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¿Qué es la factorización por agrupación?
La factorización por agrupación es una técnica que usas cuando un polinomio no tiene factor común entre todos sus términos, pero sí lo tiene entre algunos. La idea es separar los términos en grupos, sacar el factor común de cada grupo, y descubrir que todos los grupos comparten un factor polinómico común que puedes extraer al final.
Ejemplo guiado — la idea en palabras simples
🍎🍊 Tienes: 3 manzanas rojas, 3 manzanas verdes, 5 naranjas dulces, 5 naranjas amargas
No todas comparten el mismo rasgo. Pero puedes agrupar:
Grupo 1: 3 manzanas rojas + 3 manzanas verdes = 3 manzanas (rojas + verdes)
Grupo 2: 5 naranjas dulces + 5 naranjas amargas = 5 naranjas (dulces + amargas)
Ahora ves que tienes: 3 manzanas y 5 naranjas. Eso es (3 manzanas + 5 naranjas) × (rojas + verdes). El patrón compartido entre los grupos se convierte en el factor común final.
En álgebra funciona exactamente igual. Agrupas términos, sacas el factor común de cada grupo, y el paréntesis que queda igual en todos los grupos es el factor polinómico que extraes al final.
Definición: La factorización por agrupación consiste en reunir los términos de un polinomio en subgrupos de manera que cada subgrupo tenga factor común, y que tras extraerlo de cada grupo aparezca un mismo factor polinómico en todos ellos.
🎯
¿Cuándo usar la factorización por agrupación?
Antes de agrupar, siempre intenta el factor común clásico. Si no existe (o si el factor común es 1), entonces la agrupación es tu siguiente herramienta.
Ejemplo guiado — detectar cuándo agrupar
¿Tiene factor común \(x^3 + 2x^2 + 3x + 6\)?
Coeficientes: 1, 2, 3, 6. MCD = 1. No hay factor numérico común.
Variable \(x\): el término \(+6\) no tiene \(x\). No hay factor literal común.
Conclusión: no hay factor común clásico → prueba agrupación.
Agrupamos de 2 en 2:
Grupo 1: \(x^3 + 2x^2\) → FC: \(x^2\) → \(x^2(x + 2)\)
Grupo 2: \(3x + 6\) → FC: \(3\) → \(3(x + 2)\)
¡Los dos grupos tienen \((x+2)\)! Lo extraemos:
\(x^2(x+2) + 3(x+2) = (x+2)(x^2+3)\) ✓
Señales de que funciona la agrupación
✅ El polinomio tiene 4 términos (o 6)
✅ No hay factor común entre todos los términos
✅ Al agrupar de 2 en 2, ambos grupos dan el mismo paréntesis
✅ Los coeficientes tienen relaciones entre sí (proporcionales por pares)
Señales de que NO funciona (o hay que reorganizar)
❌ Al agrupar, los paréntesis quedan distintos
❌ El polinomio tiene 3 términos (prueba trinomio)
❌ Uno de los grupos no tiene factor común
❌ Tras agrupar, el resultado no puede simplificarse más
Truco para detectarlo rápido: si tienes 4 términos y los coeficientes se pueden emparejar con una proporción (por ejemplo, 1:2 y 3:6 ambas son ÷2), es muy probable que la agrupación funcione.
📋
Factorización por agrupación: El método en 4 pasos
El procedimiento es siempre el mismo, sin importar cuántos términos tenga el polinomio o cómo estén organizados.
1
Verifica que no hay factor común entre todos los términos
Si hay factor común clásico, sácalo primero. La agrupación viene después o en su lugar si no hay factor común global.
2
Forma los grupos (de 2 en 2, o de 3+1)
Divide los términos en grupos de forma que dentro de cada grupo sí exista factor común. En general la agrupación 2+2 es la más usada.
3
Extrae el factor común de cada grupo
Aplica el método de factor común a cada grupo por separado. Al terminar, todos los grupos deben mostrar el
mismo factor polinómico entre paréntesis.
4
Extrae el factor polinómico común y escribe el resultado
El paréntesis repetido es el factor polinómico. Lo sacas afuera igual que si fuera una variable. Lo que queda de cada grupo va dentro del segundo paréntesis.
Si los paréntesis no son iguales al terminar el paso 3: intenta reordenar los términos del polinomio original y vuelve a agrupar. A veces el orden en que están escritos los términos no es el óptimo para agrupar.
2️⃣
Variante 1 — Agrupación 2 + 2 (la más común)
La más frecuente: el polinomio tiene 4 términos y los separamos en dos grupos de 2. Es la base del método y la que verás en la mayoría de exámenes.
Ejemplo guiado completo
Factoriza \(2x^3 – 3x^2 + 4x – 6\)
Paso 1: ¿Hay FC global? Coeficientes 2, 3, 4, 6 → MCD = 1. El término \(-6\) no tiene \(x\). No hay FC global.
Paso 2: Agrupo de 2 en 2:
Grupo 1: \(2x^3 – 3x^2\) Grupo 2: \(4x – 6\)
Paso 3: FC de cada grupo:
Grupo 1: FC = \(x^2\) → \(x^2(2x – 3)\)
Grupo 2: FC = \(2\) → \(2(2x – 3)\)
¡Los dos grupos tienen \((2x-3)\)! ✓
Paso 4: \(x^2(2x-3) + 2(2x-3) = (2x-3)(x^2+2)\)
Grupo 1
\(\color{#ea580c}{2x^3 – 3x^2}\)
FC = \(x^2\) → \(\color{#ea580c}{x^2}\color{#9333ea}{(2x-3)}\)
Grupo 2
\(\color{#2563eb}{4x – 6}\)
FC = \(2\) → \(\color{#2563eb}{2}\color{#9333ea}{(2x-3)}\)
↓ Factor polinómico común: \((2x-3)\) ↓
\[ \color{#ea580c}{x^2}\color{#9333ea}{(2x-3)} + \color{#2563eb}{2}\color{#9333ea}{(2x-3)} = \color{#9333ea}{(2x-3)}(\color{#ea580c}{x^2}\color{#2563eb}{+2}) \]
E1
Agrupación 2+2 — básico
Factoriza: \(ax + ay + bx + by\)
Ejemplo guiado
El ejemplo más básico del método
Este es el esquema puro de la agrupación. Los 4 términos se emparejan perfectamente. Observa cómo los dos grupos dan exactamente el mismo paréntesis \((x+y)\).
Grupo 1
\(\color{#ea580c}{ax + ay}\)
FC = \(a\) → \(\color{#ea580c}{a}\color{#9333ea}{(x+y)}\)
Grupo 2
\(\color{#2563eb}{bx + by}\)
FC = \(b\) → \(\color{#2563eb}{b}\color{#9333ea}{(x+y)}\)
↓ Factor polinómico común: \((x+y)\) ↓
4
\[ \color{#ea580c}{a}\color{#9333ea}{(x+y)} + \color{#2563eb}{b}\color{#9333ea}{(x+y)} = \color{#9333ea}{(x+y)}(\color{#ea580c}{a}\color{#2563eb}{+b}) \]
Verificación
\( (x+y)(a+b) = ax + bx + ay + by \;\checkmark \)
Resultado
\( (x+y)(a+b) \)
E2
Agrupación 2+2
Factoriza: \(x^3 + 2x^2 + 3x + 6\)
Grupo 1
\(\color{#ea580c}{x^3 + 2x^2}\)
FC = \(x^2\) → \(\color{#ea580c}{x^2}\color{#9333ea}{(x+2)}\)
Grupo 2
\(\color{#2563eb}{3x + 6}\)
FC = \(3\) → \(\color{#2563eb}{3}\color{#9333ea}{(x+2)}\)
↓ Factor polinómico común: \((x+2)\) ↓
\[ \color{#ea580c}{x^2}\color{#9333ea}{(x+2)} + \color{#2563eb}{3}\color{#9333ea}{(x+2)} = \color{#9333ea}{(x+2)}(\color{#ea580c}{x^2}\color{#2563eb}{+3}) \]
Resultado
\( (x+2)(x^2+3) \)
E3
Agrupación 2+2 con signos negativos
Factoriza: \(x^3 – x^2 – 5x + 5\)
Atención con los signos
Cuando el grupo tiene signo negativo
En el Grupo 2, el FC puede ser negativo para que los paréntesis queden iguales. Observa: \(-5x + 5 = -5(x – 1)\). El signo del FC cambia los signos dentro del paréntesis.
Grupo 1
\(\color{#ea580c}{x^3 – x^2}\)
FC = \(x^2\) → \(\color{#ea580c}{x^2}\color{#9333ea}{(x-1)}\)
Grupo 2
\(\color{#2563eb}{-5x + 5}\)
FC = \(-5\) → \(\color{#2563eb}{-5}\color{#9333ea}{(x-1)}\)
↓ Factor polinómico común: \((x-1)\) ↓
4
\[ \color{#ea580c}{x^2}\color{#9333ea}{(x-1)} \color{#2563eb}{- 5}\color{#9333ea}{(x-1)} = \color{#9333ea}{(x-1)}(\color{#ea580c}{x^2} \color{#2563eb}{- 5}) \]
Verificación
\( (x-1)(x^2-5) = x^3 – 5x – x^2 + 5 = x^3 – x^2 – 5x + 5 \;\checkmark \)
Resultado
\( (x-1)(x^2-5) \)
E4
2+2 — reordenar términos
Factoriza: \(3x – 15 + x^2 – 5x\) (los términos no están en el orden óptimo)
Ejemplo guiado — paso previo crucial
Primero reordena, luego agrupa
Tal como está no se agrupa bien. Reordena juntando términos con \(x^2\) y \(x\): \(x^2 + 3x – 5x – 15\). Simplifica: \(x^2 – 2x – 15\). Espera, ese es un trinomio. Intentemos el reordenamiento como \(x^2 – 5x + 3x – 15\) para que al agrupar funcione.
Grupo 1 (reordenado)
\(\color{#ea580c}{x^2 – 5x}\)
FC = \(x\) → \(\color{#ea580c}{x}\color{#9333ea}{(x-5)}\)
Grupo 2
\(\color{#2563eb}{3x – 15}\)
FC = \(3\) → \(\color{#2563eb}{3}\color{#9333ea}{(x-5)}\)
↓ Factor polinómico común: \((x-5)\) ↓
\[ \color{#ea580c}{x}\color{#9333ea}{(x-5)} \color{#2563eb}{+ 3}\color{#9333ea}{(x-5)} = \color{#9333ea}{(x-5)}(\color{#ea580c}{x} \color{#2563eb}{+ 3}) \]
Lección clave
Si al agrupar en el orden original no funciona, reordena los términos. Muchas veces el orden original no es el correcto para la agrupación.
Resultado
\( (x-5)(x+3) \)
E5
2+2 — con FC previo
Factoriza completamente: \(2x^3 + 4x^2 – 6x – 12\)
Ejemplo guiado — FC primero, luego agrupación
Siempre busca el factor común global antes de agrupar
Los coeficientes son 2, 4, 6, 12. MCD = 2. El término \(-12\) no tiene variable. FC global = 2. Lo sacamos primero y luego agrupamos el resultado.
1
FC global primero
\[ 2(x^3 + 2x^2 – 3x – 6) \]
2
Agrupamos el paréntesis de 2 en 2
Grupo 1
\(\color{#ea580c}{x^3 + 2x^2}\)
→ \(\color{#ea580c}{x^2}\color{#9333ea}{(x+2)}\)
Grupo 2
\(\color{#2563eb}{-3x – 6}\)
→ \(\color{#2563eb}{-3}\color{#9333ea}{(x+2)}\)
3
Extraigo el factor polinómico y completo
\[ 2[ \color{#ea580c}{x^2}\color{#9333ea}{(x+2)} \color{#2563eb}{- 3}\color{#9333ea}{(x+2)} ] = 2\color{#9333ea}{(x+2)}(\color{#ea580c}{x^2} \color{#2563eb}{- 3}) \]
Resultado completo
\( 2(x+2)(x^2-3) \)
3️⃣
Variante 2 — Agrupación 3 + 1
A veces 3 términos forman un grupo reconocible (como un cuadrado perfecto) y el cuarto término se relaciona con ellos. Esta variante aparece frecuentemente combinada con otros métodos como diferencia de cuadrados.
Ejemplo guiado — reconocer el patrón 3+1
Factoriza \(x^2 + 2xy + y^2 – 9\)
Los primeros tres términos forman un trinomio cuadrado perfecto: \(x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2\).
El cuarto término es \(-9 = -3^2\).
Entonces la expresión queda: \((x+y)^2 – 3^2\), que es una diferencia de cuadrados.
Resultado: \([(x+y)+3][(x+y)-3] = (x+y+3)(x+y-3)\).
La agrupación 3+1 te llevó a identificar una forma algebraica conocida.
E6
Agrupación 3+1 — clásico
Factoriza: \(a^2 + 2ab + b^2 – c^2\)
Grupo 1 (3 términos)
\(\color{#ea580c}{a^2 + 2ab + b^2}\)
= \(\color{#ea580c}{(a+b)^2}\)
Grupo 2 (1 término)
\(\color{#2563eb}{-\, c^2}\)
= \(\color{#2563eb}{-c^2}\)
↓ \(\color{#ea580c}{(a+b)^2} \color{#2563eb}{- c^2}\) → Diferencia de cuadrados ↓
3
Aplico diferencia de cuadrados: \(A^2 – B^2 = (A+B)(A-B)\)
\[ (\color{#ea580c}{a+b} \color{#2563eb}{+ c})(\color{#ea580c}{a+b} \color{#2563eb}{- c}) \]
Resultado
\( (a+b+c)(a+b-c) \)
E7
Agrupación 3+1
Factoriza: \(x^2 – 6x + 9 – y^2\)
Grupo 1 (3 términos)
\(\color{#ea580c}{x^2 – 6x + 9}\)
= \(\color{#ea580c}{(x-3)^2}\)
Grupo 2 (1 término)
\(\color{#2563eb}{-\, y^2}\)
= \(\color{#2563eb}{-y^2}\)
↓ \(\color{#ea580c}{(x-3)^2} \color{#2563eb}{- y^2}\) → Diferencia de cuadrados ↓
\[ (\color{#ea580c}{x-3} \color{#2563eb}{+ y})(\color{#ea580c}{x-3} \color{#2563eb}{- y}) \]
Resultado
\( (x-3+y)(x-3-y) \)
E8
Agrupación 3+1 — variante
Factoriza: \(4x^2 + 4xy + y^2 – 16\)
Grupo 1
\(\color{#ea580c}{4x^2 + 4xy + y^2}\)
= \(\color{#ea580c}{(2x+y)^2}\)
Grupo 2
\(\color{#2563eb}{-16}\)
= \(\color{#2563eb}{-4^2}\)
↓ \(\color{#ea580c}{(2x+y)^2} \color{#2563eb}{- 4^2}\) ↓
\[ (\color{#ea580c}{2x+y} \color{#2563eb}{+ 4})(\color{#ea580c}{2x+y} \color{#2563eb}{- 4}) \]
Resultado
\( (2x+y+4)(2x+y-4) \)
6️⃣
Variante 3 — Agrupación 2+2+2 (seis términos)
Cuando el polinomio tiene 6 términos, podemos hacer tres grupos de 2 o dos grupos de 3. La lógica es la misma: sacar el FC de cada grupo y encontrar el factor polinómico común.
Ejemplo guiado
Factoriza \(ax + bx + ay + by + az + bz\)
Hay 6 términos. Agrupo de 2 en 2:
Grupo 1: \(ax + bx = x(a+b)\)
Grupo 2: \(ay + by = y(a+b)\)
Grupo 3: \(az + bz = z(a+b)\)
Los tres grupos tienen \((a+b)\). Lo extraigo:
\(x(a+b) + y(a+b) + z(a+b) = (a+b)(x+y+z)\)
E9
Agrupación 2+2+2
Factoriza: \(mx + nx + my + ny + mz + nz\)
Grupo 1
\(\color{#ea580c}{mx + nx}\)
= \(\color{#ea580c}{x}\color{#9333ea}{(m+n)}\)
Grupo 2
\(\color{#2563eb}{my + ny}\)
= \(\color{#2563eb}{y}\color{#9333ea}{(m+n)}\)
Grupo 3
\(\color{#16a34a}{mz + nz}\)
= \(\color{#16a34a}{z}\color{#9333ea}{(m+n)}\)
↓ Factor polinómico común: \((m+n)\) ↓
\[ \color{#ea580c}{x}\color{#9333ea}{(m+n)} + \color{#2563eb}{y}\color{#9333ea}{(m+n)} + \color{#16a34a}{z}\color{#9333ea}{(m+n)} = \color{#9333ea}{(m+n)}(\color{#ea580c}{x} \color{#2563eb}{+ y} \color{#16a34a}{+ z}) \]
Resultado
\( (m+n)(x+y+z) \)
E10
Agrupación 2+2+2 con coeficientes
Factoriza: \(2x^2 + 6x + 2xy + 6y + 2xz + 6z\)
Atención
Hay FC global: sácalo primero
MCD(2, 6, 2, 6, 2, 6) = 2. Lo sacamos primero: \(2(x^2 + 3x + xy + 3y + xz + 3z)\). Ahora agrupamos de 2 en 2.
Grupo 1
\(\color{#ea580c}{x^2 + 3x}\)
= \(\color{#ea580c}{x}\color{#9333ea}{(x+3)}\)
Grupo 2
\(\color{#2563eb}{xy + 3y}\)
= \(\color{#2563eb}{y}\color{#9333ea}{(x+3)}\)
Grupo 3
\(\color{#16a34a}{xz + 3z}\)
= \(\color{#16a34a}{z}\color{#9333ea}{(x+3)}\)
↓ Factor polinómico: \((x+3)\) ↓
\[ 2[ \color{#ea580c}{x}\color{#9333ea}{(x+3)} + \color{#2563eb}{y}\color{#9333ea}{(x+3)} + \color{#16a34a}{z}\color{#9333ea}{(x+3)} ] = 2\color{#9333ea}{(x+3)}(\color{#ea580c}{x} \color{#2563eb}{+ y} \color{#16a34a}{+ z}) \]
Resultado
\( 2(x+3)(x+y+z) \)
✏
20 ejercicios resueltos — Factorización
Los ejercicios E1–E10 ya los viste arriba. Aquí continúan de nivel intermedio a avanzado.
Nivel intermedio (E11 – E15)
E11
Intermedio 2+2
Factoriza: \(6x^3 + 9x^2 – 4x – 6\)
Grupo 1
\(\color{#ea580c}{6x^3 + 9x^2}\)
FC = \(3x^2\) → \(\color{#ea580c}{3x^2}\color{#9333ea}{(2x+3)}\)
Grupo 2
\(\color{#2563eb}{-4x – 6}\)
FC = \(-2\) → \(\color{#2563eb}{-2}\color{#9333ea}{(2x+3)}\)
↓ Factor polinómico común: \((2x+3)\) ↓
\[ \color{#ea580c}{3x^2}\color{#9333ea}{(2x+3)} \color{#2563eb}{- 2}\color{#9333ea}{(2x+3)} = \color{#9333ea}{(2x+3)}(\color{#ea580c}{3x^2} \color{#2563eb}{- 2}) \]
Resultado
\( (2x+3)(3x^2-2) \)
E12
Intermedio 2+2
Factoriza: \(4a^3 – 8a^2 + 3a – 6\)
Grupo 1
\(\color{#ea580c}{4a^3 – 8a^2}\)
FC = \(4a^2\) → \(\color{#ea580c}{4a^2}\color{#9333ea}{(a-2)}\)
Grupo 2
\(\color{#2563eb}{3a – 6}\)
FC = \(3\) → \(\color{#2563eb}{3}\color{#9333ea}{(a-2)}\)
↓ Factor polinómico común: \((a-2)\) ↓
\[ \color{#ea580c}{4a^2}\color{#9333ea}{(a-2)} \color{#2563eb}{+ 3}\color{#9333ea}{(a-2)} = \color{#9333ea}{(a-2)}(\color{#ea580c}{4a^2} \color{#2563eb}{+ 3}) \]
Resultado
\( (a-2)(4a^2+3) \)
E13
Intermedio — dos variables
Factoriza: \(x^2y – x^2 – y + 1\)
Atención
Los grupos dan paréntesis distintos: reordena
Si agrupas \((x^2y – x^2)\) y \((-y+1)\): Grupo 1 → \(x^2(y-1)\) · Grupo 2 → \(-(y-1)\). ¡Los paréntesis son iguales! \((y-1)\) es el factor común.
Grupo 1
\(\color{#ea580c}{x^2y – x^2}\)
FC = \(x^2\) → \(\color{#ea580c}{x^2}\color{#9333ea}{(y-1)}\)
Grupo 2
\(\color{#2563eb}{-y + 1}\)
FC = \(-1\) → \(\color{#2563eb}{-1}\color{#9333ea}{(y-1)}\)
↓ Factor polinómico común: \((y-1)\) ↓
\[ \color{#ea580c}{x^2}\color{#9333ea}{(y-1)} \color{#2563eb}{- 1}\color{#9333ea}{(y-1)} = \color{#9333ea}{(y-1)}(\color{#ea580c}{x^2} \color{#2563eb}{- 1}) = \color{#9333ea}{(y-1)}(x+1)(x-1) \]
¿Se puede seguir?
\(x^2 – 1\) es diferencia de cuadrados: \((x+1)(x-1)\). Factorización completa: \((y-1)(x+1)(x-1)\).
Resultado completo
\( (y-1)(x+1)(x-1) \)
E14
Intermedio — FC global + agrupación
Factoriza completamente: \(3x^3 – 6x^2 + 3x – 6\)
1
FC global: MCD(3,6,3,6) = 3
\[ 3(x^3 – 2x^2 + x – 2) \]
2
Agrupación 2+2 dentro del paréntesis
Grupo 1
\(\color{#ea580c}{x^3 – 2x^2}\)
→ \(\color{#ea580c}{x^2}\color{#9333ea}{(x-2)}\)
Grupo 2
\(\color{#2563eb}{x – 2}\)
→ \(\color{#2563eb}{1}\color{#9333ea}{(x-2)}\)
3
\[ 3[ \color{#ea580c}{x^2}\color{#9333ea}{(x-2)} \color{#2563eb}{+ 1}\color{#9333ea}{(x-2)} ] = 3\color{#9333ea}{(x-2)}(\color{#ea580c}{x^2} \color{#2563eb}{+ 1}) \]
Resultado
\( 3(x-2)(x^2+1) \)
E15
Intermedio 3+1
Factoriza: \(x^2 + 4x + 4 – 25y^2\)
Grupo 1 (3 términos)
\(\color{#ea580c}{x^2 + 4x + 4}\)
= \(\color{#ea580c}{(x+2)^2}\)
Grupo 2
\(\color{#2563eb}{-25y^2}\)
= \(\color{#2563eb}{-(5y)^2}\)
↓ \(\color{#ea580c}{(x+2)^2} \color{#2563eb}{- (5y)^2}\) → Diferencia de cuadrados ↓
\[ (\color{#ea580c}{x+2} \color{#2563eb}{+ 5y})(\color{#ea580c}{x+2} \color{#2563eb}{- 5y}) \]
Resultado
\( (x+2+5y)(x+2-5y) \)
Nivel avanzado (E16 – E20)
E16
Avanzado — doble agrupación
Factoriza: \(x^3 – x^2y – xy^2 + y^3\)
Grupo 1
\(\color{#ea580c}{x^3 – x^2y}\)
FC = \(x^2\) → \(\color{#ea580c}{x^2}\color{#9333ea}{(x-y)}\)
Grupo 2
\(\color{#2563eb}{-xy^2 + y^3}\)
FC = \(-y^2\) → \(\color{#2563eb}{-y^2}\color{#9333ea}{(x-y)}\)
↓ Factor polinómico: \((x-y)\) ↓
3
\[ \color{#ea580c}{x^2}\color{#9333ea}{(x-y)} \color{#2563eb}{- y^2}\color{#9333ea}{(x-y)} = \color{#9333ea}{(x-y)}(\color{#ea580c}{x^2} \color{#2563eb}{- y^2}) \]
4
\(x^2 – y^2\) es diferencia de cuadrados → sigo factorizando
\[ \color{#9333ea}{(x-y)}(x+y)(x-y) = (x-y)^2(x+y) \]
Resultado completo
\( (x-y)^2(x+y) \)
E17
Avanzado — reordenamiento necesario
Factoriza: \(ab – 3 + a – 3b\)
Ejemplo guiado
El orden original no permite agrupar — reordena primero
Intento 1 (orden original): \((ab – 3)\) y \((a – 3b)\). El Grupo 1 no tiene FC claro. Reorganizo: \(ab + a – 3b – 3\).
Grupo 1 (reordenado)
\(\color{#ea580c}{ab + a}\)
FC = \(a\) → \(\color{#ea580c}{a}\color{#9333ea}{(b+1)}\)
Grupo 2
\(\color{#2563eb}{-3b – 3}\)
FC = \(-3\) → \(\color{#2563eb}{-3}\color{#9333ea}{(b+1)}\)
↓ Factor polinómico: \((b+1)\) ↓
\[ \color{#ea580c}{a}\color{#9333ea}{(b+1)} \color{#2563eb}{- 3}\color{#9333ea}{(b+1)} = \color{#9333ea}{(b+1)}(\color{#ea580c}{a} \color{#2563eb}{- 3}) \]
Resultado
\( (b+1)(a-3) \)
E18
Avanzado — cuatro variables
Factoriza: \(ac + ad + bc + bd\)
Grupo 1
\(\color{#ea580c}{ac + ad}\)
FC = \(a\) → \(\color{#ea580c}{a}\color{#9333ea}{(c+d)}\)
Grupo 2
\(\color{#2563eb}{bc + bd}\)
FC = \(b\) → \(\color{#2563eb}{b}\color{#9333ea}{(c+d)}\)
↓ Factor polinómico: \((c+d)\) ↓
\[ \color{#ea580c}{a}\color{#9333ea}{(c+d)} \color{#2563eb}{+ b}\color{#9333ea}{(c+d)} = \color{#9333ea}{(c+d)}(\color{#ea580c}{a} \color{#2563eb}{+ b}) \]
Resultado
\( (c+d)(a+b) \)
E19
Avanzado — 3+1 con negativo
Factoriza: \(9 – a^2 + 2ab – b^2\)
Atención — reordena el grupo de 3
El cuadrado perfecto está «escondido» con signo negativo
\(-a^2 + 2ab – b^2 = -(a^2 – 2ab + b^2) = -(a-b)^2\). Entonces la expresión queda \(9 – (a-b)^2\) que es diferencia de cuadrados.
Grupo 1 (1 término)
\(\color{#2563eb}{9}\)
= \(\color{#2563eb}{(3)^2}\)
Grupo 2 (3 términos)
\(\color{#ea580c}{-a^2 + 2ab – b^2}\)
= \(\color{#ea580c}{-(a-b)^2}\)
↓ \(\color{#2563eb}{(3)^2} \color{#ea580c}{- (a-b)^2}\) → Diferencia de cuadrados ↓
\[ (\color{#2563eb}{3} \color{#ea580c}{+ a – b})(\color{#2563eb}{3} \color{#ea580c}{- a + b}) \]
Resultado
\( (3+a-b)(3-a+b) \)
E20
Avanzado — triple factorización
Factoriza completamente: \(2x^4 – 2x^3 – 2x^2 + 2x\)
1
FC global: 2x
\[ 2x(x^3 – x^2 – x + 1) \]
2
Agrupación 2+2 dentro del paréntesis
Grupo 1
\(\color{#ea580c}{x^3 – x^2}\)
→ \(\color{#ea580c}{x^2}\color{#9333ea}{(x-1)}\)
Grupo 2
\(\color{#2563eb}{-x + 1}\)
→ \(\color{#2563eb}{-1}\color{#9333ea}{(x-1)}\)
\[ 2x [ \color{#ea580c}{x^2}\color{#9333ea}{(x-1)} \color{#2563eb}{- 1}\color{#9333ea}{(x-1)} ] = 2x\color{#9333ea}{(x-1)}(\color{#ea580c}{x^2}\color{#2563eb}{-1}) \]
3
\(x^2-1\) es diferencia de cuadrados → sigo
\[ 2x\color{#9333ea}{(x-1)}(x+1)(x-1) = 2x(x-1)^2(x+1) \]
Resultado completo
\( 2x(x-1)^2(x+1) \)
Resumen — Los 4 pasos de la agrupación de términos
Paso 1
Busca FC global. Si existe, sácalo primero. Luego agrupa el paréntesis.
Paso 2
Forma grupos (2+2, 3+1, 2+2+2). Si no funciona el orden original, reordena los términos.
Paso 3
Saca el FC de cada grupo. Todos deben mostrar el mismo factor polinómico.
Paso 4
Extrae el factor polinómico común. Lo que queda de cada grupo va en el segundo paréntesis.
¿Sigo factorizando?
Siempre revisa si los paréntesis resultantes admiten otro método: diferencia de cuadrados, trinomio, etc.
Señal de éxito
Todos los grupos tienen el mismo paréntesis al terminar el paso 3. Si no → reordena y repite.
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Errores comunes
ERROR 1
Los paréntesis quedan distintos y no se detecta el problema
Incorrecto
Agrupan \(x^3+3x\) y \(2x^2+6\) y obtienen \(x(x^2+3)\) y \(2(x^2+3)\). Concluyen que no hay factor común. ¡Pero sí lo hay!
Sí se ve \((x^2+3)\) en los dos. El error es no reconocerlo como factor polinómico.
Correcto
\( x(x^2+3) + 2(x^2+3) \)
\( = (x^2+3)(x+2) \) ✓
Compara los paréntesis con cuidado. Si son idénticos, ese es el factor polinómico a extraer.
Si los paréntesis parecen distintos pero son casi iguales, revisa los signos: puede que uno necesite FC negativo.
ERROR 2
Olvidar sacar el FC negativo para igualar los paréntesis
Incorrecto
\(x^2 – 5x + 5x – 25\)
Grupo 2: \(5x – 25 = 5(x-5)\)
Grupo 1: \(x^2 – 5x = x(x-5)\) ✓
Pero si Grupo 2 fuera \(-5x+25=5(-x+5)\) lo dejan así y dicen que no funciona
No se dieron cuenta de que \(-5(-x+5) = -5 \cdot -(x-5) = … \) necesitan FC negativo.
Correcto
\(-5x + 25 = -5(x – 5)\) ✓
FC negativo hace que el paréntesis quede igual
Cuando los paréntesis difieren en signo, prueba usando FC negativo en ese grupo.
Si el paréntesis de un grupo es \((a-b)\) y el otro da \((b-a)\), saca FC negativo de uno de ellos: \(-(b-a) = (a-b)\).
ERROR 3
No reordenar cuando la agrupación original no funciona
Incorrecto
Intentan \((ab-3)\) y \((a-3b)\), ven que no funciona y concluyen que el polinomio no factoriza.
Solo probaron una forma de agrupar. El método podría funcionar con un orden distinto de los términos.
Correcto
Reordenan: \(ab+a-3b-3\)
Grupos: \(a(b+1)\) y \(-3(b+1)\)
\( = (b+1)(a-3) \) ✓
Si la primera agrupación falla, prueba emparejando los términos de otra forma. A veces hay más de una forma correcta.
Un polinomio de 4 términos tiene varias formas de agruparse. Si la primera falla, prueba con otro emparejamiento antes de rendirte.
ERROR 4
Detenerse sin verificar si se puede seguir factorizando
Incorrecto
\( (x-1)(x^2-1) \)
«Ya terminé con la agrupación»
\(x^2-1\) es diferencia de cuadrados y puede seguir factorizándose. La factorización no está completa.
Correcto
\( (x-1)(x^2-1) \)
\( = (x-1)(x+1)(x-1) \)
\( = (x-1)^2(x+1) \) ✓
Después de cada paso, revisa si algún factor todavía admite otro método de factorización.
La factorización está completa cuando ningún factor puede descomponerse más. Siempre verifica al final.
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Preguntas frecuentes
Q
¿Cuándo debo usar agrupación y cuándo factor común?
▼
El orden siempre es: primero factor común, luego agrupación si el factor común no era global.
Usa agrupación cuando: el polinomio tiene 4 o más términos, no existe factor común entre todos los términos (o es 1), pero sí existen pares de términos con factor común entre sí.
Regla práctica: 2 términos → diferencia de cuadrados o suma/diferencia de cubos. 3 términos → trinomio. 4 términos → primero busca factor común, luego intenta agrupación.
Q
¿Siempre hay una sola forma correcta de agrupar?
▼
No. A veces hay más de una forma válida de agrupar y todas llevan al mismo resultado final. Lo que importa es que al terminar, todos los grupos tengan el mismo factor polinómico.
Por ejemplo, \(ax + bx + ay + by\) se puede agrupar como \((ax+bx)+(ay+by)\) o como \((ax+ay)+(bx+by)\), y ambas dan \((a+b)(x+y)\).
No hay una forma única correcta. Prueba distintas agrupaciones hasta que funcione.
Q
¿Cómo verifico que la factorización por agrupación es correcta?
▼
Distribuye el resultado multiplicando los factores. Si obtienes el polinomio original, la factorización es correcta.
También puedes sustituir un valor numérico (por ejemplo \(x=2\)) en el polinomio original y en tu resultado. Si dan el mismo número, es correcto.
Ejemplo: verificar \((x+2)(x^2+3)\) para \(x^3+2x^2+3x+6\).
Con \(x=1\): original = \(1+2+3+6=12\). Resultado: \((3)(4)=12\). ✓
Q
¿Qué hago si al agrupar los paréntesis difieren solo en signo?
▼
Si un grupo da \((a-b)\) y otro da \((b-a)\), son opuestos: \((b-a) = -(a-b)\). Solución: saca FC negativo del segundo grupo para que el paréntesis quede igual.
Ejemplo: Grupo 1 → \(x(a-b)\). Grupo 2 → \(3(b-a) = -3(a-b)\).
Resultado: \(x(a-b) + (-3)(a-b) = (a-b)(x-3)\). ✓
Q
¿La agrupación funciona siempre con 4 términos?
▼
No siempre. Hay polinomios de 4 términos que no factorizan por agrupación porque ningún emparejamiento de grupos produce el mismo factor polinómico.
Cuando eso ocurre, puede que el polinomio sea irreducible (no factorizable sobre los enteros), o que requiera un método diferente como el teorema del factor racional.
Si probaste todos los reordenamientos posibles y ninguno funciona, el polinomio probablemente no factoriza por este método. Prueba con división sintética o con sustitución de raíces.
