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¿Qué es multiplicar matrices?
Multiplicar dos matrices no es como sumar o restar. No se combinan los elementos que están en la misma posición. En su lugar, cada elemento del resultado se obtiene combinando una fila completa de la primera matriz con una columna completa de la segunda.
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El error más común: pensar que A×B se calcula multiplicando la posición (1,1) de A por la posición (1,1) de B, la (1,2) por la (1,2), etc. Eso NO es multiplicación de matrices — ese error de «multiplicar elemento a elemento» es la confusión más frecuente al pasar de la suma a la multiplicación.
Para hallar el elemento en la fila i, columna j del resultado, tomas la fila i completa de A, la columna j completa de B, multiplicas los elementos correspondientes entre sí, y sumas todos esos productos. A este proceso se le llama producto punto (o producto escalar) entre una fila y una columna.
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Tamaño de una matriz
Para poder multiplicar A × B, el número de columnas de A debe ser igual al número de filas de B. Si A es de tamaño m×n y B es de tamaño n×p (fíjate que la «n» de en medio coincide), el resultado A×B es una matriz de tamaño m×p.
✓ Columnas de A (3) = Filas de B (3) → SÍ se pueden multiplicar → resultado será 2×2
✗ Columnas de A (3) ≠ Filas de C (2) → NO se pueden multiplicar
Piensa en los tamaños como fichas de dominó: m×n y n×p — el número de en medio (n) tiene que «encajar» igual en ambos lados. Los números de los extremos (m y p) sobreviven y forman el tamaño del resultado.
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Cómo se calcula cada elemento: fila por columna
Para hallar el elemento en la posición (i,j) del resultado, toma la fila i de A y la columna j de B, multiplica cada par de elementos correspondientes, y suma todo.
Fila de A
Columna de B
Elemento resultado
Para hallar c₁₁ (fila 1, columna 1 del resultado): tomamos la fila 1 de A [2, 3, 1] y la columna 1 de B [1, 2, 3]. Multiplicamos par por par y sumamos:
c₁₁ = (2×1) + (3×2) + (1×3) = 2 + 6 + 3 = 11
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Nota clave: la fila y la columna deben tener la misma cantidad de elementos para poder emparejarlos uno a uno — por eso el requisito de compatibilidad (columnas de A = filas de B) es indispensable. Para hallar el resto de los elementos de C, repites este proceso con cada combinación de fila de A y columna de B.
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Multiplicación de matrices cuadradas
Cuando ambas matrices son cuadradas y del mismo tamaño (por ejemplo, ambas 2×2), la compatibilidad siempre se cumple automáticamente, y el resultado es otra matriz cuadrada del mismo tamaño.
Matriz de operaciones
(2×5)+(3×2)(2×0)+(3×1)
(1×5)+(4×2)(1×0)+(4×1)
💡
Patrón útil: en una matriz 2×2, el elemento (i,j) del resultado siempre combina la fila i de A con la columna j de B — con solo dos términos que sumar, por eso las 2×2 son las más rápidas de calcular a mano.
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Multiplicación de matrices no cuadradas
Cuando las matrices son rectangulares, el mecanismo es exactamente el mismo — fila por columna — pero debes prestar más atención al requisito de tamaños, porque aquí sí es fácil que no coincidan.
✓ Columnas de A (3) = Filas de B (3) → resultado será 2×2
Matriz de operaciones
(1×2)+(2×1)+(3×0)(1×0)+(2×3)+(3×1)
(0×2)+(1×1)+(4×0)(0×0)+(1×3)+(4×1)
=
Matriz resultado (AB, 2×2)
Nota algo importante: A era 2×3 y B era 3×2 — ninguna de las dos es cuadrada, pero el resultado sí lo es (2×2), porque las «puntas» de los tamaños (2 y 2) coincidieron. Esto no siempre pasa: si multiplicaras B×A en vez de A×B, el resultado sería 3×3, ¡un tamaño totalmente distinto! Lo verás en los ejercicios.
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Propiedades de la multiplicación de matrices
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La propiedad más importante de todas: NO es conmutativa. En general, A×B ≠ B×A. A veces ni siquiera ambas están definidas al mismo tiempo, y cuando lo están, pueden dar tamaños o valores completamente distintos. Nunca cambies el orden de una multiplicación de matrices «para que sea más fácil».
| Propiedad | Enunciado | Se lee |
|---|
| NO conmutativa | El orden sí importa (regla general) | AB ≠ BA |
| Asociativa | No importa cómo agrupes tres factores | (AB)C = A(BC) |
| Distributiva | Se reparte sobre una suma de matrices | A(B+C) = AB + AC |
| Elemento neutro | Multiplicar por la identidad no cambia nada | AI = IA = A |
| Elemento absorbente | Multiplicar por la matriz nula da la nula | A · 0 = 0 |
| No hay cancelación | AB=AC no implica que B=C (aunque A≠0) | AB=AC ⇏ B=C |
| Transpuesta del producto | Se invierte el orden al transponer un producto | (AB)ᵀ = Bᵀ Aᵀ |
💡
¿Por qué no hay conmutatividad? Porque A×B combina filas de A con columnas de B, mientras que B×A combina filas de B con columnas de A — son operaciones distintas desde su definición, no solo «en la práctica». Por eso pueden incluso tener tamaños diferentes.
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12 ejercicios resueltos
Matrices cuadradas
E1
Cuadradas 2×2
Calcula A × B
✓ Columnas de A (2) = Filas de B (2) → resultado 2×2
Matriz de operaciones
(2×5)+(3×2)(2×0)+(3×1)
(1×5)+(4×2)(1×0)+(4×1)
E2
Cuadradas 3×3
Calcula A × B
✓ Columnas de A (3) = Filas de B (3) → resultado 3×3
Matriz de operaciones
(1×1)+(2×3)+(0×0)(1×0)+(2×1)+(0×2)(1×2)+(2×0)+(0×1)
(0×1)+(1×3)+(3×0)(0×0)+(1×1)+(3×2)(0×2)+(1×0)+(3×1)
(2×1)+(0×3)+(1×0)(2×0)+(0×1)+(1×2)(2×2)+(0×0)+(1×1)
Matrices no cuadradas
E3
No cuadradas 2×3 × 3×2
Calcula A × B
✓ Columnas de A (3) = Filas de B (3) → resultado 2×2
Matriz de operaciones
(1×2)+(2×1)+(3×0)(1×0)+(2×3)+(3×1)
(0×2)+(1×1)+(4×0)(0×0)+(1×3)+(4×1)
=
Matriz resultado (AB, 2×2)
E4
Orden invertido
Con las mismas matrices de E3, calcula B × A
✓ Columnas de B (2) = Filas de A (2) → resultado 3×3
Matriz de operaciones
(2×1)+(0×0)(2×2)+(0×1)(2×3)+(0×4)
(1×1)+(3×0)(1×2)+(3×1)(1×3)+(3×4)
(0×1)+(1×0)(0×2)+(1×1)(0×3)+(1×4)
=
Matriz resultado (BA, 3×3)
Compara con E3: AB fue una matriz 2×2, y ahora BA es una matriz 3×3 — ni siquiera tienen el mismo tamaño. Esta es la prueba más contundente de que la multiplicación de matrices no es conmutativa.
Vectores y casos particulares
E5
Matriz × vector columna
Calcula A × x
✓ Columnas de A (2) = Filas de x (2) → resultado 2×1
Matriz de operaciones
Esta es exactamente la operación detrás de expresar un sistema de ecuaciones como A·x = b: cada fila de A «genera» una ecuación al multiplicarse por el vector de incógnitas x.
E6
Fila × columna → escalar
Calcula u × v
✓ Columnas de u (3) = Filas de v (3) → resultado 1×1 (un escalar)
Matriz de operaciones
Cuando multiplicas una fila (1×n) por una columna (n×1), el resultado es una matriz 1×1 — es decir, un solo número. Esto se conoce como producto punto entre dos vectores.
E7
Multiplicar por la identidad
Verifica que A × I = A
Matriz de operaciones
(4×1)+(−2×0)(4×0)+(−2×1)
(1×1)+(3×0)(1×0)+(3×1)
El resultado es exactamente A — se confirma la propiedad del elemento neutro: multiplicar por la matriz identidad nunca cambia nada, tal como multiplicar un número por 1.
No conmutatividad y casos especiales
E8
AB ≠ BA (mismo tamaño)
Calcula A×B y B×A, y compáralos
Matriz de operaciones (A × B)
(1×3)+(2×1)(1×0)+(2×2)
(0×3)+(1×1)(0×0)+(1×2)
Matriz de operaciones (B × A)
(3×1)+(0×0)(3×2)+(0×1)
(1×1)+(2×0)(1×2)+(2×1)
Esta vez AB y BA sí tienen el mismo tamaño (2×2), pero los valores son distintos: AB=[[5,4],[1,2]] y BA=[[3,6],[1,4]]. Confirma de nuevo que el orden importa, incluso cuando ambos tamaños coinciden.
E9
Caso especial
A es 2×3 y B es 2×2. ¿Se puede calcular A×B? ¿Y B×A?
✗ A×B: columnas de A (3) ≠ filas de B (2) → NO está definida
✓ B×A: columnas de B (2) = filas de A (2) → SÍ está definida, resultado 2×3
Matriz de operaciones (B × A)
(1×1)+(0×4)(1×2)+(0×5)(1×3)+(0×6)
(2×1)+(1×4)(2×2)+(1×5)(2×3)+(1×6)
=
Matriz resultado (BA, 2×3)
Este es el caso más extremo de no conmutatividad: A×B ni siquiera existe, mientras que B×A sí está perfectamente definida. Siempre verifica la compatibilidad ANTES de intentar multiplicar, en ambos órdenes si el problema lo requiere.
E10
Verificar propiedad
Comprueba que (AB)C = A(BC)
| Paso | Resultado |
|---|
| Calculamos AB primero | [[1,1],[2,3]] |
| Calculamos (AB)C | [[3,1],[7,3]] |
| Calculamos BC primero | [[3,1],[1,1]] |
| Calculamos A(BC) | [[3,1],[7,3]] |
Ambos caminos llegan exactamente al mismo resultado, [[3,1],[7,3]] — la propiedad asociativa se cumple. A diferencia de la conmutatividad, esta propiedad SÍ es válida siempre en la multiplicación de matrices.
Respuesta
Se verifica: (AB)C = A(BC) = [[3,1],[7,3]]
E11
Matriz diagonal
Calcula D×A y A×D, y compara el efecto
| Producto | Resultado | Efecto |
|---|
| D × A | [[2,8],[15,6]] | Escala cada FILA de A por el valor de la diagonal |
| A × D | [[2,12],[10,6]] | Escala cada COLUMNA de A por el valor de la diagonal |
Las matrices diagonales tienen un efecto muy visual al multiplicar: si están a la izquierda, escalan filas; si están a la derecha, escalan columnas. Esto explica de forma intuitiva por qué DA ≠ AD.
E12
Aplicado — sistemas
El sistema 3x+y=11, 2x−y=−1 se escribe como A·X=B. Verifica que X=(2,5) es solución multiplicando
Matriz de operaciones
El resultado [[11],[−1]] coincide exactamente con la matriz B de términos independientes del sistema (11 y −1) — así se comprueba con multiplicación de matrices que una solución es correcta, en vez de sustituir ecuación por ecuación.
Respuesta
Se verifica: A·X = B, por lo tanto X=(2,5) es solución del sistema
!
Errores comunes
ERROR 1
Multiplicar elemento por elemento (como en la suma)
Incorrecto
De [[2,3],[1,4]]×[[5,0],[2,1]], calcular [[2×5,3×0],[1×2,4×1]]
Eso es multiplicación elemento a elemento (como en la suma), NO multiplicación de matrices.
Correcto
c₁₁ = (2×5)+(3×2) = 16
Cada elemento del resultado combina UNA FILA completa con UNA COLUMNA completa.
Antes de empezar, recuerda: multiplicar matrices es «fila por columna», nunca «posición por posición».
ERROR 2
No verificar la compatibilidad de tamaños antes de multiplicar
Incorrecto
Intentar multiplicar una 2×3 por una 2×2 «acomodando» los números
Si las columnas de A no coinciden con las filas de B, la multiplicación simplemente no existe.
Correcto
Verificar columnas de A = filas de B ANTES de multiplicar
Si no coinciden, la respuesta correcta es «no está definida», no un resultado forzado.
Escribe el tamaño de ambas matrices antes de intentar cualquier multiplicación.
ERROR 3
Asumir que AB = BA
Incorrecto
«Ya calculé AB, entonces BA es lo mismo»
La multiplicación de matrices casi nunca es conmutativa — cada orden es un cálculo distinto.
Correcto
Calcular AB y BA por separado, cada uno desde cero
Pueden incluso tener tamaños distintos, como viste en el Ejercicio 4.
Nunca reutilices el resultado de AB para «ahorrar tiempo» calculando BA — son operaciones independientes.
ERROR 4
Mezclar el orden dentro de la suma de productos
Incorrecto
Combinar el primer elemento de la fila con el segundo elemento de la columna
Los emparejamientos deben respetar el orden: primero con primero, segundo con segundo.
Correcto
1° elemento de la fila × 1° de la columna, 2° × 2°, y así sucesivamente
Mantén el orden posicional al emparejar los elementos de la fila con los de la columna.
Escribe la fila y la columna una debajo de la otra antes de multiplicar, para no perder el orden de los emparejamientos.
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Preguntas frecuentes
Q
¿Por qué la multiplicación de matrices no es como la suma?
▼
Porque la multiplicación de matrices representa la composición de transformaciones lineales (por ejemplo, aplicar una rotación después de un escalado), no una simple combinación posición por posición. Esa definición «fila por columna» es la que hace que las matrices sirvan para resolver sistemas de ecuaciones, cambiar de coordenadas, y muchas otras aplicaciones — una multiplicación elemento a elemento no tendría esas propiedades útiles.
Existe una operación llamada «producto de Hadamard» que sí multiplica elemento por elemento, pero es distinta y mucho menos común que la multiplicación matricial estándar.
Q
¿Puedo multiplicar dos matrices de cualquier tamaño?
▼
No. Solo puedes multiplicar A×B si el número de columnas de A coincide exactamente con el número de filas de B. Si no coinciden, la operación simplemente no está definida — no existe ningún resultado posible, ni siquiera «parcial».
Este es distinto del requisito para sumar/restar (que exige tamaños IGUALES) — aquí solo un número intermedio necesita coincidir, no el tamaño completo.
Q
¿Qué tamaño tiene el resultado de A×B?
▼
Si A es m×n y B es n×p, el resultado A×B es de tamaño m×p: toma el número de filas de la primera matriz y el número de columnas de la segunda. El «n» de en medio desaparece — solo sirvió para verificar la compatibilidad.
Por eso multiplicar una 2×3 por una 3×2 da una matriz 2×2, aunque ninguna de las dos originales era cuadrada.
Q
¿Existe alguna situación donde AB sí sea igual a BA?
▼
Sí, en casos particulares. Por ejemplo, cuando una de las dos es la matriz identidad (AI = IA = A siempre), cuando ambas son la matriz nula, o cuando A y B son la misma matriz (AA siempre es igual a AA). También existen pares de matrices especiales, distintas de estas, que «conmutan» entre sí, pero eso es la excepción, no la regla general.
Nunca asumas que dos matrices conmutan a menos que puedas demostrarlo calculando ambos productos.
Q
¿Para qué sirve en la práctica multiplicar matrices?
▼
Es una de las operaciones más usadas en matemáticas aplicadas: permite expresar y resolver sistemas de ecuaciones como A·X=B, describir transformaciones geométricas (rotar, escalar, reflejar figuras), encadenar varias transformaciones en una sola matriz, y es la base de casi todos los algoritmos de gráficos por computadora, redes neuronales y procesamiento de datos.
Cada vez que una app rota una imagen o un videojuego mueve un personaje en 3D, hay multiplicaciones de matrices ocurriendo detrás de escena.
