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¿Qué es el factor común?
Factorizar por factor común significa sacar afuera lo que todos los términos de una expresión tienen en común, igual que cuando agrupas objetos por sus características compartidas.
Ejemplo guiado — antes de cualquier fórmula
🍎 Piensa en esto: tienes 6 manzanas y 4 peras
Puedes escribirlo como \(6 + 4\). Pero también puedes decir: «tengo 2 grupos de 3 manzanas y 2 grupos de 2 peras», es decir, 2 grupos de (3 manzanas + 2 peras).
Matemáticamente: \(6 + 4 = 2 \cdot 3 + 2 \cdot 2 = 2(3 + 2)\).
Ese 2 que «salió afuera» es el factor común. Lo extrajiste porque dividía exactamente a los dos términos.
En álgebra pasa exactamente lo mismo, solo que los términos pueden tener variables y exponentes.
Multiplicar (distributiva)
\(3(x + 4) = 3x + 12\)
Empiezas con un producto y lo conviertes en una suma.
Factorizar (inverso)
\(3x + 12 = 3(x + 4)\)
Empiezas con una suma y la conviertes en un producto.
Definición: El factor común de una expresión algebraica es el monomio de mayor grado posible que divide exactamente a cada uno de sus términos. Siempre es el MCD (Máximo Común Divisor) de todos los términos.
🧮
Cómo hallar el factor común (Máximo Común Divisor (MCD))
El factor común tiene dos partes: la parte numérica (el MCD de los coeficientes) y la parte literal (la variable con el menor exponente que aparece en todos los términos).
Ejemplo guiado — cómo identificarlo
Encuentra el factor común de \(12x^3 + 8x^2 + 4x\)
Paso 1 — Parte numérica: los coeficientes son 12, 8 y 4. El MCD de 12, 8 y 4 es 4.
Paso 2 — Parte literal: la variable aparece en todos los términos. Tomamos la variable con el menor exponente, que es \(x^1 = x\).
Factor común armado: Combinamos ambos para obtener el factor común total afuera: \(4x\).
Ahora dividimos cada término de forma fraccionaria entre \(4x\):
\[ \frac{12x^3}{\mathbf{\color{#0d9488}{4x}}} = 3x^2 \qquad \frac{8x^2}{\mathbf{\color{#0d9488}{4x}}} = 2x \qquad \frac{4x}{\mathbf{\color{#0d9488}{4x}}} = 1 \]
Resultado: \(12x^3 + 8x^2 + 4x = \mathbf{\color{#0d9488}{4x}}(3x^2 + 2x + 1)\)
1
Encuentra el Máximo Común Divisor (MCD) de los coeficientes
Busca el número más grande que divida exactamente a todos los coeficientes. Puedes usar descomposición en factores primos o simplemente ensayar.
2
Encuentra la parte literal del factor común
Para cada variable que aparezca en
todos los términos, toma el menor de sus exponentes. Si una variable no aparece en algún término, no forma parte del factor común.
3
Divide cada término entre el factor común
El resultado de cada división va dentro del paréntesis. Comprueba que el cociente de cada término sea exacto (sin residuo).
4
Verifica distribuyendo
Multiplica el factor común por el paréntesis. Debes obtener la expresión original. Si no, hay un error.
Referencia rápida: MCD de coeficientes comunes
| Coeficientes | MCD | Cómo se ve |
|---|
| 6 y 4 | 2 | \(6x + 4y = \mathbf{\color{#0d9488}{2}}(3x + 2y)\) |
| 12 y 8 | 4 | \(12a + 8b = \mathbf{\color{#0d9488}{4}}(3a + 2b)\) |
| 15, 10 y 5 | 5 | \(15x + 10y + 5 = \mathbf{\color{#0d9488}{5}}(3x + 2y + 1)\) |
| 9, 6 y 3 | 3 | \(9x^2 + 6x + 3 = \mathbf{\color{#0d9488}{3}}(3x^2 + 2x + 1)\) |
| 16, 12 y 8 | 4 | \(16x^3 + 12x^2 + 8x = \mathbf{\color{#0d9488}{4x}}(4x^2 + 3x + 2)\) |
🗂
Los 4 tipos de factor común
Según qué comparten los términos, el factor común puede ser de cuatro tipos. Reconocerlos te ahorra tiempo y evita errores.
Tipo 1 — Numérico
Solo números en común, sin variables.
\(6 + 9 = \mathbf{\color{#0d9488}{3}}(2 + 3)\)
Tipo 2 — Literal
Solo variables en común, coeficiente 1.
\(x^3 + x^2 = \mathbf{\color{#0d9488}{x^2}}(x + 1)\)
Tipo 3 — Mixto (numérico + literal)
Número y variable en común.
\(6x^2 + 9x = \mathbf{\color{#0d9488}{3x}}(2x + 3)\)
Tipo 4 — Factor polinómico
El factor común es un polinomio entero.
\(x(a+b) + 3(a+b) = \mathbf{\color{#0d9488}{(a+b)}}(x+3)\)
¿Cuál es el más común en los exámenes? El tipo 3 (mixto) aparece en la mayoría de ejercicios de secundaria. El tipo 4 (polinómico) es más avanzado y suele combinarse con otros métodos de factorización.
1️⃣
Tipo 1 — Factor común numérico
Cuando todos los términos comparten solo un número como factor, sin variables. El MCD de los coeficientes sale adelante y los términos divididos quedan entre paréntesis.
Ejemplo guiado
Factoriza \(15 + 20 + 10\)
Los números son 15, 20 y 10. ¿Qué número divide exactamente a los tres?
\(15 = \mathbf{\color{#d97706}{5}} \cdot 3 \quad \cdot \quad 20 = \mathbf{\color{#d97706}{5}} \cdot 4 \quad \cdot \quad 10 = \mathbf{\color{#d97706}{5}} \cdot 2 \rightarrow\) el MCD es 5.
Divido cada término en forma de fracción:
\[ \frac{15}{\mathbf{\color{#0d9488}{5}}} = 3 \qquad \frac{20}{\mathbf{\color{#0d9488}{5}}} = 4 \qquad \frac{10}{\mathbf{\color{#0d9488}{5}}} = 2 \]
Resultado sacando afuera el factor común: \(\mathbf{\color{#0d9488}{5}}(3 + 4 + 2)\).
Verifico: \(5 \cdot 3 + 5 \cdot 4 + 5 \cdot 2 = 15 + 20 + 10\). ✓
E1
Factor numérico
Factoriza: \(8a + 12b\)
1
coeficientes numéricos
Coeficientes: 8 y 12.
MCD(8, 12) = 4.
2
Divido cada término entre el factor común
\[ \frac{8a}{\mathbf{\color{#0d9488}{4}}} = 2a \qquad \frac{12b}{\mathbf{\color{#0d9488}{4}}} = 3b \]
3
Escribo la forma factorizada final
\[ 8a + 12b = \mathbf{\color{#0d9488}{4}}(2a + 3b) \]
Verificación
\( 4(2a + 3b) = 4 \cdot 2a + 4 \cdot 3b = 8a + 12b \; ✅ \)
Resultado
\( 8a + 12b = \mathbf{\color{#0d9488}{4}}(2a + 3b) \)
E2
Factor numérico
Factoriza: \(18x – 24y + 6z\)
2
\[ \frac{18x}{\mathbf{\color{#0d9488}{6}}} = 3x \qquad \frac{-24y}{\mathbf{\color{#0d9488}{6}}} = -4y \qquad \frac{6z}{\mathbf{\color{#0d9488}{6}}} = z \]
3
\[ 18x – 24y + 6z = \mathbf{\color{#0d9488}{6}}(3x – 4y + z) \]
Atención con los signos
El signo de cada término se conserva al dividir: \(\frac{-24y}{\mathbf{\color{#0d9488}{6}}} = -4y\), no \(+4y\).
Resultado
\( 18x – 24y + 6z = \mathbf{\color{#0d9488}{6}}(3x – 4y + z) \)
E3
Factor numérico
Factoriza: \(35m + 49n – 14p\)
1
MCD(35, 49, 14) = 7. (\(35=7\cdot 5\), \(49=7\cdot 7\), \(14=7\cdot 2\))
2
\[ \frac{35m}{\mathbf{\color{#0d9488}{7}}} = 5m \qquad \frac{49n}{\mathbf{\color{#0d9488}{7}}} = 7n \qquad \frac{-14p}{\mathbf{\color{#0d9488}{7}}} = -2p \]
3
\[ 35m + 49n – 14p = \mathbf{\color{#0d9488}{7}}(5m + 7n – 2p) \]
Resultado
\( 35m + 49n – 14p = \mathbf{\color{#0d9488}{7}}(5m + 7n – 2p) \)
2️⃣
Tipo 2 — Factor común literal
Cuando el factor común es solo una variable (o producto de variables), sin coeficiente numérico distinto de 1. Tomamos cada variable con su menor exponente que aparezca en todos los términos.
Ejemplo guiado
Factoriza \(x^4 + x^3 + x^2\)
Coeficientes: todos son 1. MCD = 1 (no hay número que extraer).
Variable \(x\): aparece con exponentes 4, 3 y 2. El menor exponente es 2, es decir, \(x^2\).
Factor común que sale afuera: \(x^2\).
Divido cada término usando fracciones algebraicas:
\[ \frac{x^4}{\mathbf{\color{#0d9488}{x^2}}} = x^2 \qquad \frac{x^3}{\mathbf{\color{#0d9488}{x^2}}} = x \qquad \frac{x^2}{\mathbf{\color{#0d9488}{x^2}}} = 1 \]
Resultado: \(x^4 + x^3 + x^2 = \mathbf{\color{#0d9488}{x^2}}(x^2 + x + 1)\).
Verifica: \(x^2 \cdot x^2 + x^2 \cdot x + x^2 \cdot 1 = x^4 + x^3 + x^2\). ✓
Regla de oro para la parte literal: Para cada variable toma el exponente más pequeño de entre todos los términos donde aparece. Si una variable no está en algún término, NO puede ser parte del factor común.
E4
Factor literal
Factoriza: \(x^5 – x^3 + x^2\)
1
Coeficientes: 1, -1, 1 → MCD = 1. Variable \(x\): exponentes 5, 3, 2. Menor exponente literal: \(x^2\).
2
\[ \frac{x^5}{\mathbf{\color{#0d9488}{x^2}}} = x^3 \qquad \frac{-x^3}{\mathbf{\color{#0d9488}{x^2}}} = -x \qquad \frac{x^2}{\mathbf{\color{#0d9488}{x^2}}} = 1 \]
3
\[ x^5 – x^3 + x^2 = \mathbf{\color{#0d9488}{x^2}}(x^3 – x + 1) \]
Resultado
\( x^5 – x^3 + x^2 = \mathbf{\color{#0d9488}{x^2}}(x^3 – x + 1) \)
E5
Factor literal — dos variables
Factoriza: \(a^3b^2 + a^2b^3 – a^2b^2\)
Ejemplo guiado
¿Cómo trato con dos variables?
Para la variable \(a\): exponentes 3, 2, 2 → menor grado es \(a^2\).
Para la variable \(b\): exponentes 2, 3, 2 → menor grado es \(b^2\).
Factor común que sale: \(a^2b^2\).
1
MCD numérico = 1. Factor literal común total = \(a^2b^2\).
2
\[ \frac{a^3b^2}{\mathbf{\color{#0d9488}{a^2b^2}}} = a \qquad \frac{a^2b^3}{\mathbf{\color{#0d9488}{a^2b^2}}} = b \qquad \frac{-a^2b^2}{\mathbf{\color{#0d9488}{a^2b^2}}} = -1 \]
3
\[ a^3b^2 + a^2b^3 – a^2b^2 = \mathbf{\color{#0d9488}{a^2b^2}}(a + b – 1) \]
Resultado
\( a^3b^2 + a^2b^3 – a^2b^2 = \mathbf{\color{#0d9488}{a^2b^2}}(a + b – 1) \)
3️⃣
Tipo 3 — Factor común mixto (el más frecuente)
Combina factor numérico y literal al mismo tiempo. Es el tipo que más aparece en exámenes. El factor común tiene número × variable.
Ejemplo guiado — el más importante
Factoriza \(6x^3 – 9x^2 + 3x\)
Parte numérica: El divisor más grande de los coeficientes es MCD(6, 9, 3) = 3.
Parte literal: La variable común con menor exponente es \(x^1 = x\).
Factor común total combinado afuera: Unimos el número y la letra para formar \(3x\).
Divido cada término de forma fraccionaria entre el factor común total \(3x\):
\[ \frac{6x^3}{\mathbf{\color{#0d9488}{3x}}} = 2x^2 \qquad \frac{-9x^2}{\mathbf{\color{#0d9488}{3x}}} = -3x \qquad \frac{3x}{\mathbf{\color{#0d9488}{3x}}} = 1 \]
Resultado final: \(6x^3 – 9x^2 + 3x = \mathbf{\color{#0d9488}{3x}}(2x^2 – 3x + 1)\)
E6
Mixto — básico
Factoriza: \(4x^2 + 8x\)
1
Numérico: MCD(4, 8) = 4. Literal: menor exponente es \(x\). Factor común que sale: \(4x\).
2
\[ \frac{4x^2}{\mathbf{\color{#0d9488}{4x}}} = x \qquad \frac{8x}{\mathbf{\color{#0d9488}{4x}}} = 2 \]
3
\[ 4x^2 + 8x = \mathbf{\color{#0d9488}{4x}}(x + 2) \]
Verificación
\( 4x(x+2) = 4x^2 + 8x \; ✅ \)
Resultado
\( 4x^2 + 8x = \mathbf{\color{#0d9488}{4x}}(x + 2) \)
E7
Mixto — tres términos
Factoriza: \(12x^4 – 8x^3 + 4x^2\)
1
Numérico: MCD(12, 8, 4) = 4. Literal: menor grado es \(x^2\). Factor total: \(4x^2\).
2
\[ \frac{12x^4}{\mathbf{\color{#0d9488}{4x^2}}} = 3x^2 \qquad \frac{-8x^3}{\mathbf{\color{#0d9488}{4x^2}}} = -2x \qquad \frac{4x^2}{\mathbf{\color{#0d9488}{4x^2}}} = 1 \]
3
\[ 12x^4 – 8x^3 + 4x^2 = \mathbf{\color{#0d9488}{4x^2}}(3x^2 – 2x + 1) \]
Resultado
\( 12x^4 – 8x^3 + 4x^2 = \mathbf{\color{#0d9488}{4x^2}}(3x^2 – 2x + 1) \)
E8
Mixto — dos variables
Factoriza: \(10x^3y^2 – 15x^2y^3 + 5x^2y^2\)
1
Numérico: MCD = 5. Variables menores: \(x^2y^2\). Monomio afuera: \(5x^2y^2\).
2
\[ \frac{10x^3y^2}{\mathbf{\color{#0d9488}{5x^2y^2}}} = 2x \qquad \frac{-15x^2y^3}{\mathbf{\color{#0d9488}{5x^2y^2}}} = -3y \qquad \frac{5x^2y^2}{\mathbf{\color{#0d9488}{5x^2y^2}}} = 1 \]
3
\[ 10x^3y^2 – 15x^2y^3 + 5x^2y^2 = \mathbf{\color{#0d9488}{5x^2y^2}}(2x – 3y + 1) \]
Resultado
\( 10x^3y^2 – 15x^2y^3 + 5x^2y^2 = \mathbf{\color{#0d9488}{5x^2y^2}}(2x – 3y + 1) \)
E9
Mixto — factor negativo
Factoriza: \(-6x^3 – 9x^2 – 3x\)
Atención
¿Cuándo conviene extraer el signo negativo?
Cuando todos los términos son negativos, extraemos el signo de resta dentro del factor común total. Así, las fracciones quedan positivas.
1
Numérico: MCD = 3. Literal: \(x\). Factor total con signo extraído: \(-3x\).
2
\[ \frac{-6x^3}{\mathbf{\color{#0d9488}{-3x}}} = 2x^2 \qquad \frac{-9x^2}{\mathbf{\color{#0d9488}{-3x}}} = 3x \qquad \frac{-3x}{\mathbf{\color{#0d9488}{-3x}}} = 1 \]
3
\[ -6x^3 – 9x^2 – 3x = \mathbf{\color{#0d9488}{-3x}}(2x^2 + 3x + 1) \]
Resultado
\( -6x^3 – 9x^2 – 3x = \mathbf{\color{#0d9488}{-3x}}(2x^2 + 3x + 1) \)
4️⃣
Tipo 4 — Factor común polinómico
Aquí el factor común no es un número ni una variable simple, sino un polinomio completo que aparece repetido en todos los términos. Cuando lo ves, lo extraes igual que si fuera una letra.
Ejemplo guiado
Factoriza \(x(a + b) + 3(a + b)\)
Observa que el binomio completo \((a + b)\) actúa como un solo bloque repetido.
El polinomio común total que sale al frente es: \((a + b)\).
Al realizar los cocientes, nos quedan los elementos libres:
\[ \frac{x(a+b)}{\mathbf{\color{#0d9488}{(a+b)}}} = x \qquad \frac{3(a+b)}{\mathbf{\color{#0d9488}{(a+b)}}} = 3 \]
Resultado final estructurado: \(\mathbf{\color{#0d9488}{(a + b)}}(x + 3)\).
E10
Factor polinómico
Factoriza: \(a(x – 2) + 5(x – 2)\)
1
El factor de bloque repetido es: \((x – 2)\). Factor total afuera: \((x – 2)\).
2
Los elementos libres residuales del polinomio son \(a\) y \(5\).
3
\[ \frac{a(x-2)}{\mathbf{\color{#0d9488}{(x-2)}}} = a \qquad \frac{5(x-2)}{\mathbf{\color{#0d9488}{(x-2)}}} = 5 \]
4
\[ a(x-2) + 5(x-2) = \mathbf{\color{#0d9488}{(x-2)}}(a+5) \]
Verificación
\( (x-2)(a+5) = a(x-2) + 5(x-2) \; ✅ \)
Resultado
\( a(x-2) + 5(x-2) = \mathbf{\color{#0d9488}{(x-2)}}(a+5) \)
E11
Factor polinómico — tres términos
Factoriza: \(3x(y + 1) – 2(y + 1) + (y + 1)\)
1
El polinomio común global es \((y + 1)\). Factor total afuera: \((y + 1)\). Nota el coeficiente neutro invisible \(1\).
2
Efectuamos el cociente fraccionario de los términos correspondientes:
3
\[ \frac{3x(y+1)}{\mathbf{\color{#0d9488}{(y+1)}}} – \frac{2(y+1)}{\mathbf{\color{#0d9488}{(y+1)}}} + \frac{1(y+1)}{\mathbf{\color{#0d9488}{(y+1)}}} = \mathbf{\color{#0d9488}{(y+1)}}(3x – 2 + 1) = \mathbf{\color{#0d9488}{(y+1)}}(3x-1) \]
Resultado
\( 3x(y+1) – 2(y+1) + (y+1) = \mathbf{\color{#0d9488}{(y+1)}}(3x-1) \)
✏
20 ejercicios resueltos — de menor a mayor dificultad
Los primeros enunciados (E1–E11) ya se modelaron en los apartados conceptuales de arriba de forma analítica. A continuación completamos la serie de 20 problemas con nivel avanzado.
Nivel básico (E12 – E14)
E12
Mixto básico
Factoriza: \(5x^2 – 10x\)
1
MCD: 5. Literal: \(x\). Factor que sale afuera: \(5x\).
2
\[ \frac{5x^2}{\mathbf{\color{#0d9488}{5x}}} = x \qquad \frac{-10x}{\mathbf{\color{#0d9488}{5x}}} = -2 \]
3
\[ 5x^2 – 10x = \mathbf{\color{#0d9488}{5x}}(x – 2) \]
Resultado
\( 5x^2 – 10x = \mathbf{\color{#0d9488}{5x}}(x – 2) \)
E13
Mixto de tres términos
Factoriza: \(7a^3 + 14a^2 – 21a\)
1
MCD: 7. Literal: \(a\). Factor total afuera: \(7a\).
2
\[ \frac{7a^3}{\mathbf{\color{#0d9488}{7a}}} = a^2 \qquad \frac{14a^2}{\mathbf{\color{#0d9488}{7a}}} = 2a \qquad \frac{-21a}{\mathbf{\color{#0d9488}{7a}}} = -3 \]
3
\[ 7a^3 + 14a^2 – 21a = \mathbf{\color{#0d9488}{7a}}(a^2 + 2a – 3) \]
Resultado
\( 7a^3 + 14a^2 – 21a = \mathbf{\color{#0d9488}{7a}}(a^2 + 2a – 3) \)
E14
Dos variables
Factoriza: \(6x^2y – 9xy^2\)
1
MCD: 3. Literal: \(xy\). Factor total afuera: \(3xy\).
2
\[ \frac{6x^2y}{\mathbf{\color{#0d9488}{3xy}}} = 2x \qquad \frac{-9xy^2}{\mathbf{\color{#0d9488}{3xy}}} = -3y \]
3
\[ 6x^2y – 9xy^2 = \mathbf{\color{#0d9488}{3xy}}(2x – 3y) \]
Resultado
\( 6x^2y – 9xy^2 = \mathbf{\color{#0d9488}{3xy}}(2x – 3y) \)
Nivel intermedio (E15 – E17)
E15
Polinomios de mayor exponente
Factoriza: \(16x^4y^3 – 24x^3y^4 + 8x^2y^2\)
1
MCD: 8. Variables menores comunes: \(x^2y^2\). Factor total: \(8x^2y^2\).
2
——
\[ \frac{16x^4y^3}{\mathbf{\color{#0d9488}{8x^2y^2}}} = 2x^2y \qquad \frac{-24x^3y^4}{\mathbf{\color{#0d9488}{8x^2y^2}}} = -3xy^2 \qquad \frac{8x^2y^2}{\mathbf{\color{#0d9488}{8x^2y^2}}} = 1 \]
3
\[ 16x^4y^3 – 24x^3y^4 + 8x^2y^2 = \mathbf{\color{#0d9488}{8x^2y^2}}(2x^2y – 3xy^2 + 1) \]
Resultado
\( 16x^4y^3 – 24x^3y^4 + 8x^2y^2 = \mathbf{\color{#0d9488}{8x^2y^2}}(2x^2y – 3xy^2 + 1) \)
E16
Polinómico con residuos notables
Factoriza: \(x^2(x+3) – 4(x+3)\)
1
Factor de polinomio idéntico repetido: \((x+3)\). Factor afuera: \((x+3)\).
2
Dividimos de forma fraccionaria los bloques algebraicos:
3
\[ \frac{x^2(x+3)}{\mathbf{\color{#0d9488}{(x+3)}}} – \frac{4(x+3)}{\mathbf{\color{#0d9488}{(x+3)}}} = \mathbf{\color{#0d9488}{(x+3)}}(x^2-4) \]
Resultado parcial
\( \mathbf{\color{#0d9488}{(x+3)}}(x^2-4) \)
E17
Cuatro términos sin variable común
Factoriza: \(4x^3 + 8x^2 – 12x + 16\)
1
MCD de coeficientes: 4. Al no haber variable común en todos, el factor total es puramente numérico: 4.
2
\[ \frac{4x^3}{\mathbf{\color{#0d9488}{4}}} = x^3 \quad \cdot \quad \frac{8x^2}{\mathbf{\color{#0d9488}{4}}} = 2x^2 \quad \cdot \quad \frac{-12x}{\mathbf{\color{#0d9488}{4}}} = -3x \quad \cdot \quad \frac{16}{\mathbf{\color{#0d9488}{4}}} = 4 \]
3
\[ 4x^3 + 8x^2 – 12x + 16 = \mathbf{\color{#0d9488}{4}}(x^3 + 2x^2 – 3x + 4) \]
Resultado
\( 4x^3 + 8x^2 – 12x + 16 = \mathbf{\color{#0d9488}{4}}(x^3 + 2x^2 – 3x + 4) \)
Nivel avanzado (E18 – E20)
E18
Doble extracción simultánea
Factoriza: \(6x(2a-b) + 9y(2a-b) – 3(2a-b)\)
1
MCD de los números internos: 3. Bloque binominal repetido: \((2a-b)\).
2
Factor común total combinado afuera: \(3(2a-b)\). Dividimos cada término:
3
\[ \frac{6x(2a-b)}{\mathbf{\color{#0d9488}{3(2a-b)}}} + \frac{9y(2a-b)}{\mathbf{\color{#0d9488}{3(2a-b)}}} – \frac{3(2a-b)}{\mathbf{\color{#0d9488}{3(2a-b)}}} = \mathbf{\color{#0d9488}{3(2a-b)}}(2x + 3y – 1) \]
Resultado
\( 3(2a-b)(2x + 3y – 1) \)
E19
Polinómico con elemento neutro de la resta
Factoriza: \(3x(x-5) – (x-5)\)
1
El bloque polinómico repetido es: \((x-5)\). Factor total afuera: \((x-5)\).
2
Efectuamos los cocientes algebraicos en forma fraccionaria:
3
\[ \frac{3x(x-5)}{\mathbf{\color{#0d9488}{(x-5)}}} – \frac{1(x-5)}{\mathbf{\color{#0d9488}{(x-5)}}} = \mathbf{\color{#0d9488}{(x-5)}}(3x-1) \]
Resultado
\( \mathbf{\color{#0d9488}{(x-5)}}(3x-1) \)
E20
Factor común + Diferencia de cuadrados
Factoriza completamente: \(2x^3 – 8x\)
1
Paso 1 — Extraer el Factor Común Mixto
MCD de coeficientes:
2. Exponente literal mínimo:
\(x\). Factor común total inicial:
\(2x\). Dividimos:
\[ \frac{2x^3}{\mathbf{\color{#0d9488}{2x}}} – \frac{8x}{\mathbf{\color{#0d9488}{2x}}} = \mathbf{\color{#0d9488}{2x}}(x^2 – 4) \]
2
Paso 2 — Factorización Completa del Residuo Interno
El binomio interno es una diferencia de cuadrados perfectos: \(x^2 – 2^2 = (x+2)(x-2)\).
\[ \mathbf{\color{#0d9488}{2x}}(x^2 – 4) = \mathbf{\color{#0d9488}{2x}}(x+2)(x-2) \]
Factorización Completa
\( 2x^3 – 8x = \mathbf{\color{#0d9488}{2x}}(x+2)(x-2) \)
Resumen — Los 4 pasos para factorizar por factor común
Paso 1
Calcula el MCD numérico de los coeficientes.
Paso 2
Aísla las variables comunes con su menor exponente literal.
Paso 3
Divide cada monomio original entre el FC total en forma de fracción.
Paso 4
\(\displaystyle \mathbf{\color{#5eead4}{\text{FC}}} \cdot (\text{paréntesis}) \stackrel{?}{=} \text{original}\)
Polinómico
Si un binomio entero se repite, lo extraes aplicando las mismas leyes que una variable simple.
Regla de oro
El factor común es SIEMPRE el paso inicial antes de evaluar cualquier otra identidad algebraica.
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Errores comunes
ERROR 1
No sacar el MCD completo — detenerse antes
Incorrecto
\( 12x^3 + 8x^2 = \mathbf{\color{#0d9488}{2}}(6x^3 + 4x^2) \)
¡Sacó solo el divisor menor 2!
Se detuvieron en el primer número divisible que visualizaron. El factor numérico obtenido no es el máximo común.
Correcto
\( 12x^3 + 8x^2 = \mathbf{\color{#0d9488}{4x^2}}(3x + 2) \) ✓
MCD=4 y menor grado=\(x^2\)
El factor común debe ser el **máximo**: el coeficiente numérico más alto y la variable con el mayor exponente común posible.
Siempre verifica: si el polinomio dentro del paréntesis todavía se puede dividir por un elemento común, no has terminado.
ERROR 2
Olvidar la unidad cuando un término es igual al factor común
Incorrecto
\( 4x + 4 = \mathbf{\color{#0d9488}{4}}(x) \)
¡El segundo término desapareció de la nada!
Al efectuar la división algebraica fraccionaria \(\frac{4}{4} = 1\), ese valor de la unidad fue ignorado.
Correcto
\( 4x + 4 = \mathbf{\color{#0d9488}{4}}(x + 1) \) ✓
La fracción \(\frac{4}{4} = 1\) queda visible
Si un monomio es idéntico al factor común extraído, su división da 1 y este debe figurar explícitamente en el paréntesis.
Regala este truco a tus alumnos: el número de términos dentro del paréntesis factorizado debe ser siempre igual al de la expresión original.
ERROR 3
Incluir una variable que no aparece en todos los términos
Incorrecto
\( 6x^2 + 9y = \mathbf{\color{#0d9488}{3x}}(\ldots) \)
¡El bloque \(9y\) no posee \(x\)!
Se intentó extraer la letra \(x\) como factor común a pesar de que el segundo monomio carece por completo de ella.
Correcto
\( 6x^2 + 9y = \mathbf{\color{#0d9488}{3}}(2x^2 + 3y) \) ✓
Solo el factor numérico 3 es global
Para que una variable califique como factor literal común, es condición obligatoria que resida en absolutamente todos los monomios.
Antes de estructurar el factor literal del MCD, revisa término por término para asegurarte de que no falte en ninguno.
ERROR 4
Errores de signo al operar binomios con restas
Incorrecto
\( 6x – 9 = \mathbf{\color{#0d9488}{3}}(2x + 3) \)
¡La resta se alteró mágicamente!
Al realizar la división de la cota negativa: \(\frac{-9}{3} = -3\), no \(+3\). Se rompió la ley de signos.
Correcto
\( 6x – 9 = \mathbf{\color{#0d9488}{3}}(2x – 3) \) ✓
Operación: \(\frac{-9}{3} = -3\)
El signo aritmético de la expresión original debe preservarse perfectamente al dividir por un factor algebraico positivo.
Si haces una multiplicación distributiva mental de tu respuesta y los signos no coinciden con el ejercicio inicial, tienes un error de signo.
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Preguntas frecuentes
Q
¿Qué pasa si la expresión no tiene factor común entre todos los términos?
▼
Si no hay ningún número ni variable que divida exactamente a todos los términos, entonces no existe factor común extraíble (o el factor común es 1, que no sirve de nada).
En ese caso debes intentar con otro método de factorización: agrupación, diferencia de cuadrados, trinomio cuadrado perfecto, etc.
Ejemplo: \(x^2 + 3y + 5\). Los tres términos no comparten ni número ni variable. No hay factor común. Habría que buscar otro método o concluir que no factoriza.
Q
¿Siempre debo aplicar el factor común antes que cualquier otro método?
▼
Sí. El factor común es siempre el primer paso in cualquier factorización. Simplifica la expresión y hace que los pasos siguientes sean mucho más fáciles.
Por ejemplo: \(2x^2 – 8\). Si primero sacas el factor común 2, obtienes \(2(x^2 – 4)\), que luego factorizas fácilmente como \(2(x+2)(x-2)\).
Regla de oro: siempre busca factor común primero. Si no hay, entonces aplica el método que corresponda al tipo de expresión.
Q
¿Cómo sé que mi factorización es correcta?
▼
Siempre puedes verificar distribuyendo (aplicando la propiedad distributiva al resultado). Si al distribuir obtienes la expresión original, la factorización es correcta.
Ejemplo: obtuviste \(5x(x^2 + 2x – 3)\).
Distribuye: \(5x \cdot x^2 + 5x \cdot 2x + 5x \cdot (-3) = 5x^3 + 10x^2 – 15x\).
Si es igual a la expresión original: ✓
Q
¿Qué relación tiene el factor común con el MCD de números enteros?
▼
Es exactamente la misma idea. El MCD de 12 y 8 es 4 porque 4 es el número más grande que divide a ambos. El factor común de \(12x^2\) y \(8x\) es \(4x\) porque \(4x\) es el monomio de mayor grado que divide exactamente a ambos términos.
La única diferencia es que en álgebra también hay que considerar las variables y sus exponentes, no solo los coeficientes.
Números: MCD(12, 8) = 4. Álgebra: FC(\(12x^2\), \(8x\)) = \(4x\). La lógica es idéntica.
Q
¿El factor común siempre simplifica la expresión? ¿Para qué sirve?
▼
Sí, siempre simplifica porque convierte una suma o resta en un producto, que es una forma más compacta y útil.
Sirve para: resolver ecuaciones (igualando factores a cero), simplificar fracciones algebraicas, encontrar ceros de polinomios, y como primer paso para otros métodos de factorización.
Ejemplo práctico: resolver \(6x^2 – 9x = 0\).
Con factor común: \(3x(2x – 3) = 0\).
Entonces \(x = 0\) o \(2x – 3 = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{2}\).
Sin factor común, este problema es mucho más difícil.
