(29 − 3y)÷4 = y + 2
El 4 pasa multiplicando a todo el lado derecho	29 − 3y = 4y + 8
Pasamos las y a un lado y los números al otro	29 − 8 = 4y + 3y
Sumamos y despejamos: el 7 pasa dividiendo	21 = 7y → y = 3
Sustituimos y por 3 en x = y + 2	x = 3 + 2 = 5

Verificación — Ecuación 1

Ecuación original	4x + 3y = 29
Sustituimos x = 5, y = 3	20 + 9 = 29
Comparamos	✓ Se cumple

Verificación — Ecuación 2

Ecuación original	x = y + 2
Sustituimos x = 5, y = 3	5 = 3 + 2
Comparamos	✓ Se cumple

Respuesta

Cuaderno: $5 · Lápiz: $3

Resumen — el método en una sola idea

1. Despeja

La misma variable en las dos ecuaciones

2. Iguala

Las dos expresiones, porque valen lo mismo

3. Resuelve

Queda una ecuación con una sola incógnita

4. Sustituye

En cualquiera de las dos expresiones del paso 1

Fracción con denominador

El denominador pasa multiplicando al otro lado

Siempre

Verifica en las DOS ecuaciones originales

🔀
Casos especiales: sin solución e infinitas soluciones

El método de igualación también te avisa cuando un sistema no tiene solución única — la variable se cancela por completo.

E19

Sin solución

Resuelve el sistema

{

1x + y = 4

2x + y = 9

¿Qué hacemos?	Nos queda
Despejamos y en la Ecuación 1	y = 4 − x
Despejamos y en la Ecuación 2	y = 9 − x
Igualamos las dos expresiones de y	4 − x = 9 − x
Sumamos x en ambos lados: la x se cancela	4 = 9 (igualdad FALSA)

Cuando la variable se cancela y queda una igualdad falsa (4 = 9), las dos rectas son paralelas: tienen la misma pendiente pero nunca se cruzan. No existe ningún par (x, y) que cumpla ambas ecuaciones.

Respuesta

Sin solución (rectas paralelas)

E20

Infinitas soluciones

Resuelve el sistema

{

12x + 4y = 8

2x + 2y = 4

¿Qué hacemos?	Nos queda
Despejamos y en la Ecuación 1: el 2x pasa restando y el 4 pasa dividiendo	y = 2 − x/2
Despejamos y en la Ecuación 2: la x pasa restando y el 2 pasa dividiendo	y = 2 − x/2
Igualamos: observamos que ambas expresiones son idénticas	2 − x/2 = 2 − x/2
Restamos "2 − x/2" en ambos lados: todo se cancela	0 = 0 (igualdad VERDADERA)

Cuando queda una igualdad verdadera (0 = 0), las dos ecuaciones son la misma recta (la Ecuación 1 es exactamente el doble de la Ecuación 2). Cualquier punto que cumpla una, cumple la otra — hay infinitas soluciones.

Respuesta

Infinitas soluciones (misma recta)

⚖
Ventajas y desventajas del método de igualación

Ventajas

Procedimiento claro y lógico. Ideal para ecuaciones simples. Permite visualizar bien la relación entre las dos incógnitas.

Desventajas

Puede generar fracciones si el despeje no es limpio. No siempre es el método más rápido — a veces reducción es más directo.

!
Errores comunes

ERROR 1

Cambiar mal los signos al despejar

Incorrecto

De 3x − y = 7, despejar y = 3x + 7

Al pasar el −y al otro lado, olvidaron cambiar el signo.

Correcto

y = 3x − 7

Todo término que cruza el signo igual invierte su signo.

Es el error más común de todo el método — revisa cada signo al despejar.

ERROR 2

No despejar la misma variable en ambas ecuaciones

Incorrecto

Despejar x en la Ecuación 1 y y en la Ecuación 2, e igualarlas

Igualar x con y no tiene sentido matemático — son cantidades distintas.

Correcto

Despejar la MISMA variable en las dos ecuaciones

Solo así ambas expresiones valen lo mismo y se pueden igualar.

Antes de igualar, revisa que ambas expresiones despejen la misma letra.

ERROR 3

Olvidar multiplicar por el denominador completo

Incorrecto

(13−3y)÷2 = 1+y → 13−3y = 1+y

Multiplicaron solo un término del lado derecho por el 2, no todo.

Correcto

13−3y = 2(1+y)

El denominador multiplica a TODO el otro lado, no a un solo término.

Al pasar un denominador multiplicando, ponlo entre paréntesis alrededor del lado completo.

ERROR 4

No verificar la solución en las dos ecuaciones

Incorrecto

Dar la respuesta sin comprobarla

Un error de signo puede pasar completamente desapercibido.

Correcto

Sustituir en las DOS ecuaciones originales

Solo si ambas se cumplen, la solución es correcta.

Verificar toma 30 segundos y te ahorra dar una respuesta incorrecta.

?
Preguntas frecuentes

¿Qué variable conviene despejar, x o y?

▼

La que sea más fácil de despejar en las dos ecuaciones a la vez. Si una variable tiene coeficiente 1 en ambas ecuaciones, esa es la mejor opción — evita generar fracciones.

Antes de empezar, mira los coeficientes de ambas variables en las dos ecuaciones y elige la que se vea más simple de despejar.

¿Qué pasa si al despejar me queda una fracción?

▼

No hay problema — sigue el mismo procedimiento. Al igualar, cuando tengas un denominador, pásalo multiplicando a todo el otro lado de la ecuación antes de seguir resolviendo.

Si las fracciones se ven muy complicadas, considera si el método de reducción sería más directo para ese sistema en particular.

¿La igualación siempre da el mismo resultado que sustitución o reducción?

▼

Sí, siempre. Los tres métodos son caminos distintos hacia la misma solución. La elección del método no cambia la respuesta, solo qué tan rápido y limpio es el camino para llegar a ella.

Puedes usar cualquier método para verificar el resultado de otro — si ambos dan la misma solución, tienes doble confirmación.

¿Cómo sé si el sistema no tiene solución o tiene infinitas?

▼

Al igualar, si la variable se cancela por completo, mira lo que queda: una igualdad falsa (como 4 = 9) significa que no hay solución (rectas paralelas). Una igualdad verdadera (como 0 = 0) significa infinitas soluciones (misma recta).

Estos casos son poco frecuentes en la práctica, pero es importante reconocerlos cuando aparecen.

¿En qué consiste exactamente la verificación?

▼

Consiste en tomar los valores de x e y que hallaste y reemplazarlos en cada ecuación original por separado. Escribes la ecuación, sustituyes cada variable por su valor, resuelves ambos lados y comparas: si son iguales, esa ecuación se cumple. Repites esto para las dos ecuaciones.

Si una ecuación no se cumple, el error está casi siempre en un signo durante el despeje, no en la verificación misma.

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