En esta guía encontrarás ejercicios resueltos sobre el Teorema de Pitágoras, organizados desde los más sencillos hasta situaciones aplicadas a la vida real. Cada ejercicio está explicado paso a paso y cuenta con su respectiva verificación, para que no solo memorices la fórmula, sino que realmente la entiendas y puedas aplicarla con seguridad.
¡Comencemos!
¿Qué dice el Teorema de Pitágoras?
El Teorema de Pitágoras describe una relación entre los tres lados de cualquier triángulo rectángulo. Antes de aprender la fórmula, necesitas conocer dos palabras clave.
Aquí te muestro qué dice el teorema con números
Toma el triángulo rectángulo más conocido: catetos 3 y 4, hipotenusa 5.
Eleva al cuadrado cada lado: \(3^2 = 9\), \(4^2 = 16\), \(5^2 = 25\).
Ahora mira: 9 + 16 = 25. Es decir, el cuadrado de cada cateto sumados dan exactamente el cuadrado de la hipotenusa.
Eso es todo lo que dice Pitágoras: \(a^2 + b^2 = c^2\). Si tienes un triángulo rectángulo, esa igualdad siempre se cumple. Siempre.
Solo es válido en triángulos con un ángulo de exactamente 90°
Caso 1 — Hallar la hipotenusa
Este es el caso más frecuente: conoces los dos catetos y necesitas la hipotenusa. La fórmula se usa directamente.
Catetos 6 y 8 — ¿cuánto mide la hipotenusa?
Tengo cateto \(a = 6\) cm y cateto \(b = 8\) cm. Quiero encontrar la hipotenusa \(c\).
La fórmula es \(c^2 = a^2 + b^2\). Sustituyo los números:
\(c^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100\)
Ahora para despejar \(c\) solo tengo que aplicar la raíz cuadrada a ambos lados:
\(c = \sqrt{100} = 10\) cm
Y ya está. Los catetos 6 y 8 dan una hipotenusa de exactamente 10. Esto es la terna (6,8,10), que es el triple de la terna (3,4,5).
Caso 2 — Hallar un cateto
A veces el problema te da la hipotenusa y uno de los catetos, y pide el cateto que falta. En ese caso hay que despejar de la fórmula original.
Hipotenusa 13, cateto 5 — ¿cuánto mide el otro cateto?
Tengo \(c = 13\) cm e \(a = 5\) cm. Quiero encontrar \(b\).
Parto de la fórmula: \(c^2 = a^2 + b^2\). Despejo \(b^2\) pasando \(a^2\) al otro lado:
\(b^2 = c^2 – a^2 = 13^2 – 5^2 = 169 – 25 = 144\)
Aplico raíz cuadrada: \(b = \sqrt{144} = 12\) cm.
La clave está en restar, no sumar. Cuando buscas un cateto, restas el cuadrado del otro cateto al cuadrado de la hipotenusa.
Caso 3 — Verificar si un triángulo es rectángulo
Si te dan los tres lados de un triángulo y preguntan si tiene un ángulo recto, aplicas el teorema al revés: compruebas si los lados cumplen la relación \(a^2 + b^2 = c^2\).
Lados 5, 12 y 13 — ¿es rectángulo?
Primero identifico el lado mayor, que sería la hipotenusa si es rectángulo: es el 13.
Compruebo si \(5^2 + 12^2 = 13^2\):
\(5^2 = 25\) · \(12^2 = 144\) · \(25 + 144 = 169\)
\(13^2 = 169\)
Como \(169 = 169\), la igualdad se cumple. El triángulo es rectángulo.
Si la igualdad no se cumpliera, el triángulo no tendría ángulo recto. Tan simple como eso.
Ternas pitagóricas
Una terna pitagórica es un conjunto de tres números enteros positivos \((a, b, c)\) que satisfacen \(a^2 + b^2 = c^2\). Memorizarlas te ahorra muchísimo tiempo en los exámenes porque reconocerás el resultado antes de calcularlo.
Cómo generar ternas a partir de la más básica
La terna más conocida es (3, 4, 5). Si multiplicas sus tres números por cualquier entero, sigues obteniendo una terna pitagórica válida:
× 2 → (6, 8, 10) · × 3 → (9, 12, 15) · × 4 → (12, 16, 20) · × 5 → (15, 20, 25)
Esto funciona porque si \(3^2 + 4^2 = 5^2\), entonces \((3k)^2 + (4k)^2 = (5k)^2\) para cualquier \(k\).
Lo mismo aplica a la terna (5, 12, 13): × 2 → (10, 24, 26), × 3 → (15, 36, 39), etc.
Las ternas más importantes
| Terna base | Verificación | Múltiplos frecuentes |
|---|---|---|
| (3, 4, 5) | \(9+16=25\) | (6,8,10) · (9,12,15) · (12,16,20) |
| (5, 12, 13) | \(25+144=169\) | (10,24,26) · (15,36,39) |
| (8, 15, 17) | \(64+225=289\) | (16,30,34) · (24,45,51) |
| (7, 24, 25) | \(49+576=625\) | (14,48,50) |
| (20, 21, 29) | \(400+441=841\) | (40,42,58) |
Aplicaciones en problemas reales
Pitágoras aparece en multitud de situaciones prácticas: distancias en planos, alturas de objetos, diagonales, escaleras, pantallas y mucho más. Lo esencial es identificar el triángulo rectángulo dentro del problema.
Una escalera apoyada en una pared — ¿cómo lo identifico?
Una escalera de 5 m se apoya en una pared vertical. El pie de la escalera está a 3 m de la pared. ¿A qué altura llega la escalera?
Identifico el triángulo: la pared es vertical (cateto \(a\)), el suelo hasta el pie de la escalera es horizontal (cateto \(b = 3\) m), y la escalera es la hipotenusa (\(c = 5\) m). Siempre que hay una pared vertical y un suelo horizontal se forma un triángulo rectángulo.
Busco el cateto: \(a = \sqrt{c^2 – b^2} = \sqrt{5^2 – 3^2} = \sqrt{25-9} = \sqrt{16} = 4\) m.
La escalera llega a 4 m de altura. Reconociste la terna (3,4,5) y el resultado fue inmediato.
La distancia entre dos puntos siempre es la hipotenusa de un triángulo rectángulo
Imagina que trazas una línea horizontal desde A hasta estar debajo de B (diferencia en X: \(7-1=6\)) y luego una línea vertical hasta B (diferencia en Y: \(10-2=8\)). Acabas de construir un triángulo rectángulo donde los catetos son esas diferencias y la hipotenusa es la distancia que buscas.
El recíproco del Teorema de Pitágoras
El teorema de Pitágoras tiene una dirección: «si el triángulo es rectángulo, entonces \(a^2+b^2=c^2\)». El recíproco va en la otra dirección: «si \(a^2+b^2=c^2\), entonces el triángulo es rectángulo». Ambas afirmaciones son ciertas.
Resumen — los tres casos de uso
Conoces los dos catetos.
Conoces hipotenusa y un cateto.
\(l\) = largo · \(w\) = ancho
(8,15,17) · (7,24,25)
Errores comunes
\(c = \sqrt{5^2+7^2} = \sqrt{74}\)
¿? El 9 ya está dado
Si no hay 90°, usar Herón u otras fórmulas.
\(b=\sqrt{13^2+5^2}=\sqrt{194}\)
(suman en lugar de restar)
\(b=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12\)
(restan el cuadrado del cateto)
«la hipotenusa es 25 cm»
«la hipotenusa es 5 cm»
Preguntas frecuentes
Funciona con cualquier unidad de longitud: centímetros, metros, kilómetros, pulgadas, pies… Lo único que importa es que todos los lados estén en la misma unidad. No puedes mezclar centímetros con metros sin convertir primero.
La hipotenusa siempre es el lado opuesto al ángulo recto, y siempre es el lado más largo del triángulo rectángulo. Puedes identificarla de dos formas:
En un dibujo: busca el cuadradito que indica el ángulo recto y el lado opuesto a él es la hipotenusa.
En un enunciado con los tres lados: la hipotenusa es el número mayor de los tres.
Tienes dos opciones según lo que pida el problema:
Resultado exacto: dejas la raíz sin simplificar. Por ejemplo, \(c = \sqrt{74}\) cm. Es la respuesta más precisa.
Resultado aproximado: calculas con calculadora y redondeas según el enunciado. Por ejemplo, \(c \approx 8{,}60\) cm (a dos decimales).
Existen más de 370 demostraciones distintas del teorema. La demostración geométrica más visual consiste en construir cuadrados sobre cada lado del triángulo rectángulo y demostrar que el área del cuadrado sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados sobre los catetos.
Simbólicamente: el cuadrado de lado \(c\) tiene área \(c^2\), el de lado \(a\) tiene área \(a^2\), y el de lado \(b\) tiene área \(b^2\). La demostración muestra que \(a^2 + b^2 = c^2\) reordenando piezas dentro de una figura mayor.
Sus aplicaciones son enormes en la vida cotidiana y profesional:
Construcción y carpintería: para verificar que una esquina es recta (si mides 3 m a un lado y 4 m al otro y la diagonal mide exactamente 5 m, la esquina es perfectamente recta).
Navegación y GPS: calcular distancias en línea recta a partir de coordenadas geográficas.
Pantallas y televisores: el tamaño de una pantalla es la medida de su diagonal, calculada con Pitágoras.
Videojuegos y animación: el motor de cualquier juego usa Pitágoras para calcular distancias entre personajes en tiempo real.
