Histogramas y polígonos de frecuencia son herramientas utilizadas en estadística para organizar, representar e interpretar datos de manera visual. Ambos permiten observar cómo se distribuyen los valores de un conjunto de datos y detectar con mayor facilidad dónde se concentran las frecuencias.
El histograma representa los datos mediante barras que se encuentran unidas y están agrupadas generalmente en intervalos. Por otro lado, el polígono de frecuencia se construye utilizando las marcas de clase y conectando los puntos correspondientes a sus frecuencias mediante segmentos.
Comprender estas representaciones es fundamental para analizar datos y reconocer patrones en una distribución. En este artículo aprenderás qué son los histogramas y los polígonos de frecuencia, cómo construirlos paso a paso y cómo interpretar la información que muestran, utilizando ejemplos sencillos.
Histogramas, Diagramas de Barras y Diagramas de Pastel
¿Cuándo uso cada tipo de gráfica?
Antes de dibujar cualquier gráfica, debes hacerte una sola pregunta: ¿qué tipo de dato tengo? La respuesta decide qué gráfica usar. Elegir la gráfica equivocada puede distorsionar completamente el mensaje de los datos.
Identifica el tipo de dato y elige la gráfica correcta
Imagina que tienes tres conjuntos de datos distintos:
1) Las ventas de 5 productos (celulares, laptops, tablets, audífonos, relojes). Cada categoría es independiente: son datos categóricos. → Usa diagrama de barras.
2) Las edades de 80 personas agrupadas en intervalos [18,25), [25,32), etc. Los valores son continuos y ya están en rangos: son datos cuantitativos agrupados. → Usa histograma.
3) El porcentaje del presupuesto familiar destinado a alimentación, vivienda, transporte y ocio. Quieres mostrar cómo se reparte el 100% de un total. → Usa diagrama de pastel.
La clave está en el tipo de dato y en qué quieres comunicar: comparar categorías, mostrar distribución continua o mostrar proporciones de un todo.
Diagrama de barras
El diagrama de barras representa datos categóricos o discretos usando rectángulos (barras) cuya altura es proporcional a la frecuencia o valor de cada categoría. Las barras tienen espacios entre sí porque las categorías son independientes.
Datos de ventas de una librería — ¿cómo construyo el diagrama?
Una librería vendió durante el mes: 45 novelas, 28 libros de matemáticas, 36 diccionarios, 19 atlas y 22 libros de ciencias. Quiero representarlo en un diagrama de barras.
Paso 1 — Eje horizontal: pongo las categorías (tipo de libro). Cada categoría ocupa el mismo espacio y tiene su barra separada de las demás.
Paso 2 — Eje vertical: pongo la escala numérica empezando en 0. El valor más alto es 45, así que llevo la escala hasta 50.
Paso 3 — Dibujo cada barra: la altura de cada barra es exactamente el número de ventas de esa categoría.
Paso 4 — Pongo título, etiquetas y unidades. Una gráfica sin título no sirve de nada.
Elementos de un diagrama de barras
| Carrera | Matrícula | % del total |
|---|---|---|
| Ingeniería | 320 | 28,4% |
| Derecho | 240 | 21,3% |
| Economía | 210 | 18,6% |
| Medicina | 185 | 16,4% |
| Educación | 160 | 14,2% |
| Total | 1115 | 100% |
Variantes del diagrama de barras
Histograma
El histograma representa la distribución de datos cuantitativos continuos agrupados en intervalos. A diferencia del diagrama de barras, las barras del histograma se tocan porque los intervalos son contiguos y no hay separación entre valores.
¿Cuál es la diferencia clave entre barras e histograma?
En un diagrama de barras, si quito la categoría «Economía», las demás barras no se ven afectadas: siguen siendo independientes. En un histograma, los intervalos son contiguos: el intervalo [25,30) termina donde empieza el [30,35). No puede haber vacíos entre ellos porque la variable es continua.
Por eso las barras del histograma se tocan: representan que la variable puede tomar cualquier valor dentro de ese rango, sin interrupciones.
Otro detalle importante: en el histograma, el eje X lleva los límites de los intervalos (19, 25, 31, 37…), no el nombre de las categorías. Y técnicamente, el área de cada barra (no solo su altura) es proporcional a la frecuencia cuando los intervalos tienen distinta amplitud.
| Intervalo | Marca \(x_i\) | \(f_i\) | \(f_r\) (%) | \(F_i\) |
|---|---|---|---|---|
| [40,50) | 45 | 6 | 7,5% | 6 |
| [50,60) | 55 | 14 | 17,5% | 20 |
| [60,70) | 65 | 24 | 30,0% | 44 |
| [70,80) | 75 | 22 | 27,5% | 66 |
| [80,90) | 85 | 10 | 12,5% | 76 |
| [90,100] | 95 | 4 | 5,0% | 80 |
| Total | — | 80 | 100% | — |
Forma de la distribución en el histograma
Diagrama de pastel (circular)
El diagrama de pastel divide un círculo en sectores proporcionales a la frecuencia relativa de cada categoría. Sirve para mostrar qué parte del total corresponde a cada categoría. Es efectivo cuando hay pocas categorías (máximo 6) y las diferencias entre ellas son apreciables.
¿Cómo calculo el ángulo de cada sector?
Un círculo tiene 360°. Si una categoría representa el 25% del total, su sector ocupa el 25% del círculo: 25% × 360° = 90°.
La fórmula general es: ángulo = (frecuencia / total) × 360°.
Ejemplo: en un grupo de 80 estudiantes, 20 prefieren matemáticas. El ángulo de su sector es (20/80) × 360° = 0,25 × 360° = 90°.
Siempre verifico que la suma de todos los ángulos dé exactamente 360° (puede haber ±1° por redondeos).
| Categoría | Porcentaje | Ángulo = % × 360° |
|---|---|---|
| Alimentación | 35% | 126,0° |
| Vivienda | 28% | 100,8° |
| Transporte | 15% | 54,0° |
| Educación | 12% | 43,2° |
| Ocio | 10% | 36,0° |
| Total | 100% | 360,0° |
Polígono de frecuencias
El polígono de frecuencias se construye sobre el histograma: se unen con segmentos los puntos medios de la parte superior de cada barra. El resultado es una línea quebrada que muestra la forma de la distribución y permite comparar dos distribuciones en la misma gráfica.
Construyo el polígono sobre el histograma del ejemplo E2
Tomo los datos del examen de admisión: intervalos [40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100] con frecuencias 6, 14, 24, 22, 10, 4.
Punto de cada intervalo = (marca de clase, frecuencia): (45,6), (55,14), (65,24), (75,22), (85,10), (95,4).
Para cerrar el polígono en el eje X, añado dos puntos ficticios con frecuencia cero: (35, 0) antes del primero y (105, 0) después del último.
Uno todos los puntos con segmentos de línea. ¡Listo! La línea resultante muestra la forma de la distribución de manera más clara que las barras.
| Intervalo | Marca \(x_i\) | Grupo A (\(f_i\)) | Grupo B (\(f_i\)) |
|---|---|---|---|
| [40,55) | 47,5 | 4 | 10 |
| [55,70) | 62,5 | 12 | 18 |
| [70,85) | 77,5 | 20 | 14 |
| [85,100] | 92,5 | 14 | 8 |
| Total | — | 50 | 50 |
Ojiva — Curva de frecuencia acumulada
La ojiva representa la frecuencia acumulada \(F_i\) frente a los límites superiores de los intervalos. Permite responder preguntas del tipo: «¿qué porcentaje de datos está por debajo de cierto valor?» o «¿dónde se ubica la mediana visualmente?».
¿Cómo la construyo y qué me permite leer?
Uso los mismos datos del histograma E2. Para cada intervalo, anoto la frecuencia acumulada en el límite superior del intervalo:
En 50: F=6 · En 60: F=20 · En 70: F=44 · En 80: F=66 · En 90: F=76 · En 100: F=80.
También añado el punto (40, 0): antes del primer dato, la acumulada es cero.
Con la ojiva puedo leer visualmente: «¿cuántos estudiantes obtuvieron menos de 75 puntos?» Trazo una línea vertical en 75 hasta la curva, y una horizontal hasta el eje Y. La mediana está donde la acumulada llega al 50% (n/2 = 40 en este caso): trazando en F=40 encuentro aproximadamente x≈68, que es la mediana estimada gráficamente.
| Límite superior | \(F_i\) (acumulada) | \(F_r\) (% acumulado) |
|---|---|---|
| 40 (inicio) | 0 | 0% |
| 50 | 6 | 7,5% |
| 60 | 20 | 25,0% |
| 70 | 44 | 55,0% |
| 80 | 66 | 82,5% |
| 90 | 76 | 95,0% |
| 100 | 80 | 100,0% |
Ejercicio integrador — Elegir y construir
| Transporte | Freq. | % | Ángulo |
|---|---|---|---|
| Bus | 42 | 42% | 151,2° |
| Caminando | 28 | 28% | 100,8° |
| Bicicleta | 15 | 15% | 54,0° |
| Auto | 10 | 10% | 36,0° |
| Moto | 5 | 5% | 18,0° |
| Total | 100 | 100% | 360,0° |
Resumen — ¿Cuándo usar cada gráfica?
Errores comunes
Preguntas frecuentes
La diferencia no es solo estética (barras separadas vs juntas), sino conceptual:
Diagrama de barras: cada barra representa una categoría discreta o cualitativa (países, materias, marcas). Las categorías no tienen un orden matemático necesario y pueden reorganizarse sin perder significado.
Histograma: cada barra representa un intervalo de valores continuos. Los intervalos están ordenados matemáticamente y no se pueden reordenar. El área (no solo la altura) de la barra es proporcional a la frecuencia cuando los intervalos tienen distinta amplitud.
La recomendación general es entre 3 y 6 sectores. Con menos de 3, el diagrama es trivial (solo muestra «A es más grande que B»). Con más de 6, los sectores pequeños se vuelven indistinguibles y el gráfico pierde utilidad.
Si tienes más de 6 categorías, agrupa las menores bajo «Otros» (nunca más del 20–25% del total) y considera usar un diagrama de barras en su lugar, que escala mejor a muchas categorías.
Cuando los intervalos tienen distinta amplitud, no se puede usar directamente la frecuencia como altura de la barra. Si lo haces, las barras más anchas parecen más grandes visualmente aunque tengan menos datos.
La solución es usar la densidad de frecuencia como altura: \(h_i = f_i / a_i\), donde \(a_i\) es la amplitud del intervalo \(i\). Así el área de cada barra sigue siendo proporcional a la frecuencia.
Existen varias reglas prácticas para decidir el número de intervalos \(k\) a partir del total de datos \(n\):
Regla de la raíz cuadrada: \(k \approx \sqrt{n}\). Para n=100: k≈10.
Regla de Sturges: \(k = 1 + 3{,}32 \cdot \log_{10}(n)\). Para n=80: k ≈ 1+3,32×1,9 = 7,3 → 7 intervalos.
En la práctica, se usan entre 5 y 15 intervalos. Con muy pocos, el histograma pierde detalle. Con demasiados, muestra ruido en lugar de la forma real de la distribución.
La ojiva tiene aplicaciones muy concretas:
Percentiles y cuartiles: permite leer visualmente el valor por debajo del cual se encuentra el X% de los datos. El percentil 25 (Q1) es donde la acumulada llega al 25%.
Comparar distribuciones: si graficas la ojiva de dos grupos, la que está más a la derecha corresponde al grupo con valores más altos.
Control de calidad: en industria se usa para verificar qué porcentaje de piezas cumple con las especificaciones (está dentro de los límites tolerados).
