Teorema de Pitágoras: domina y aprende ahora, ejercicios 2026.

El teorema de Pitágoras no es solo una fórmula más en el cuaderno… es una herramienta que te ayuda a entender el mundo que te rodea. Está presente cuando se construye una casa, cuando se mide la altura de un edificio, cuando se calcula una distancia o incluso cuando intentamos resolver un problema que parece complicado a primera vista.

Aunque al inicio puede parecer difícil, cuando lo comprendes bien se convierte en algo casi intuitivo, como una llave que abre muchas puertas en las matemáticas.

En esta guía encontrarás ejercicios resueltos, organizados desde los más sencillos hasta situaciones aplicadas a la vida real. Cada ejercicio está explicado paso a paso y cuenta con su respectiva verificación, para que no solo memorices la fórmula, sino que realmente la entiendas y puedas aplicarla con seguridad.

¡Comencemos!

Tabla de Contenidos

¿Qué es el Teorema de Pitágoras?

El teorema de Pitágoras establece una relación fundamental entre los lados de un triángulo rectángulo (un triángulo que tiene un ángulo de 90°).

El teorema enuncia: En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Un poco de historia

Este teorema lleva el nombre del matemático griego Pitágoras (570-495 a.C.), aunque hay evidencia de que civilizaciones anteriores como los babilonios ya lo conocían. Pitágoras y su escuela fueron los primeros en demostrarlo matemáticamente.

Componentes del triángulo rectángulo

Para aplicar el teorema de Pitágoras, primero necesitas identificar las partes del triángulo rectángulo:

Catetos (a y b): Los dos lados que forman el ángulo recto (90°). Son los lados más cortos del triángulo.
Hipotenusa (c): El lado opuesto al ángulo recto. Siempre es el lado más largo del triángulo rectángulo.

Triángulo rectángulo, elementos para aplicar el Teorema de Pitágortas.

Fórmula del Teorema de Pitágoras

La fórmula fundamental es:

$a² + b² = c²$

Donde a y b son los catetos, y c es la hipotenusa.

Casos de aplicación para el Teorema de Pitágoras

CASO 1: Calcular la hipotenusa (conoces los dos catetos).

Fórmula: $c = \sqrt{a^2 − b^2}$

Ejemplo: Si a = 3 y b = 4, entonces $c= \sqrt{3^2 − 4^2} = \sqrt{9 + 16}= \sqrt{25}=5$

CASO 2: Calcular un cateto (conoces la hipotenusa y un cateto).

Fórmula: $a = \sqrt{c^2 − b^2}$

Ejemplo: Si c = 10 y b = 6, entonces $a = \sqrt{10^2 − 6^2} = \sqrt{100 − 36}= \sqrt{64} =8$

CASO 3: Verificar si un triángulo es rectángulo

Sí $a^2+ b^2=c^2$ , entonces SÍ es un triángulo rectángulo.

Ejemplo: Dado los lados $5, 12, 13 → 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2 ✓$

💡 TIP IMPORTANTE: La hipotenusa SIEMPRE es el lado más largo. Si te dan tres medidas y no sabes cuál es cuál, el número mayor siempre es la hipotenusa.

⚠️ CUIDADO: El teorema de Pitágoras SOLO funciona en triángulos rectángulos (con ángulo de 90°). No lo uses en triángulos que no tengan ángulo recto.

✏️ Ejercicios

Teorema de Pitágoras: 15 Ejercicios Resueltos Paso a Paso 2026

Ejercicio 1:

PROBLEMA: Un triángulo rectángulo tiene catetos de 3 cm y 4 cm. ¿Cuánto mide la hipotenusa?

1Análisis del problema

Tenemos un triángulo rectángulo donde conocemos los dos catetos y necesitamos encontrar la hipotenusa.

Elemento	Descripción
Cateto a	3 cm
Cateto b	4 cm
Hipotenusa c	? (incógnita)

2Datos conocidos e incógnita

Dato	Valor	Unidad
Cateto a	3	cm
Cateto b	4	cm
Hipotenusa c	?	cm

3Aplicación del Teorema de Pitágoras

Fórmula:

c² = a² + b²

Sustituyendo valores:

c² = 3² + 4²

c² = 9 + 16

c² = 25

Despejando c:

c = √25

c = 5 cm

✅ RESPUESTA:

La hipotenusa mide 5 cm

🔍 Verificación:

Comprobemos que 3² + 4² = 5²

9 + 16 = 25

25 = 25 ✓ CORRECTO

Nota: Este es el famoso triángulo pitagórico 3-4-5, uno de los más utilizados en construcción y carpintería.

Ejercicio 2:

PROBLEMA: En un triángulo rectángulo, un cateto mide 5 cm y el otro cateto mide 12 cm. Determina la longitud de la hipotenusa.

1Análisis e identificación

Elemento	Valor
Cateto a	5 cm
Cateto b	12 cm
Hipotenusa c	? (incógnita)

2Organización de datos

Variable	Conocido	Incógnita
a (cateto)	5 cm	–
b (cateto)	12 cm	–
c (hipotenusa)	–	✓

3Cálculo paso a paso

Aplicamos:

c² = a² + b²

c² = 5² + 12²

c² = 25 + 144

c² = 169

c = √169

c = 13 cm

✅ RESPUESTA:

La hipotenusa mide 13 cm

🔍 Verificación:

5² + 12² = 13²

25 + 144 = 169

169 = 169 ✓ CORRECTO

Curiosidad: El triángulo 5-12-13 es otro triángulo pitagórico muy común, utilizado frecuentemente en topografía.

Ejercicio 3:

PROBLEMA: Un triángulo rectángulo tiene una hipotenusa de 10 cm y uno de sus catetos mide 6 cm. ¿Cuánto mide el otro cateto?

1Análisis del problema

Ahora conocemos la hipotenusa y un cateto, necesitamos encontrar el otro cateto. Esto es Caso 2.

Elemento	Descripción
Hipotenusa c	10 cm (dato)
Cateto b	6 cm (dato)
Cateto a	? (incógnita)

2Datos del problema

Variable	Valor	Tipo
c (hipotenusa)	10 cm	Conocido
b (cateto)	6 cm	Conocido
a (cateto)	?	Incógnita

3Desarrollo matemático

Partimos de:

a² + b² = c²

Despejamos a²:

a² = c² − b²

Sustituimos:

a² = 10² − 6²

a² = 100 − 36

a² = 64

Despejamos a:

a = √64

a = 8 cm

✅ RESPUESTA:

El cateto desconocido mide 8 cm

🔍 Verificación:

Comprobamos: 8² + 6² = 10²

64 + 36 = 100

100 = 100 ✓ CORRECTO

Tenemos el triángulo pitagórico 6-8-10, que es el triángulo 3-4-5 multiplicado por 2.

Ejercicio 4:

PROBLEMA: La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 13 cm y uno de los catetos mide 5 cm. Encuentra la medida del cateto faltante.

1Identificación de elementos

Elemento	Valor conocido
Hipotenusa c	13 cm
Cateto a	5 cm
Cateto b	? (buscar)

2Tabla de datos

Dato	Conocido	Incógnita
c = 13 cm	✓
a = 5 cm	✓
b = ?		✓

3Resolución

Teorema:

a² + b² = c²

Despejamos b²:

b² = c² − a²

b² = 13² − 5²

b² = 169 − 25

b² = 144

b = √144

b = 12 cm

✅ RESPUESTA:

El cateto que falta mide 12 cm

🔍 Verificación:

5² + 12² = 13²

25 + 144 = 169

169 = 169 ✓ CORRECTO

Obtenemos el triángulo 5-12-13 que vimos en el ejercicio 2.

Ejercicio 5:

PROBLEMA: Se tiene un triángulo con lados de 8 cm, 15 cm y 17 cm. Determina si es un triángulo rectángulo.

1Análisis del problema

Para verificar si un triángulo es rectángulo, debemos comprobar si cumple el teorema de Pitágoras.

Paso	Acción
1	Identificar el lado mayor (será la hipotenusa si es rectángulo)
2	Los otros dos son los catetos
3	Verificar si a² + b² = c²

2Identificación de lados

Lado	Medida	Asignación
Lado 1	8 cm	Cateto a
Lado 2	15 cm	Cateto b
Lado 3	17 cm	Hipotenusa c (mayor)

3Verificación matemática

Comprobamos:

a² + b² = c²

Lado izquierdo:

8² + 15² = 64 + 225 = 289

Lado derecho:

17² = 289

Comparación:

289 = 289 ✓

Como ambos lados son iguales, el teorema se cumple.

✅ RESPUESTA:

SÍ, es un triángulo rectángulo

El ángulo recto se encuentra opuesto al lado de 17 cm (la hipotenusa).

🔍 Verificación:

8² + 15² = 17²

64 + 225 = 289

289 = 289 ✓ Es rectángulo

El triángulo 8-15-17 es otro triángulo pitagórico perfecto.

Ejercicio 6:

PROBLEMA: Una escalera de 5 metros de largo está apoyada contra una pared. Si la base de la escalera está a 3 metros de la pared, ¿a qué altura de la pared llega la escalera?

1Análisis de la situación

La escalera, la pared y el suelo forman un triángulo rectángulo donde:

Elemento real	Elemento geométrico	Valor
Escalera	Hipotenusa c	5 m
Distancia a pared	Cateto b	3 m
Altura en pared	Cateto a	? (incógnita)

2Datos del problema

Variable	Valor	Tipo
Hipotenusa (escalera)	5 m	Dato
Cateto base	3 m	Dato
Cateto altura	?	Incógnita

3Cálculo de la altura

Aplicamos:

a² + b² = c²

Despejamos altura (a):

a² = c² − b²

a² = 5² − 3²

a² = 25 − 9

a² = 16

a = √16

a = 4 m

✅ RESPUESTA:

La escalera alcanza una altura de 4 metros en la pared

🔍 Verificación:

4² + 3² = 5²

16 + 9 = 25

25 = 25 ✓ CORRECTO

Aplicación práctica: Este triángulo 3-4-5 es muy usado por carpinteros y albañiles para verificar ángulos rectos.

Ejercicio 7:

PROBLEMA: Un triángulo isósceles tiene una base de 12 cm y sus lados iguales miden 10 cm cada uno. Calcula la altura del triángulo.

1Análisis del problema

En un triángulo isósceles, la altura divide la base en dos partes iguales, formando dos triángulos rectángulos idénticos.

Elemento	Valor	Observación
Base total	12 cm	Se divide en 2
Media base	6 cm	Cateto b
Lado igual	10 cm	Hipotenusa c
Altura	?	Cateto a (incógnita)

2Datos para el cálculo

Variable	Valor
Hipotenusa (lado)	10 cm
Cateto (media base)	6 cm
Altura (cateto a)	? cm

3Cálculo de la altura

Usamos:

a² + b² = c²

a² = c² − b²

a² = 10² − 6²

a² = 100 − 36

a² = 64

a = √64

a = 8 cm

✅ RESPUESTA:

La altura del triángulo isósceles es 8 cm

🔍 Verificación:

8² + 6² = 10²

64 + 36 = 100

100 = 100 ✓ CORRECTO

Nuevamente encontramos el triángulo 6-8-10 (múltiplo del 3-4-5).

Ejercicio 8:

PROBLEMA: Un rectángulo tiene un largo de 12 cm y un ancho de 5 cm. ¿Cuánto mide su diagonal?

1Análisis del problema

La diagonal de un rectángulo divide al rectángulo en dos triángulos rectángulos iguales. Los lados del rectángulo son los catetos y la diagonal es la hipotenusa.

Elemento	Geometría	Valor
Largo del rectángulo	Cateto a	12 cm
Ancho del rectángulo	Cateto b	5 cm
Diagonal	Hipotenusa c	? (buscar)

2Organización de datos

Variable	Valor	Estado
Cateto a (largo)	12 cm	Conocido
Cateto b (ancho)	5 cm	Conocido
Hipotenusa c (diagonal)	?	Incógnita

3Cálculo de la diagonal

Aplicamos:

c² = a² + b²

c² = 12² + 5²

c² = 144 + 25

c² = 169

c = √169

c = 13 cm

✅ RESPUESTA:

La diagonal del rectángulo mide 13 cm

🔍 Verificación:

12² + 5² = 13²

144 + 25 = 169

169 = 169 ✓ CORRECTO

Triángulo 5-12-13, uno de nuestros triángulos pitagóricos favoritos.

Ejercicio 9:

PROBLEMA: Un cuadrado tiene lados de 6 cm. Calcula la longitud de su diagonal. (Expresa el resultado con raíz si es necesario)

1Análisis del cuadrado

En un cuadrado, la diagonal forma un triángulo rectángulo con dos lados del cuadrado. Como es un cuadrado, ambos catetos son iguales.

Elemento	Valor
Lado del cuadrado (cateto a)	6 cm
Lado del cuadrado (cateto b)	6 cm (igual a a)
Diagonal (hipotenusa c)	? (incógnita)

2Datos del problema

Variable	Valor
a = b (lados iguales)	6 cm
c (diagonal)	?

3Cálculo

Teorema:

c² = a² + b²

Como a = b = 6:

c² = 6² + 6²

c² = 36 + 36

c² = 72

c = √72

Simplificando la raíz:

√72 = √(36 × 2) = √36 × √2 = 6√2

Valor aproximado:

c ≈ 6 × 1.414 ≈ 8.485 cm

✅ RESPUESTA:

La diagonal mide 6√2 cm ≈ 8.49 cm

🔍 Verificación:

6² + 6² = (6√2)²

36 + 36 = 72

72 = 72 ✓ CORRECTO

Fórmula general: En cualquier cuadrado, diagonal = lado × √2

Ejercicio 10:

PROBLEMA: En un plano cartesiano, ¿cuál es la distancia entre los puntos A(1, 2) y B(5, 5)?

1Análisis del problema

La distancia entre dos puntos forma la hipotenusa de un triángulo rectángulo donde los catetos son las diferencias en x y en y.

Concepto	Cálculo	Valor
Diferencia en x	5 − 1	4 unidades
Diferencia en y	5 − 2	3 unidades
Distancia (hipotenusa)	?	Incógnita

2Datos organizados

Cateto	Valor
a (diferencia en x)	4 unidades
b (diferencia en y)	3 unidades
c (distancia)	? unidades

3Cálculo de la distancia

Pitágoras:

c² = a² + b²

c² = 4² + 3²

c² = 16 + 9

c² = 25

c = √25

c = 5 unidades

✅ RESPUESTA:

La distancia entre A y B es 5 unidades

🔍 Verificación:

4² + 3² = 5²

16 + 9 = 25

25 = 25 ✓ CORRECTO

Nota: Esta es la base de la fórmula de distancia: d = √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²]

Errores a evitar

El Teorema de Pitágoras solo funciona con ángulos de 90 grados.

La Hipotenusa, siempre es el lado más largo.

Para el Teorema de Pitágoras, siempre haya que aplicar la raíz cuadrada.

Enlaces:

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¿Qué es el Teorema de Pitágoras?

Un poco de historia

Componentes del triángulo rectángulo

Fórmula del Teorema de Pitágoras

Casos de aplicación para el Teorema de Pitágoras

✏️ Ejercicios

Ejercicio 1:

🔍 Verificación:

Ejercicio 2:

🔍 Verificación:

Ejercicio 3:

🔍 Verificación:

Ejercicio 4:

🔍 Verificación:

Ejercicio 5:

🔍 Verificación:

Ejercicio 6:

🔍 Verificación:

Ejercicio 7:

🔍 Verificación:

Ejercicio 8:

🔍 Verificación:

Ejercicio 9:

🔍 Verificación:

Ejercicio 10:

🔍 Verificación:

Errores a evitar

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