Los sistemas de ecuaciones 2×2 son un conjunto de dos ecuaciones con dos incógnitas que deben resolverse simultáneamente. Este tipo de sistemas aparece con frecuencia en matemáticas básicas, álgebra y problemas aplicados.
En esta guía aprenderás a resolver sistemas de ecuaciones 2×2 paso a paso utilizando los tres métodos más importantes: sustitución, igualación y reducción, con ejemplos claros y explicaciones detalladas.
Álgebra básica — Sistemas de ecuaciones
Sistemas de ecuaciones 2×2: 3 métodos + 22 ejercicios resueltos en tabla
¿Qué son los Sistemas de ecuaciones 2×2?
Un sistema de ecuaciones 2×2 es un conjunto de dos ecuaciones con dos incógnitas (generalmente x e y) que deben cumplirse al mismo tiempo. A cada ecuación la vamos a nombrar siempre igual: Ecuación 1 es la primera y Ecuación 2 es la segunda.
{
12x + y = 8
23x − y = 7
Círculo morado 1 = Ecuación 1
Círculo rosa 2 = Ecuación 2
x en azul
y en verde
La solución es un par ordenado (x, y) que hace verdaderas las dos ecuaciones a la vez. Tras dominar las ecuaciones de primer grado con una incógnita, este es el paso natural siguiente.
Interpretación gráfica: cada ecuación es una recta. La solución es el punto donde esas dos rectas se cruzan.
Los tres métodos de resolución
Sustitución
Despejas una variable en una ecuación y la sustituyes en la otra.
Igualación
Despejas la misma variable en ambas ecuaciones y las igualas.
Reducción
Multiplicas las ecuaciones para eliminar una variable al sumarlas o restarlas.
💡
¿No sabes cuál usar? Si alguna variable ya tiene coeficiente 1, usa sustitución. Si dos coeficientes son iguales o exactamente opuestos, usa reducción. Para todo lo demás, igualación casi siempre funciona.
Los tres métodos llegan a la misma respuesta. Cada ejercicio se explica en una tabla: a la izquierda qué operación hacemos, a la derecha cómo queda la ecuación después de esa operación.
Método de sustitución
¿Cuándo usarlo? Cuando una variable ya está despejada o es fácil despejarla.
1
Despeja una variable
En cualquiera de las dos ecuaciones.2
Sustituye en la otra ecuación
Reemplaza esa expresión en la ecuación que NO usaste.3
Resuelve
Te queda una ecuación con una sola incógnita.4
Sustituye de vuelta
El valor hallado, en la expresión del paso 1.5
Verifica
En las DOS ecuaciones originales.Ejemplo guiado
{
1y = x + 3
22x + y = 12
| ¿Qué hacemos? | Nos queda |
|---|---|
| La Ecuación 1 ya tiene y despejada, no hay que hacer nada más aquí | y = x + 3 |
| Sustituimos y por (x + 3) en la Ecuación 2 | 2x + (x + 3) = 12 |
| Sumamos los términos semejantes (2x y x) | 3x + 3 = 12 |
| El 3 está sumando, pasa restando al otro lado | 3x = 12 − 3 = 9 |
| El 3 está multiplicando a x, pasa dividiendo | x = 3 |
| Sustituimos x por 3 en y = x + 3 | y = 3 + 3 = 6 |
Verificación — Ecuación 1
| Escribimos la ecuación original | y = x + 3 |
| Sustituimos x = 3, y = 6 | 6 = 3 + 3 |
| Resolvemos el lado derecho | 6 = 6 |
| Comparamos ambos lados | ✓ Se cumple |
Verificación — Ecuación 2
| Escribimos la ecuación original | 2x + y = 12 |
| Sustituimos x = 3, y = 6 | 2(3) + 6 = 12 |
| Resolvemos el lado izquierdo | 6 + 6 = 12 |
| Comparamos ambos lados | ✓ Se cumple |
La verificación consiste en tomar la solución encontrada y reemplazarla en las ecuaciones tal como estaban al principio (no en versiones intermedias). Si ambas igualdades resultan verdaderas, la solución es correcta.
Solución
x = 3, y = 6
E1
Sustitución
Resuelve el sistema
{
1x + y = 10
22x − y = 5
| ¿Qué hacemos? | Nos queda |
|---|---|
| Despejamos y en la Ecuación 1: la x está sumando, pasa restando | y = 10 − x |
| Sustituimos y por (10 − x) en la Ecuación 2 | 2x − (10 − x) = 5 |
| Distribuimos el signo negativo y sumamos términos semejantes | 3x − 10 = 5 |
| El 10 está restando, pasa sumando | 3x = 15 |
| El 3 está multiplicando, pasa dividiendo | x = 5 |
| Sustituimos x por 5 en y = 10 − x | y = 10 − 5 = 5 |
Verificación — Ecuación 1
| Ecuación original | x + y = 10 |
| Sustituimos x = 5, y = 5 | 5 + 5 = 10 |
| Comparamos | ✓ Se cumple |
Verificación — Ecuación 2
| Ecuación original | 2x − y = 5 |
| Sustituimos x = 5, y = 5 | 2(5) − 5 = 5 |
| Comparamos | ✓ Se cumple |
Solución
x = 5, y = 5
E2
Sustitución
Resuelve el sistema
{
1x = 2y
2x + y = 9
| ¿Qué hacemos? | Nos queda |
|---|---|
| La Ecuación 1 ya tiene x despejada | x = 2y |
| Sustituimos x por 2y en la Ecuación 2 | 2y + y = 9 |
| Sumamos términos semejantes | 3y = 9 |
| El 3 está multiplicando, pasa dividiendo | y = 3 |
| Sustituimos y por 3 en x = 2y | x = 2(3) = 6 |
Verificación — Ecuación 1
| Ecuación original | x = 2y |
| Sustituimos x = 6, y = 3 | 6 = 2(3) |
| Comparamos | ✓ Se cumple |
Verificación — Ecuación 2
| Ecuación original | x + y = 9 |
| Sustituimos x = 6, y = 3 | 6 + 3 = 9 |
| Comparamos | ✓ Se cumple |
Solución
x = 6, y = 3
E3
Sustitución — coeficiente
Resuelve el sistema
{
13x + y = 14
2x − 2y = −7
| ¿Qué hacemos? | Nos queda |
|---|---|
| Despejamos y en la Ecuación 1: el 3x pasa restando | y = 14 − 3x |
| Sustituimos y por (14 − 3x) en la Ecuación 2 | x − 2(14 − 3x) = −7 |
| Distribuimos el −2 y sumamos términos semejantes | 7x − 28 = −7 |
| El 28 está restando, pasa sumando | 7x = 21 |
| El 7 está multiplicando, pasa dividiendo | x = 3 |
| Sustituimos x por 3 en y = 14 − 3x | y = 14 − 9 = 5 |
Verificación — Ecuación 1
| Ecuación original | 3x + y = 14 |
| Sustituimos x = 3, y = 5 | 3(3) + 5 = 14 |
| Comparamos | ✓ Se cumple |
Verificación — Ecuación 2
| Ecuación original | x − 2y = −7 |
| Sustituimos x = 3, y = 5 | 3 − 2(5) = −7 |
| Comparamos | ✓ Se cumple |
Solución
x = 3, y = 5
E4
Sustitución — resultado en fracción
Resuelve el sistema
{
1y = −2x + 6
23x − 2y = 4
| ¿Qué hacemos? | Nos queda |
|---|---|
| La Ecuación 1 ya tiene y despejada | y = −2x + 6 |
| Sustituimos y por (−2x + 6) en la Ecuación 2 | 3x − 2(−2x + 6) = 4 |
| Distribuimos el −2 y sumamos términos semejantes | 7x − 12 = 4 |
| El 12 pasa sumando | 7x = 16 |
| El 7 pasa dividiendo | x = 16/7 |
| Sustituimos x por 16/7 en y = −2x + 6 | y = −32/7 + 42/7 = 10/7 |
Verificación — Ecuación 1
| Ecuación original | y = −2x + 6 |
| Sustituimos x = 16/7, y = 10/7 | 10/7 = −32/7 + 42/7 |
| Comparamos | ✓ Se cumple |
Verificación — Ecuación 2
| Ecuación original | 3x − 2y = 4 |
| Sustituimos x = 16/7, y = 10/7 | 48/7 − 20/7 = 28/7 |
| Comparamos | 28/7 = 4 ✓ Se cumple |
No hace falta que la solución sea un número entero para ser correcta — mientras ambas igualdades se cumplan, x = 16/7, y = 10/7 es válida.
Solución
x = 167, y = 107
Método de igualación
¿Cuándo usarlo? Cuando ambas ecuaciones tienen coeficientes sencillos para despejar la misma variable.
1
Despeja la misma variable en ambas
x en la ecuación 1 y también x en la ecuación 2.2
Iguala las dos expresiones
Ambas son iguales a x, entonces son iguales entre sí.3
Resuelve la nueva ecuación
Queda una ecuación con una sola incógnita.4
Sustituye
El valor hallado, en cualquiera de las dos expresiones del paso 1.5
Verifica
En las dos ecuaciones originales.Ejemplo guiado
{
1x = 2y + 1
2x = y + 4
| ¿Qué hacemos? | Nos queda |
|---|---|
| Las dos ecuaciones ya tienen x despejada, no hace falta despejar nada | x = 2y+1 | x = y+4 |
| Igualamos 2y + 1 con y + 4, porque ambas valen x | 2y + 1 = y + 4 |
| Pasamos la y del lado derecho restando, y el 1 pasa restando también | 2y − y = 4 − 1 |
| Sumamos términos semejantes en cada lado | y = 3 |
| Sustituimos y por 3 en x = y + 4 | x = 3 + 4 = 7 |
Verificación — Ecuación 1
| Ecuación original | x = 2y + 1 |
| Sustituimos x = 7, y = 3 | 7 = 2(3) + 1 |
| Comparamos | ✓ Se cumple |
Verificación — Ecuación 2
| Ecuación original | x = y + 4 |
| Sustituimos x = 7, y = 3 | 7 = 3 + 4 |
| Comparamos | ✓ Se cumple |
Solución
x = 7, y = 3
E5
Igualación
Resuelve el sistema
{
12x + y = 8
23x − y = 7
| ¿Qué hacemos? | Nos queda |
|---|---|
| Despejamos y en la Ecuación 1: el 2x pasa restando | y = 8 − 2x |
| Despejamos y en la Ecuación 2: el 3x pasa restando y el signo se invierte | y = 3x − 7 |
| Igualamos las dos expresiones de y | 8 − 2x = 3x − 7 |
| Pasamos las x a un lado y los números al otro | 8 + 7 = 3x + 2x |
| Sumamos y despejamos: el 5 pasa dividiendo | 15 = 5x → x = 3 |
| Sustituimos x por 3 en y = 8 − 2x | y = 8 − 6 = 2 |
Verificación — Ecuación 1
| Ecuación original | 2x + y = 8 |
| Sustituimos x = 3, y = 2 | 2(3) + 2 = 8 |
| Comparamos | ✓ Se cumple |
Verificación — Ecuación 2
| Ecuación original | 3x − y = 7 |
| Sustituimos x = 3, y = 2 | 3(3) − 2 = 7 |
| Comparamos | ✓ Se cumple |
Solución
x = 3, y = 2
E6
Igualación — con fracción intermedia
Resuelve el sistema
{
13x + 2y = 16
22x − 2y = 4
| ¿Qué hacemos? | Nos queda |
|---|---|
| Despejamos y en la Ecuación 1: el 3x pasa restando, y el 2 pasa dividiendo a todo | y = (16 − 3x) ÷ 2 |
| Despejamos y en la Ecuación 2: el 2x pasa restando y el −2 pasa dividiendo | y = x − 2 |
| Igualamos las dos expresiones de y | (16 − 3x)÷2 = x − 2 |
| El 2 que divide pasa multiplicando a todo el lado derecho | 16 − 3x = 2x − 4 |
| Pasamos las x a un lado y los números al otro | 16 + 4 = 2x + 3x |
| Sumamos y despejamos: el 5 pasa dividiendo | 20 = 5x → x = 4 |
| Sustituimos x por 4 en y = x − 2 | y = 4 − 2 = 2 |
Verificación — Ecuación 1
| Ecuación original | 3x + 2y = 16 |
| Sustituimos x = 4, y = 2 | 3(4) + 2(2) = 16 |
| Comparamos | ✓ Se cumple |
Verificación — Ecuación 2
| Ecuación original | 2x − 2y = 4 |
| Sustituimos x = 4, y = 2 | 2(4) − 2(2) = 4 |
| Comparamos | ✓ Se cumple |
Solución
x = 4, y = 2
E7
Igualación — despejando x
Resuelve el sistema
{
1x + 3y = 11
2x − y = 3
| ¿Qué hacemos? | Nos queda |
|---|---|
| Despejamos x en la Ecuación 1: el 3y pasa restando | x = 11 − 3y |
| Despejamos x en la Ecuación 2: la y pasa sumando | x = y + 3 |
| Igualamos las dos expresiones de x | 11 − 3y = y + 3 |
| Pasamos las y a un lado y los números al otro | 11 − 3 = y + 3y |
| Sumamos y despejamos: el 4 pasa dividiendo | 8 = 4y → y = 2 |
| Sustituimos y por 2 en x = y + 3 | x = 2 + 3 = 5 |
Verificación — Ecuación 1
| Ecuación original | x + 3y = 11 |
| Sustituimos x = 5, y = 2 | 5 + 3(2) = 11 |
| Comparamos | ✓ Se cumple |
Verificación — Ecuación 2
| Ecuación original | x − y = 3 |
| Sustituimos x = 5, y = 2 | 5 − 2 = 3 |
| Comparamos | ✓ Se cumple |
Solución
x = 5, y = 2
E8
Igualación — resultado en fracción
Resuelve el sistema
{
14x + y = 9
22x − y = 1
| ¿Qué hacemos? | Nos queda |
|---|---|
| Despejamos y en la Ecuación 1 | y = 9 − 4x |
| Despejamos y en la Ecuación 2 | y = 2x − 1 |
| Igualamos las dos expresiones de y | 9 − 4x = 2x − 1 |
| Pasamos las x a un lado y los números al otro | 9 + 1 = 2x + 4x |
| Sumamos y despejamos: el 6 pasa dividiendo | 10 = 6x → x = 5/3 |
| Sustituimos x por 5/3 en y = 2x − 1 | y = 10/3 − 3/3 = 7/3 |
Verificación — Ecuación 1
| Ecuación original | 4x + y = 9 |
| Sustituimos x = 5/3, y = 7/3 | 20/3 + 7/3 = 27/3 = 9 |
| Comparamos | ✓ Se cumple |
Verificación — Ecuación 2
| Ecuación original | 2x − y = 1 |
| Sustituimos x = 5/3, y = 7/3 | 10/3 − 7/3 = 3/3 = 1 |
| Comparamos | ✓ Se cumple |
Solución
x = 53, y = 73
Método de reducción (eliminación)
¿Cuándo usarlo? Cuando alguna variable ya tiene coeficientes iguales u opuestos, o es fácil lograrlo multiplicando.
1
Iguala los coeficientes de una variable
Multiplica una o ambas ecuaciones.2
Suma o resta las ecuaciones
Esa variable se cancela.3
Resuelve
Queda una ecuación con una sola incógnita.4
Sustituye
En cualquiera de las ecuaciones originales.5
Verifica
En las dos ecuaciones originales.Ejemplo guiado
{
12x + 3y = 13
22x − y = 5
| ¿Qué hacemos? | Nos queda |
|---|---|
| Observamos que las dos ecuaciones ya tienen el mismo coeficiente en x: 2x | No hace falta multiplicar nada |
| Restamos la Ecuación 1 menos la Ecuación 2, para que la x se cancele | (2x+3y) − (2x−y) = 13 − 5 |
| Se cancela la x, y sumamos los términos con y | 4y = 8 |
| El 4 está multiplicando, pasa dividiendo | y = 2 |
| Sustituimos y por 2 en la Ecuación 2 (2x − y = 5) | 2x − 2 = 5 |
| El 2 pasa sumando, luego el 2 que multiplica pasa dividiendo | 2x = 7 → x = 7/2 |
Verificación — Ecuación 1
| Ecuación original | 2x + 3y = 13 |
| Sustituimos x = 7/2, y = 2 | 7 + 6 = 13 |
| Comparamos | ✓ Se cumple |
Verificación — Ecuación 2
| Ecuación original | 2x − y = 5 |
| Sustituimos x = 7/2, y = 2 | 7 − 2 = 5 |
| Comparamos | ✓ Se cumple |
Solución
x = 7/2, y = 2
E9
Reducción — multiplicando una ecuación
Resuelve el sistema
{
13x + 2y = 12
2x + y = 5
| ¿Qué hacemos? | Nos queda |
|---|---|
| Multiplicamos la Ecuación 2 completa por −3, para oponer el coeficiente de x | −3x − 3y = −15 |
| Sumamos esta nueva ecuación con la Ecuación 1 | (3x+2y)+(−3x−3y) = 12+(−15) |
| Se cancela la x, sumamos los términos con y | −y = −3 |
| Multiplicamos ambos lados por −1 | y = 3 |
| Sustituimos y por 3 en la Ecuación 2 (x+y=5) | x + 3 = 5 |
| El 3 pasa restando | x = 2 |
Verificación — Ecuación 1
| Ecuación original | 3x + 2y = 12 |
| Sustituimos x = 2, y = 3 | 3(2) + 2(3) = 12 |
| Comparamos | ✓ Se cumple |
Verificación — Ecuación 2
| Ecuación original | x + y = 5 |
| Sustituimos x = 2, y = 3 | 2 + 3 = 5 |
| Comparamos | ✓ Se cumple |
Solución
x = 2, y = 3
E10
Reducción — eliminando y
Resuelve el sistema
{
13x + 4y = 18
25x + 2y = 16
| ¿Qué hacemos? | Nos queda |
|---|---|
| Multiplicamos la Ecuación 2 completa por −2, para oponer el coeficiente de y | −10x − 4y = −32 |
| Sumamos con la Ecuación 1 | (3x+4y)+(−10x−4y) = 18+(−32) |
| Se cancela la y, sumamos los términos con x | −7x = −14 |
| El −7 pasa dividiendo | x = 2 |
| Sustituimos x por 2 en la Ecuación 1 | 6 + 4y = 18 |
| El 6 pasa restando, luego el 4 pasa dividiendo | 4y = 12 → y = 3 |
Verificación — Ecuación 1
| Ecuación original | 3x + 4y = 18 |
| Sustituimos x = 2, y = 3 | 6 + 12 = 18 |
| Comparamos | ✓ Se cumple |
Verificación — Ecuación 2
| Ecuación original | 5x + 2y = 16 |
| Sustituimos x = 2, y = 3 | 10 + 6 = 16 |
| Comparamos | ✓ Se cumple |
Solución
x = 2, y = 3
E11
Reducción — coeficientes ya opuestos
Resuelve el sistema
{
14x + 3y = 5
22x − 3y = 7
| ¿Qué hacemos? | Nos queda |
|---|---|
| Observamos que los términos con y ya son opuestos (+3y y −3y) | Sumamos directamente, sin multiplicar |
| Sumamos la Ecuación 1 más la Ecuación 2 | (4x+3y)+(2x−3y) = 5+7 |
| Se cancela la y, sumamos los términos con x | 6x = 12 |
| El 6 pasa dividiendo | x = 2 |
| Sustituimos x por 2 en la Ecuación 1 | 8 + 3y = 5 |
| El 8 pasa restando, el 3 pasa dividiendo | 3y = −3 → y = −1 |
Verificación — Ecuación 1
| Ecuación original | 4x + 3y = 5 |
| Sustituimos x = 2, y = −1 | 8 − 3 = 5 |
| Comparamos | ✓ Se cumple |
Verificación — Ecuación 2
| Ecuación original | 2x − 3y = 7 |
| Sustituimos x = 2, y = −1 | 4 + 3 = 7 |
| Comparamos | ✓ Se cumple |
Solución
x = 2, y = −1
E12
Reducción — multiplicar las dos ecuaciones
Resuelve el sistema
{
12x + 3y = 7
23x + 2y = 8
| ¿Qué hacemos? | Nos queda |
|---|---|
| Multiplicamos la Ecuación 1 completa por 3 | 6x + 9y = 21 |
| Multiplicamos la Ecuación 2 completa por 2 | 6x + 4y = 16 |
| Ahora ambas tienen 6x — restamos para eliminar x | (6x+9y)−(6x+4y) = 21−16 |
| Se cancela la x, restamos los términos con y | 5y = 5 |
| El 5 pasa dividiendo | y = 1 |
| Sustituimos y por 1 en la Ecuación 1 | 2x + 3 = 7 → 2x = 4 → x = 2 |
Verificación — Ecuación 1
| Ecuación original | 2x + 3y = 7 |
| Sustituimos x = 2, y = 1 | 4 + 3 = 7 |
| Comparamos | ✓ Se cumple |
Verificación — Ecuación 2
| Ecuación original | 3x + 2y = 8 |
| Sustituimos x = 2, y = 1 | 6 + 2 = 8 |
| Comparamos | ✓ Se cumple |
Solución
x = 2, y = 1
Tipos de solución en un sistema 2×2
No todo sistema tiene una respuesta única. Según cómo se relacionan las rectas, hay tres posibilidades:
Solución única
Las rectas se cruzan en un solo punto. El caso más común.
Sin solución
Rectas paralelas. Se obtiene una igualdad falsa (0 = número).
Infinitas soluciones
Misma recta. Se obtiene una identidad verdadera (0 = 0).
E13
Infinitas soluciones
Resuelve el sistema
{
13x − 2y = 4
26x − 4y = 8
| ¿Qué hacemos? | Nos queda |
|---|---|
| Observamos: la Ecuación 2 es exactamente el doble de la Ecuación 1 (2×4=8) | Sospechamos que son la misma recta |
| Multiplicamos la Ecuación 1 completa por −2 | −6x + 4y = −8 |
| Sumamos con la Ecuación 2 | (−6x+4y)+(6x−4y) = −8+8 |
| Se cancelan las dos variables | 0 = 0 (igualdad VERDADERA) |
Cuando las dos variables se cancelan y queda una igualdad verdadera (0 = 0), significa que las dos ecuaciones son la misma recta. Cualquier punto que cumpla una, cumple la otra — por eso hay infinitas soluciones, no una sola pareja de números.
Respuesta
Infinitas soluciones (misma recta)
E14
Sin solución
Resuelve el sistema
{
1x + 2y = 5
22x + 4y = 12
| ¿Qué hacemos? | Nos queda |
|---|---|
| Observamos: los coeficientes de la Ecuación 2 son el doble, pero 2×5=10 ≠ 12 | Sospechamos rectas paralelas |
| Multiplicamos la Ecuación 1 completa por −2 | −2x − 4y = −10 |
| Sumamos con la Ecuación 2 | (−2x−4y)+(2x+4y) = −10+12 |
| Se cancelan las dos variables | 0 = 2 (igualdad FALSA) |
Cuando las variables se cancelan y queda una igualdad falsa (0 = 2), las rectas son paralelas: nunca se tocan. No existe ningún par (x, y) que cumpla las dos ecuaciones a la vez.
Respuesta
Sin solución (rectas paralelas)
Comparación de los tres métodos
Método
Úsalo cuando…
Ventaja principal
Sustitución
Una variable ya está despejada o el coeficiente es 1
Directo, pocos pasos
Igualación
Ambas ecuaciones se despejan fácil para la misma variable
Muy ordenado
Reducción
Los coeficientes ya son iguales/opuestos, o casi
Evita fracciones intermedias
Con la práctica desarrollarás intuición para elegir el método más rápido con solo mirar el sistema. Los tres te llevan a la misma respuesta correcta.
Problemas aplicados
E15
Aplicado — precios 🛒
2 kg de manzanas y 3 kg de peras cuestan $13. 4 kg de manzanas y 1 kg de peras cuestan $11. ¿Precio de cada kg?
Defino: x = precio por kg de manzana, y = precio por kg de pera.
{
12x + 3y = 13
24x + y = 11
| ¿Qué hacemos? | Nos queda |
|---|---|
| Despejamos y en la Ecuación 2: el 4x pasa restando | y = 11 − 4x |
| Sustituimos y por (11 − 4x) en la Ecuación 1 | 2x + 3(11 − 4x) = 13 |
| Distribuimos el 3 y sumamos términos semejantes | −10x + 33 = 13 |
| El 33 pasa restando | −10x = −20 |
| El −10 pasa dividiendo | x = 2 |
| Sustituimos x por 2 en y = 11 − 4x | y = 11 − 8 = 3 |
Verificación — Ecuación 1
| Ecuación original | 2x + 3y = 13 |
| Sustituimos x = 2, y = 3 | 4 + 9 = 13 |
| Comparamos | ✓ Se cumple |
Verificación — Ecuación 2
| Ecuación original | 4x + y = 11 |
| Sustituimos x = 2, y = 3 | 8 + 3 = 11 |
| Comparamos | ✓ Se cumple |
Respuesta
Manzana: $2/kg · Pera: $3/kg
E16
Aplicado — edades 👨👦
La suma de las edades de un padre y su hijo es 50. Dentro de 5 años, el padre tendrá el triple de edad que el hijo. ¿Edades actuales?
Defino: x = edad actual del padre, y = edad actual del hijo.
{
1x + y = 50
2x + 5 = 3(y + 5)
| ¿Qué hacemos? | Nos queda |
|---|---|
| Distribuimos el 3 en la Ecuación 2 | x + 5 = 3y + 15 |
| Despejamos x: el 5 pasa restando y el 15 pasa sumando | x = 3y + 10 |
| Sustituimos x por (3y + 10) en la Ecuación 1 | (3y + 10) + y = 50 |
| Sumamos términos semejantes | 4y + 10 = 50 |
| El 10 pasa restando, el 4 pasa dividiendo | 4y = 40 → y = 10 |
| Sustituimos y por 10 en x = 3y + 10 | x = 30 + 10 = 40 |
Verificación — Ecuación 1
| Ecuación original | x + y = 50 |
| Sustituimos x = 40, y = 10 | 40 + 10 = 50 |
| Comparamos | ✓ Se cumple |
Verificación — Ecuación 2
| Ecuación original | x + 5 = 3(y + 5) |
| Sustituimos x = 40, y = 10 | 45 = 3(15) |
| Comparamos | 45 = 45 ✓ Se cumple |
Dentro de 5 años el padre tendrá 45 y el hijo 15 — en efecto, 45 es el triple de 15.
Respuesta
Padre: 40 años · Hijo: 10 años
E17
Aplicado — boletos 🎟️
Entrada de adulto $8, de niño $5. Se vendieron 150 entradas por $1020. ¿Cuántas de cada tipo?
Defino: x = adultos, y = niños.
{
1x + y = 150
28x + 5y = 1020
| ¿Qué hacemos? | Nos queda |
|---|---|
| Despejamos y en la Ecuación 1 | y = 150 − x |
| Sustituimos y por (150 − x) en la Ecuación 2 | 8x + 5(150 − x) = 1020 |
| Distribuimos el 5 y sumamos términos semejantes | 3x + 750 = 1020 |
| El 750 pasa restando | 3x = 270 |
| El 3 pasa dividiendo | x = 90 |
| Sustituimos x por 90 en y = 150 − x | y = 150 − 90 = 60 |
Verificación — Ecuación 1
| Ecuación original | x + y = 150 |
| Sustituimos x = 90, y = 60 | 90 + 60 = 150 |
| Comparamos | ✓ Se cumple |
Verificación — Ecuación 2
| Ecuación original | 8x + 5y = 1020 |
| Sustituimos x = 90, y = 60 | 720 + 300 = 1020 |
| Comparamos | ✓ Se cumple |
Respuesta
90 adultos y 60 niños
E18
Aplicado — mezclas ⚗️
Café a $6/kg y a $9/kg se mezclan para obtener 20 kg a $7,20/kg. ¿Cuántos kg de cada uno?
Defino: x = kg del café de $6, y = kg del café de $9.
{
1x + y = 20
26x + 9y = 144
| ¿Qué hacemos? | Nos queda |
|---|---|
| Despejamos x en la Ecuación 1 | x = 20 − y |
| Sustituimos x por (20 − y) en la Ecuación 2 | 6(20 − y) + 9y = 144 |
| Distribuimos el 6 y sumamos términos semejantes | 120 + 3y = 144 |
| El 120 pasa restando | 3y = 24 |
| El 3 pasa dividiendo | y = 8 |
| Sustituimos y por 8 en x = 20 − y | x = 20 − 8 = 12 |
Verificación — Ecuación 1
| Ecuación original | x + y = 20 |
| Sustituimos x = 12, y = 8 | 12 + 8 = 20 |
| Comparamos | ✓ Se cumple |
Verificación — Ecuación 2
| Ecuación original | 6x + 9y = 144 |
| Sustituimos x = 12, y = 8 | 72 + 72 = 144 |
| Comparamos | ✓ Se cumple |
Respuesta
12 kg a $6/kg · 8 kg a $9/kg
E19
Aplicado — números
La suma de dos números es 45 y su diferencia es 11. ¿Cuáles son?
Defino: x = número mayor, y = número menor.
{
1x + y = 45
2x − y = 11
| ¿Qué hacemos? | Nos queda |
|---|---|
| Los términos con y ya son opuestos — sumamos las ecuaciones directamente | (x+y)+(x−y) = 45+11 |
| Se cancela la y, sumamos los términos con x | 2x = 56 |
| El 2 pasa dividiendo | x = 28 |
| Sustituimos x por 28 en la Ecuación 1 | 28 + y = 45 |
| El 28 pasa restando | y = 17 |
Verificación — Ecuación 1
| Ecuación original | x + y = 45 |
| Sustituimos x = 28, y = 17 | 28 + 17 = 45 |
| Comparamos | ✓ Se cumple |
Verificación — Ecuación 2
| Ecuación original | x − y = 11 |
| Sustituimos x = 28, y = 17 | 28 − 17 = 11 |
| Comparamos | ✓ Se cumple |
Respuesta
28 y 17
E20
Aplicado — geometría 📐
Perímetro de un rectángulo: 34 cm. El largo es 5 cm más que el ancho. ¿Dimensiones?
Defino: x = largo, y = ancho.
{
12x + 2y = 34
2x = y + 5
| ¿Qué hacemos? | Nos queda |
|---|---|
| La Ecuación 2 ya tiene x despejada | x = y + 5 |
| Sustituimos x por (y + 5) en la Ecuación 1 | 2(y + 5) + 2y = 34 |
| Distribuimos el 2 y sumamos términos semejantes | 4y + 10 = 34 |
| El 10 pasa restando | 4y = 24 |
| El 4 pasa dividiendo | y = 6 |
| Sustituimos y por 6 en x = y + 5 | x = 6 + 5 = 11 |
Verificación — Ecuación 1
| Ecuación original | 2x + 2y = 34 |
| Sustituimos x = 11, y = 6 | 22 + 12 = 34 |
| Comparamos | ✓ Se cumple |
Verificación — Ecuación 2
| Ecuación original | x = y + 5 |
| Sustituimos x = 11, y = 6 | 11 = 6 + 5 |
| Comparamos | ✓ Se cumple |
Respuesta
Largo: 11 cm · Ancho: 6 cm
E21
Aplicado — inversión 💰
$8000 invertidos en dos cuentas: una al 5% y otra al 8% anual. Interés total: $520. ¿Cuánto en cada una?
Defino: x = monto al 5%, y = monto al 8%.
{
1x + y = 8000
20,05x + 0,08y = 520
| ¿Qué hacemos? | Nos queda |
|---|---|
| Despejamos x en la Ecuación 1 | x = 8000 − y |
| Sustituimos x por (8000 − y) en la Ecuación 2 | 0,05(8000 − y) + 0,08y = 520 |
| Distribuimos 0,05 y sumamos términos semejantes | 400 + 0,03y = 520 |
| El 400 pasa restando | 0,03y = 120 |
| El 0,03 pasa dividiendo | y = 4000 |
| Sustituimos y por 4000 en x = 8000 − y | x = 8000 − 4000 = 4000 |
Verificación — Ecuación 1
| Ecuación original | x + y = 8000 |
| Sustituimos x = 4000, y = 4000 | 4000 + 4000 = 8000 |
| Comparamos | ✓ Se cumple |
Verificación — Ecuación 2
| Ecuación original | 0,05x + 0,08y = 520 |
| Sustituimos x = 4000, y = 4000 | 200 + 320 = 520 |
| Comparamos | ✓ Se cumple |
Respuesta
$4000 al 5% · $4000 al 8%
E22
Aplicado — velocidad 🚤
Una lancha recorre 60 km a favor de la corriente en 3 h, y regresa en contra en 5 h. ¿Velocidad de la lancha y de la corriente?
A favor: 60÷3=20 km/h (lancha+corriente). En contra: 60÷5=12 km/h (lancha−corriente). Defino: x = velocidad lancha, y = velocidad corriente.
{
1x + y = 20
2x − y = 12
| ¿Qué hacemos? | Nos queda |
|---|---|
| Los términos con y ya son opuestos — sumamos directamente | (x+y)+(x−y) = 20+12 |
| Se cancela la y, sumamos los términos con x | 2x = 32 |
| El 2 pasa dividiendo | x = 16 |
| Sustituimos x por 16 en la Ecuación 1 | 16 + y = 20 |
| El 16 pasa restando | y = 4 |
Verificación — Ecuación 1
| Ecuación original | x + y = 20 |
| Sustituimos x = 16, y = 4 | 16 + 4 = 20 |
| Comparamos | ✓ Se cumple |
Verificación — Ecuación 2
| Ecuación original | x − y = 12 |
| Sustituimos x = 16, y = 4 | 16 − 4 = 12 |
| Comparamos | ✓ Se cumple |
Respuesta
Lancha: 16 km/h · Corriente: 4 km/h
Resumen — lo que necesitas recordar
Sustitución
Despeja → sustituye → resuelve → sustituye de vuelta
Igualación
Despeja la misma variable en ambas → iguala
Reducción
Iguala coeficientes → suma o resta
0 = número (falso)
Sin solución (rectas paralelas)
0 = 0 (verdadero)
Infinitas soluciones (misma recta)
Siempre
Verifica en las DOS ecuaciones originales
Errores comunes
ERROR 1
Errores de signo al despejar
Incorrecto
De 2x−y=5, despejar y=2x+5
Al pasar el −y al otro lado, olvidaron cambiar el signo.
Correcto
y = 2x−5
Todo término que cruza el signo igual invierte su signo.
Revisa cada signo al despejar — es la causa número uno de errores en sistemas.
ERROR 2
Sustituir en la misma ecuación que ya se usó
Incorrecto
Despejar y de la Ecuación 1 y sustituir de nuevo en la Ecuación 1
Eso da 0=0 siempre, no aporta información nueva.
Correcto
Sustituir en la OTRA ecuación
Necesitas combinar información de ambas ecuaciones.
Marca cuál ecuación usaste para despejar — la sustitución siempre va en la otra.
ERROR 3
Multiplicar solo una parte de la ecuación en reducción
Incorrecto
Multiplicar solo el término con x, dejar y y el resultado igual
Rompe la igualdad de la ecuación.
Correcto
Multiplicar CADA término, incluyendo el resultado
El factor multiplica a los tres términos de la ecuación completa.
Antes de sumar/restar, cuenta que multiplicaste los tres términos de cada ecuación afectada.
Preguntas frecuentes
Q
¿Cuál de los tres métodos es «el mejor»?
▼
Ninguno es mejor en general — depende del sistema. Si una variable ya está despejada, sustitución es más rápido. Si los coeficientes ya son iguales u opuestos, reducción evita fracciones intermedias.
Los tres dan exactamente el mismo resultado — es cuestión de eficiencia, no de corrección.
Q
¿Qué significa que un sistema «no tenga solución»?
▼
Las dos ecuaciones representan rectas paralelas: nunca se cruzan. Lo reconoces cuando, al resolver, las variables se cancelan y queda una igualdad falsa (como 0 = 5).
Revisa los coeficientes: si son proporcionales pero los resultados no lo son, es un sistema sin solución.
Q
¿Y si obtengo infinitas soluciones?
▼
Sucede cuando ambas ecuaciones son la misma recta (una es múltiplo de la otra). Obtienes una identidad siempre verdadera (0 = 0), y cualquier punto sobre esa recta es solución.
Antes de resolver, puedes verificar si una ecuación es múltiplo exacto de la otra.
Q
¿Existe un método gráfico también?
▼
Sí — se grafican ambas rectas y la solución es el punto donde se cruzan. Es visual e intuitivo, pero menos preciso que los métodos algebraicos con decimales o fracciones.
Herramientas como Desmos o GeoGebra son ideales para graficar y comprobar.
Q
¿En qué consiste exactamente la verificación?
▼
Consiste en tomar los valores de x e y que hallaste y reemplazarlos en cada ecuación original por separado (no en pasos intermedios). Escribes la ecuación, sustituyes cada variable por su valor, resuelves ambos lados y comparas: si son iguales, esa ecuación se cumple. Repites esto para las dos ecuaciones — solo si ambas se cumplen, tu solución es correcta.
Si una ecuación no se cumple, el error está casi siempre en un signo durante el proceso, no en la verificación misma.
Resumen:
Recuerda aspectos claves de los sistemas de ecuaciones:
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Recursos externos
Symbolab — Calculadora de Ecuaciones
Resuelve cualquier ecuación de primer grado mostrando cada paso del despeje.
Khan Academy — Ecuaciones Lineales
Lecciones y práctica interactiva gratuita en español sobre ecuaciones de primer grado.
Wolfram Alpha
Motor de cálculo: comprueba la solución de cualquier ecuación al instante.
